Esso ha svariate applicazioni alla Probabilità (ergodicità delle catene di Markov), alla Teoria dei Sistemi dinamici, alla Teoria dei Giochi, alla Teoria dei Grafi, ai Modelli di Popolazione, all'Economia e (in quella che è forse la sua più spettacolare applicazione) negli algoritmi di Page-Rank per i motori di ricerca Web come Google.
Esistono in letteratura varie dimostrazioni del teorema di Perron-Frobenius. Ci soffermeremo qui su un semplice e sorprendente argomento topologico, basato sul teorema del punto fisso di Brouwer, che permette di dedurre l'esistenza di un autovalore reale positivo di A.
Sia S^{n-1} la sfera n-dimensionale in \mathbb{R}^n, e consideriamo il sottoinsieme D di S^{n-1} dato dai punti a coordinate tutte non negative. È immediato verificare che D è omeomorfo al disco chiuso D^{n-1}: ad esempio, se n=3 allora D è il triangolo sferico dato dall'intersezione di S^2 con il primo ottante di \mathbb{R}^3.
Prendiamo ora l'applicazione lineare \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n data da \mathbb{x} \mapsto A \mathbb{x}. Se \mathbb{x} è un elemento di D, allora le sue componenti sono tutte non-negative, e almeno una è positiva; pertanto lo stesso vale per le componenti di A \mathbb{x}, dato che stiamo supponendo che A sia una matrice ad elementi positivi.
Ciò dimostra che la funzione continua T(\mathbb{x}):=\frac{A\mathbb{x}}{|A \mathbb{x}|} manda D in sè, dunque per il teorema del punto fisso di Brouwer esiste \mathbb{v} \in D tale che T(\mathbb{v})=\mathbb{v}. In altre parole A \mathbb{v} = |A \mathbb{v}| \cdot \mathbb{v}, cioè \mathbb{v} è autovettore per A avente autovalore positivo |A \mathbb{v}|.
Teorema (Perron-Frobenius). Sia A una matrice reale n \times n a coefficienti tutti positivi. Allora esiste un autovalore reale positivo r di A, tale che ogni altro autovalore di A ha modulo strettamente minore di r. Inoltre, r è un autovalore semplice per A, dunque i corrispondenti autospazi (destro e sinistro) sono 1-dimensionali. Inoltre, i generatori di tali autospazi possono essere scelti a componenti tutte positive.L'autovalore r è noto come "radice di Perron-Frobenius", e per definizione esso coincide con il raggio spettrale di A. Il comportamento asintotico delle potenze A^k per k che tende all'infinito è pertanto controllato da r. Inoltre, se i coefficienti di A sono tutti numeri algebrici allora lo stesso vale per r, dato che l'insieme dei numeri algebrici è un sottocampo algebricamente chiuso di \mathbb{C}. Pertanto, nel caso in cui r sia in modulo maggiore di 1, esso è un numero di Perron (cioè, un numero algebrico reale e maggiore di 1, tale che tutte le sue radici coniugate hanno modulo strettamente minore di 1).
Esistono in letteratura varie dimostrazioni del teorema di Perron-Frobenius. Ci soffermeremo qui su un semplice e sorprendente argomento topologico, basato sul teorema del punto fisso di Brouwer, che permette di dedurre l'esistenza di un autovalore reale positivo di A.
Sia S^{n-1} la sfera n-dimensionale in \mathbb{R}^n, e consideriamo il sottoinsieme D di S^{n-1} dato dai punti a coordinate tutte non negative. È immediato verificare che D è omeomorfo al disco chiuso D^{n-1}: ad esempio, se n=3 allora D è il triangolo sferico dato dall'intersezione di S^2 con il primo ottante di \mathbb{R}^3.
Prendiamo ora l'applicazione lineare \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n data da \mathbb{x} \mapsto A \mathbb{x}. Se \mathbb{x} è un elemento di D, allora le sue componenti sono tutte non-negative, e almeno una è positiva; pertanto lo stesso vale per le componenti di A \mathbb{x}, dato che stiamo supponendo che A sia una matrice ad elementi positivi.
Ciò dimostra che la funzione continua T(\mathbb{x}):=\frac{A\mathbb{x}}{|A \mathbb{x}|} manda D in sè, dunque per il teorema del punto fisso di Brouwer esiste \mathbb{v} \in D tale che T(\mathbb{v})=\mathbb{v}. In altre parole A \mathbb{v} = |A \mathbb{v}| \cdot \mathbb{v}, cioè \mathbb{v} è autovettore per A avente autovalore positivo |A \mathbb{v}|.
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