Il teorema dei quattro quadrati di Lagrange

Il teorema dei due quadrati di Fermat (discusso in un precedente post) afferma che un numero primo è somma di due quadrati se e solo se è della forma $4k+1$. Viene dunque naturale chiedersi quale sia (se esiste) il minimo numero naturale $N_2$ tale che ogni $n \in \mathbb{N}$ possa scriversi come somma di al più $N_2$ quadrati (questo è il primo caso del cosiddetto problema di Waring).

Nel 1770, J. L. Lagrange dimostrò il seguente sorprendente risultato, che implica $N_2 \leq 4$.

Teorema. Ogni numero naturale $n$ è somma di (al più) quattro quadrati.

Grazie all'identità dei quattro quadrati di Eulero, è sufficiente dimostrare l'enunciato per $n$ numero primo. La dimostrazione originaria di Lagrange è nello spirito della classica discesa infinita di Fermat; le dimostrazioni moderne che si trovano nei libri di testo utilizzano invece algoritmi di divisione generalizzati, nello spirito dell'algoritmo di divisione euclidea in $\mathbb{Z}[i]$ utlizzato da Dedekind per dimostrare il teorema dei due quadrati di Fermat.

J. L. Lagrange (fonte: Wikipedia)

Più precisamente, fu A. Hurwitz che a fine '800 si rese conto che un algoritmo di divisione euclidea nell'anello dei quaternioni interi
$$\begin{equation*} \begin{split} \mathbb{Z}[i, \, j, \, k]&= \{a+bi+cj+dk \, \, | \, \, a, \, b, \, c, \, d \in \mathbb{Z} \} \\ i^2 &= j^2 = k^2 = ijk = -1 \end{split} \end{equation*}$$ portava ad una dimostrazione del teorema di Lagrange. L'approccio è tecnicamente più complicato che nel caso di $\mathbb{Z}[i]$, perchè $\mathbb{Z}[i, \, j, \, k]$ è un anello non commutativo. Per questo motivo, l'algoritmo di divisione viene implementato non in $\mathbb{Z}[i, \, j, \, k]$, dove non è possibile ottenere una stima efficiente del resto, ma in quello che è oggi chiamato l'anello degli interi di Hurwitz $\mathbb{Z}[i, \, j, \, k, \, w]$, ossia il sottoanello generato da $\mathbb{Z}[i, \, j, \, k]$ e dall'elemento semi-intero $w=\frac{1}{2}(1+i+j+k)$.

Il punto cruciale della dimostrazione di Hurwitz è far vedere che ogni primo reale si fattorizza in modo non banale in $\mathbb{Z}[i, \, j, \, k, \, w]$, esattamente come il punto cruciale della dimostrazione di Dedekind era far vedere che ogni primo congruo a $1$ (mod $4$) si fattorizza non banalmente in $\mathbb{Z}[i]$.

A. Hurwitz (fonte: Wikipedia)

Un'interessante domanda è se tutti gli interi si possano scrivere come somma di tre quadrati. La risposta è negativa, come è facile convincersi osservando che un quadrato può essere congruo solo a $0$, $1$, $4$ (mod 8). Da ciò segue, ad esempio, che nessun numero congruo a $7$ (mod $8$) è somma di tre quadrati. Quindi si ha effettivamente $N_2=4$.

Più precisamente, nel $1798$ Legendre dimostrò che un numero è esprimibile come somma di tre quadrati se e solo se non è della forma $4^k(8m + 7)$. Non si conosce, al momento, nessuna dimostrazione veramente elementare di questo risultato.