Esso ha svariate applicazioni alla Probabilità (ergodicità delle catene di Markov), alla Teoria dei Sistemi dinamici, alla Teoria dei Giochi, alla Teoria dei Grafi, ai Modelli di Popolazione, all'Economia e (in quella che è forse la sua più spettacolare applicazione) negli algoritmi di Page-Rank per i motori di ricerca Web come Google.
Esistono in letteratura varie dimostrazioni del teorema di Perron-Frobenius. Ci soffermeremo qui su un semplice e sorprendente argomento topologico, basato sul teorema del punto fisso di Brouwer, che permette di dedurre l'esistenza di un autovalore reale positivo di $A$.
Sia $S^{n-1}$ la sfera $n$-dimensionale in $\mathbb{R}^n$, e consideriamo il sottoinsieme $D$ di $S^{n-1}$ dato dai punti a coordinate tutte non negative. È immediato verificare che $D$ è omeomorfo al disco chiuso $D^{n-1}$: ad esempio, se $n=3$ allora $D$ è il triangolo sferico dato dall'intersezione di $S^2$ con il primo ottante di $\mathbb{R}^3$.
Prendiamo ora l'applicazione lineare $\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ data da $\mathbb{x} \mapsto A \mathbb{x}$. Se $\mathbb{x}$ è un elemento di $D$, allora le sue componenti sono tutte non-negative, e almeno una è positiva; pertanto lo stesso vale per le componenti di $A \mathbb{x}$, dato che stiamo supponendo che $A$ sia una matrice ad elementi positivi.
Ciò dimostra che la funzione continua $T(\mathbb{x}):=\frac{A\mathbb{x}}{|A \mathbb{x}|}$ manda $D$ in sè, dunque per il teorema del punto fisso di Brouwer esiste $\mathbb{v} \in D$ tale che $T(\mathbb{v})=\mathbb{v}$. In altre parole $$A \mathbb{v} = |A \mathbb{v}| \cdot \mathbb{v},$$ cioè $\mathbb{v}$ è autovettore per $A$ avente autovalore positivo $|A \mathbb{v}|$.
Teorema (Perron-Frobenius). Sia $A$ una matrice reale $n \times n$ a coefficienti tutti positivi. Allora esiste un autovalore reale positivo $r$ di $A$, tale che ogni altro autovalore di $A$ ha modulo strettamente minore di $r$. Inoltre, $r$ è un autovalore semplice per $A$, dunque i corrispondenti autospazi (destro e sinistro) sono $1$-dimensionali. Inoltre, i generatori di tali autospazi possono essere scelti a componenti tutte positive.L'autovalore $r$ è noto come "radice di Perron-Frobenius", e per definizione esso coincide con il raggio spettrale di $A$. Il comportamento asintotico delle potenze $A^k$ per $k$ che tende all'infinito è pertanto controllato da $r$. Inoltre, se i coefficienti di $A$ sono tutti numeri algebrici allora lo stesso vale per $r$, dato che l'insieme dei numeri algebrici è un sottocampo algebricamente chiuso di $\mathbb{C}$. Pertanto, nel caso in cui $r$ sia in modulo maggiore di $1$, esso è un numero di Perron (cioè, un numero algebrico reale e maggiore di $1$, tale che tutte le sue radici coniugate hanno modulo strettamente minore di $1$).
Esistono in letteratura varie dimostrazioni del teorema di Perron-Frobenius. Ci soffermeremo qui su un semplice e sorprendente argomento topologico, basato sul teorema del punto fisso di Brouwer, che permette di dedurre l'esistenza di un autovalore reale positivo di $A$.
Sia $S^{n-1}$ la sfera $n$-dimensionale in $\mathbb{R}^n$, e consideriamo il sottoinsieme $D$ di $S^{n-1}$ dato dai punti a coordinate tutte non negative. È immediato verificare che $D$ è omeomorfo al disco chiuso $D^{n-1}$: ad esempio, se $n=3$ allora $D$ è il triangolo sferico dato dall'intersezione di $S^2$ con il primo ottante di $\mathbb{R}^3$.
Prendiamo ora l'applicazione lineare $\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ data da $\mathbb{x} \mapsto A \mathbb{x}$. Se $\mathbb{x}$ è un elemento di $D$, allora le sue componenti sono tutte non-negative, e almeno una è positiva; pertanto lo stesso vale per le componenti di $A \mathbb{x}$, dato che stiamo supponendo che $A$ sia una matrice ad elementi positivi.
Ciò dimostra che la funzione continua $T(\mathbb{x}):=\frac{A\mathbb{x}}{|A \mathbb{x}|}$ manda $D$ in sè, dunque per il teorema del punto fisso di Brouwer esiste $\mathbb{v} \in D$ tale che $T(\mathbb{v})=\mathbb{v}$. In altre parole $$A \mathbb{v} = |A \mathbb{v}| \cdot \mathbb{v},$$ cioè $\mathbb{v}$ è autovettore per $A$ avente autovalore positivo $|A \mathbb{v}|$.
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