Il bacio preciso

Siano dato tre distinte circonferenze $C_1, \, C_2, \, C_3$ nel piano, fra di loro mutualmente tangenti. Allora esistono esattamente due circonferenze $A$, $B$ che sono contemporaneamente tangenti alle $C_i$.

I raggi di $A$ e $B$ (o meglio, le loro curvature) sono legate a quelli

delle $C_i$ da un'equazione quadratica, che è nota come Teorema di Descartes. In questo caso il problema di Apollonio per le $C_i$ ha esattamente cinque soluzioni distinte (invece di $8$ come nel caso generale): le tre circonferenze $C_i$, contate ciascuna con molteplicità $2$, e le due circonferenze $A, \, B$.

Le circonferenze A e B sono anche dette circonferenze di Soddy. Ciò è dovuto al fatto che il risultato di Descartes fu riscoperto nel 1936 da Frederick Soddy, che lo pubblicò nella prestigiosa rivista Nature sotto forma di una poesia intitolata "The Kiss Precise":

For pairs of lips to kiss maybe
Involves no trigonometry.
'Tis not so when four circles kiss
Each one the other three.
To bring this off the four must be
As three in one or one in three.
If one in three, beyond a doubt
Each gets three kisses from without.
If three in one, then is that one
Thrice kissed internally.
Four circles to the kissing come.
The smaller are the benter.
The bend is just the inverse of
The distance from the center.
Though their intrigue left Euclid dumb
There's now no need for rule of thumb.
Since zero bend's a dead straight line
And concave bends have minus sign,
The sum of the squares of all four bends
Is half the square of their sum.

La prima strofa descrive le tre circonferenze $C_i$, mentre la seconda descrive le due circonferenze $A$, $B$ e la formula di Descartes per determinarne i raggi: date quattro circonferenze fra loro mutualmente tangenti, la somma dei quadrati delle curvature è metà del quadrato della loro somma.