Sfere esotiche

In Matematica, il termine "esotico" viene spesso utilizzato per indicare una l'esistenza di una struttura la cui esistenza è inaspettata, e differente da una ben nota struttura "standard" dello stesso tipo.

Un esempio tipico è quello delle cosiddette sfere esotiche, ovvero varietà differenziabili che sono omeomorfe ma non diffeomeomorfe alla $n$-sfera $S^n$.

I primi esempi vennero costruiti da J. Milnor nel 1957: egli dimostrò che esistono almeno $7$ strutture differenziabli sulla $7$-sfera. La scoperta fu assolutamente sorprendente, come spiega lo stesso Milnor:

"When I came upon such an example in the mid-50s, I was very puzzled and didn't know what to make of it. At first, I thought I'd found a counterexample to the generalized Poincaré conjecture in dimension seven. But careful study showed that the manifold really was homeomorphic to $S^7$. Thus, there exists a differentiable structure on $S^7$ not diffeomorphic to the standard one."

J. Milnor

Gli esempi di Milnor vennero costruiti come $S^3$-fibrazioni su $S^4$. Inoltre, egli fu in grado di dimostrare che le classi di diffeomorfismo di $n$-sfere esotiche con l'operazione di somma connessa formano (gli elementi non banali di) un monoide abeliano finito, indicato con $\Theta_n$, e che tale monoide è un gruppo se $n \neq 4$.

Successivamente, ancora Milnor, insieme a M. Kervaire, dimostrò che $\Theta_7$ è il gruppo ciclico di ordine $28$, in altre parole che esistono $27$ classi di diffeomorfismo di $7$-sfere esotiche (1963). 

Una costruzione esplicita di tali classi venne fornita da E. Brieskorn nel modo seguente (1966). Si consideri l'ipersuperficie affine  $X \subset \mathbb{C}^5$ definita da $$x^2+y^2+z^2+v^2+w^{6k-1}=0.$$ Allora, per $k=1, \, 2, \ldots, 28$, l'intersezione di $X$ con una sfera di raggio sufficientemente piccolo centrata nell'origine fornisce tutte le $28$ strutture differenziabili su $S^7$. Questo fu il primo esempio di quelle che oggi sono note come varietà di Brieskorn.

Un problema naturale è come classificare le sfere esotiche in ogni dimensione, ossia come calcolare l'ordine del gruppo $\Theta_n$. Per $n \neq 4$, esso coincide con l'ordine del gruppo delle classi di cobordismo di (classi di omotopia di) $n$-sfere, e tale ordine fino a $n=63$ è tabulato nella successione OEIS A001676.

Per $n \leq  6$ e $n=12$ non esistono sfere esotiche (ossia l'unica strutture differenziabile su $S^n$ è quella standard, in altre parole $\Theta_n$ è il gruppo banale) mentre in altri casi vi sono milioni di sfere esotiche: ad esempio, l'ordine di $\Theta_{63}$ è $$142211872163171481167115958878208.$$ Non è al momento possibile dare una descrizione completa della struttura di $\Theta_n$ per ogni $n$, dato che non possediamo la conoscenza completa di tutti i gruppi di omotopia di $S^n$.

L'esistenza di strutture esotiche su $S^4$ non è attualmente nota. Si sa che $\Theta_4$ è un monoide abeliano finito o al più numerabile, e in molti sospettano che sia infinito, ma il problema è al momento completamente aperto.

Il Terzo problema di Hilbert (equiscomponibilità dei poliedri)

È noto sin dai tempi dei geometri greci che due poligoni piani di eguale area sono anche equiscomponibili, ossia è possibile decomporre uno di essi in un numero finito di poligoni che, ricomposti, formano l'altro. La dimostrazione è un po' macchinosa ma elementare, e si basa essenzialmente su tre fatti:

$(1)$ ogni poligono si decompone in triangoli;
$(2)$ un triangolo è equiscomponibile con un rettangolo avente stessa base e metà altezza;
$(3)$ l'equiscomponibilità è una relazione d'equivalenza.

Durante la sua famosa conferenza al Congresso di Parigi (1900), D. Hilbert osservò che tutte le dimostrazioni note del fatto che il volume di una piramide è $1/3$ del volume di un parallelepipedo con stessa base e stessa altezza si basano sul principio di Cavalieri o su qualche metodo equivalente (esaustione, calcolo integrale). Egli pose pertanto la seguente domanda, che figurava al terzo posto nella sua famosa lista di $23$ problemi irrisolti e divenne nota come

Terzo Problema di Hilbert. Dati un cubo e un tetraedro aventi lo stesso volume, è possibile decomporre uno di essi in un numero finito di poliedri che, ricomposti, formano l'altro?

Dunque Hilbert chiedeva, sostanzialmente, se poliedri equivalenti fossero anche equiscomponibili, cioè se il risultato noto per i poligoni potesse essere esteso in dimensione $3$.

La risposta negativa arrivò quasi immediatamente (prima ancora che gli atti del congresso di Parigi fossero stampati) ad opera di uno studente di di dottorato di Hilbert, destinato a diventare uno dei più importanti topologi del '900: M. Dehn.

La dimostrazione di Dehn era basata su un argomento molto ingegnoso, che può essere riassunto come segue. Se un poliedro viene tagliato in un numero finito di parti e ricomposto, il volume è chiaramente una quantità che si conserva, ossia un "invariante". Dehn osservò che è possibile definire un'altra quantità che si conserva, una particolare combinazione di lunghezze di spigoli e valori di angoli diedri (misurati in radianti) che oggi si chiama in suo onore invariante di Dehn.

È facile vedere che ogni cubo ha invariante di Dehn pari a zero, mentre l'invariante di Dehn di un tetraedro regolare è non nullo. Pertanto, un cubo e un tetraedro di egual volume non possono mai essere equiscomponibili.

La dimostrazione originale di Dehn, pubblicata in [Dehn1901], venne poco dopo semplificata da Kagan (1903). La risposta definitiva al terzo problema di Hilbert arrivò nel 1965, quando J. P. Sydler dimostrò in [Syd65] che due poliedri in $\mathbb{R}^3$ sono equiscomponibili se e solo se hanno lo stesso volume e lo stesso invariante di Dehn.


Nota biografica. M. Dehn (1878-1952) ricevette il suo dottorato a Gottinga nel 1900, sotto la supervisione di D. Hilbert. Fra i suoi numerosi contributi in topologia, oltre alla risoluzione del Terzo Problema di Hilbert, possiamo annoverare la classificazione topologica delle superfici, la soluzione del problema della parola per i loro gruppi fondamentali e la costruzione del sistema di generatori per il loro Mapping Class Group oggi noto come Dehn twists. Egli introdusse quella che oggi è chiamata la Dehn surgery per produrre nuovi esempi di homology spheres oltre a quello di Poincaré, e fu il primo a dimostrare che il nodo a trifoglio destro non è equivalente a quello sinistro.

Nel 1935, dopo l'avvento al potere dei nazisti, Dehn dovette abbandonare il suo posto di professore a Francoforte e fuggire, prima in Norvegia, poi in Svezia e infine negli Stati Uniti, dove concluse la sua carriera come professore al Black Mountain College (North Carolina).

M. Dehn (fonte: Wikipedia)

Riferimenti:

[Dehn1901] M. Dehn: Ueber den Rauminhalt, Mathematische Annalen 55 (3)(1901), 465–478. doi:10.1007/BF01448001
[Syd65] J-P. Sydler: Conditions nécessaires et suffisantes pour l'équivalence des polyèdres de l'espace euclidien à trois dimension, Comment. Math. Helv. 40 (1965), 43–80. doi:10.5169/seals-30629

Il Problema della Parola

Come è ben noto, ogni gruppo $G$ è quoziente di un gruppo libero $F = F(S)$, pertanto è possibile darne una descrizione in termini di generatori e relazioni, in simboli $$G =\langle S \;| \; R \rangle.$$ Gli elementi di $G$ sono parole nei generatori $S$, soggette alle relazioni imposte dall'insieme $R$. Questa è detta una "presentazione" di $G$, e il gruppo si dice "finitamente presentato" se esiste almeno una presentazione tale che $S$ e $R$ hanno entrambi cardinalità finita.

Chiaramente, ogni gruppo finito è finitamente presentato. Ad esempio, il gruppo ciclico di ordine $n$ e il gruppo diedrale di ordine $2n$ hanno rispettive presentazioni $$C_n = \langle x \;| \; x^n=1 \rangle, \quad D_{2n} = \langle x, \, y \;| \; x^n=y^2=(xy)^2=1 \rangle.$$

Lo studio dei gruppi tramite le loro presentazioni costituisce quella che si chiama teoria combinatoria dei gruppi, e uno dei problemi più importanti in tale area è il famoso

Problema della parola. Dato un gruppo finitamente presentato, esiste un algoritmo che permetta di stabilire se due parole rappresentino lo stesso elemento (o, equivalentemente, se una parola rappresenta l'elemento neutro)?

Se gli elementi di $G$ ammettono una unica "forma normale", allora il problema della parola ha risposta affermativa, dato che per stabilire se due parole sono uguali basta confrontarne le rispettive forme normali. Ad esempio, ogni parola nel gruppo diedrale può essere ricondotta alla forma $x^ky^m$, con $k \in \{0, \ldots, n-1\}$ e $m \in \{0, \, 1\}$, e due parole $x^ky^m$,  $x^hy^n$ sono uguali se e solo se $k=h$ e $m=n$.

Il primo a rendersi conto che il problema della parola è importante di per sé, indipendentemente dal particolare gruppo a cui viene applicato, fu M. Dehn (già famoso per avere risolto in senso negativo il terzo problema di Hilbert sull'equiscomponibilità dei poliedri di egual volume) che, nel 1912, fornì anche un algoritmo (basato su tecniche di geometria iperbolica) per risolvere il problema della parola nel caso del gruppo fondamentale di una superficie chiusa, compatta e orientabile di genere almeno $2$.

Quasi quarant'anni dopo, nel 1955, P. Novikov dimostrò che, in generale, il problema della parola è indecidibile anche nel caso di gruppi finitamente presentati [5]; tre anni dopo, un'altra dimostrazione dello stesso fatto venne fornita da W.W. Boone [2]. Si trattava di un risultato sorprendente, in quanto esso forniva il primo esempio di indecidibilità che appariva non in Logica o in Informatica, ma in una branca centrale della matematica come l'Algebra. Successivamente, vari altri autori hanno esplorato i profondi legami che intercorrono fra la teoria combinatoria dei gruppi e quella della decidibilità algoritmica.

Un esempio esplicito di gruppo finitamente presentato avente problema della parola indecidibile si può trovare nella voce [1] linkata in fondo: esso ha $10$ generatori e $27$ relazioni (ma esistono anche esempi con sole $14$ o $12$ relazioni).

Si noti che il risultato di indecidibilità di Novikov non esclude che il problema della parola sia decidibile per particolari classi di gruppi finitamente presentati. Infatti,  si conoscono vari esempi per cui ciò accade: i gruppi finiti, i gruppi iperbolici, i gruppi di trecce, i gruppi euclidei, i gruppi liberi, i gruppi liberi abeliani, i gruppi con una sola relazione (questo è un risultato di Magnus che estende quello di Dehn) e i gruppi residualmente finiti.


Riferimenti.

[1] https://en.wikipedia.org/wiki/Word_problem_for_groups
[2] W. W. Boone (1958): The word problem, Proceedings of the National Academy of Sciences 44 (1958), 1061–1065
[3] W. W. Boone, F. B. Cannonito, and R. C. Lyndon: Word Problems: Decision Problem in Group Theory, North-Holland, 1973.
[4] R. C. Lyndon, P. E. Schupp: Combinatorial Group Theory, Springer, 2001.
[5] P. S. Novikov: On the algorithmic unsolvability of the word problem in group theory, Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics (in Russian), 1955.

Il Teorema di Perron-Frobenius

L'oggetto di questo post  è  un fondamentale risultato di Algebra Lineare, dimostrato da O. Perron nel 1907 e successivamente generalizzato da G. Frobenius nel 1912.

Esso ha svariate applicazioni alla Probabilità (ergodicità delle catene di Markov), alla Teoria dei Sistemi dinamici, alla Teoria dei Giochi, alla Teoria dei Grafi, ai Modelli di Popolazione, all'Economia e (in quella che è forse la sua più spettacolare applicazione) negli algoritmi di Page-Rank per i motori di ricerca Web come Google.

Teorema (Perron-Frobenius). Sia $A$ una matrice reale $n \times n$ a coefficienti tutti positivi. Allora esiste un autovalore reale positivo $r$ di $A$, tale che ogni altro autovalore di $A$ ha modulo strettamente minore di $r$. Inoltre, $r$ è un autovalore semplice per $A$, dunque i corrispondenti autospazi (destro e sinistro) sono $1$-dimensionali. Inoltre, i generatori di tali autospazi possono essere scelti a componenti tutte positive.

L'autovalore $r$ è noto come "radice di Perron-Frobenius", e per definizione esso coincide con il raggio spettrale di $A$. Il comportamento asintotico delle potenze $A^k$ per $k$ che tende all'infinito è pertanto controllato da $r$. Inoltre, se i coefficienti di $A$ sono tutti numeri algebrici allora lo stesso vale per $r$, dato che l'insieme dei numeri algebrici è un sottocampo algebricamente chiuso di $\mathbb{C}$. Pertanto, nel caso in cui $r$ sia in modulo maggiore di $1$, esso è un numero di Perron (cioè, un numero algebrico reale e maggiore di $1$, tale che tutte le sue radici coniugate hanno modulo strettamente minore di $1$).

Esistono in letteratura varie dimostrazioni del teorema di Perron-Frobenius. Ci soffermeremo qui su un semplice e sorprendente argomento topologico, basato sul teorema del punto fisso di Brouwer, che permette di dedurre l'esistenza di un autovalore reale positivo di $A$.

Sia $S^{n-1}$ la sfera $n$-dimensionale in $\mathbb{R}^n$, e consideriamo il sottoinsieme $D$ di $S^{n-1}$ dato dai punti a coordinate tutte non negative. È immediato verificare che $D$ è omeomorfo al disco chiuso $D^{n-1}$: ad esempio, se $n=3$ allora $D$ è il triangolo sferico dato dall'intersezione di $S^2$ con il primo ottante di $\mathbb{R}^3$.

Prendiamo ora l'applicazione lineare $\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ data da $\mathbb{x} \mapsto A \mathbb{x}$. Se $\mathbb{x}$ è un elemento di $D$, allora le sue componenti sono tutte non-negative, e almeno una è positiva; pertanto lo stesso vale per le componenti di $A \mathbb{x}$, dato che stiamo supponendo che $A$ sia una matrice ad elementi positivi.

Ciò dimostra che la funzione continua $T(\mathbb{x}):=\frac{A\mathbb{x}}{|A \mathbb{x}|}$ manda $D$ in sè, dunque per il teorema del punto fisso di Brouwer esiste $\mathbb{v} \in D$ tale che $T(\mathbb{v})=\mathbb{v}$. In altre parole $$A \mathbb{v} = |A \mathbb{v}| \cdot \mathbb{v},$$ cioè $\mathbb{v}$ è autovettore per $A$ avente autovalore positivo $|A \mathbb{v}|$.