Il Teorema di Feit-Thompson

Un gruppo finito si dice risolubile se possiede una serie di composizione in cui tutti i fattori sono ciclici di ordine primo. Per il teorema di Jordan-Hölder, se esiste una serie di composizione avente questa proprietà allora tutte le serie di composizione ce l'hanno. Il nome risolubile deriva dal fatto che un polinomio su $\mathbb{Q}$ è risolubile per radicali se e solo se il corrispondente gruppo di Galois è risolubile nel senso detto sopra.

Esempi di gruppi finiti risolubili sono i gruppi abeliani, i $p$-gruppi e più in generale i gruppi nilpotenti. Il gruppo simmetrico $S_n$ è non risolubile per $n\geq 5$, da cui l'impossibilità di risolvere per radicali l'equazione generale di grado $n \geq 5$ (teorema di Abel-Ruffini).

Un fondamentale risultato dimostrato nel 1963 da W. Feit e J. Thompson asserisce che

Ogni gruppo finito di ordine dispari è risolubile.

Nonostante la semplicità dell'enunciato, la dimostrazione di Feit e Thompson richiede un argomento per assurdo estremamente complesso che occupa un intero fascicolo (circa 250 pagine) del Pacific Journal of Mathematics.

Il teorema di Feit-Thompson è un risultato cruciale nell'ambito della classificazione dei gruppi semplici finiti, e la sua rilevanza è mostrata dal fatto che, anche grazie ad esso, a Thompson nel 1970 venne assegnata la medaglia Fields. Non è dunque sorprendente che molti teorici dei gruppi abbiano tentato di semplificarne la dimostrazione originale, finora senza grande successo.

È di oggi la notizia (riportata dal Corriere della Sera nel solito modo in cui si riportano in genere argomenti di matematica, cioè senza fare capire nulla) che Sir Micheal Atiyah asserisce di possedere una dimostrazione di Feit-Thompson in sole 12 pagine. Atiyah ha 88 anni, non è uno specialista di teoria dei gruppi ma è comunque uno dei matematici più famosi al mondo, avendo vinto la medaglia Fields nel 1966 per i suoi fondamentali contributi in K-teoria, come il celebre Teorema dell'Indice di Atiyah-Singer.

Ovviamente la correttezza della dimostrazione di Atiyah dovrà essere confermata (o smentita) attraverso l'usuale processo di peer-review, che data l'importanza del risultato sarà sicuramente molto scrupoloso. Staremo a vedere.