Sfere esotiche

In Matematica, il termine "esotico" viene spesso utilizzato per indicare una l'esistenza di una struttura la cui esistenza è inaspettata, e differente da una ben nota struttura "standard" dello stesso tipo.

Un esempio tipico è quello delle cosiddette sfere esotiche, ovvero varietà differenziabili che sono omeomorfe ma non diffeomeomorfe alla $n$-sfera $S^n$.

I primi esempi vennero costruiti da J. Milnor nel 1957: egli dimostrò che esistono almeno $7$ strutture differenziabli sulla $7$-sfera. La scoperta fu assolutamente sorprendente, come spiega lo stesso Milnor:

"When I came upon such an example in the mid-50s, I was very puzzled and didn't know what to make of it. At first, I thought I'd found a counterexample to the generalized Poincaré conjecture in dimension seven. But careful study showed that the manifold really was homeomorphic to $S^7$. Thus, there exists a differentiable structure on $S^7$ not diffeomorphic to the standard one."

J. Milnor

Gli esempi di Milnor vennero costruiti come $S^3$-fibrazioni su $S^4$. Inoltre, egli fu in grado di dimostrare che le classi di diffeomorfismo di $n$-sfere esotiche con l'operazione di somma connessa formano (gli elementi non banali di) un monoide abeliano finito, indicato con $\Theta_n$, e che tale monoide è un gruppo se $n \neq 4$.

Successivamente, ancora Milnor, insieme a M. Kervaire, dimostrò che $\Theta_7$ è il gruppo ciclico di ordine $28$, in altre parole che esistono $27$ classi di diffeomorfismo di $7$-sfere esotiche (1963). 

Una costruzione esplicita di tali classi venne fornita da E. Brieskorn nel modo seguente (1966). Si consideri l'ipersuperficie affine  $X \subset \mathbb{C}^5$ definita da $$x^2+y^2+z^2+v^2+w^{6k-1}=0.$$ Allora, per $k=1, \, 2, \ldots, 28$, l'intersezione di $X$ con una sfera di raggio sufficientemente piccolo centrata nell'origine fornisce tutte le $28$ strutture differenziabili su $S^7$. Questo fu il primo esempio di quelle che oggi sono note come varietà di Brieskorn.

Un problema naturale è come classificare le sfere esotiche in ogni dimensione, ossia come calcolare l'ordine del gruppo $\Theta_n$. Per $n \neq 4$, esso coincide con l'ordine del gruppo delle classi di cobordismo di (classi di omotopia di) $n$-sfere, e tale ordine fino a $n=63$ è tabulato nella successione OEIS A001676.

Per $n \leq  6$ e $n=12$ non esistono sfere esotiche (ossia l'unica strutture differenziabile su $S^n$ è quella standard, in altre parole $\Theta_n$ è il gruppo banale) mentre in altri casi vi sono milioni di sfere esotiche: ad esempio, l'ordine di $\Theta_{63}$ è $$142211872163171481167115958878208.$$ Non è al momento possibile dare una descrizione completa della struttura di $\Theta_n$ per ogni $n$, dato che non possediamo la conoscenza completa di tutti i gruppi di omotopia di $S^n$.

L'esistenza di strutture esotiche su $S^4$ non è attualmente nota. Si sa che $\Theta_4$ è un monoide abeliano finito o al più numerabile, e in molti sospettano che sia infinito, ma il problema è al momento completamente aperto.