(G. H. Hardy)
La ben nota Congettura dei Primi Gemelli asserisce che esistono infinite coppie di numeri primi la cui differenza è $2$, come $$(3, \, 5), \; (5, \, 7), \; (11, \, 13), \; (17, \,19), \; (29, \, 31), \; (41, \, 43), \, (59, \, 61), \ldots$$ Fino a poco tempo fa, la congettura era completamente aperta e nessuno aveva una precisa idea su come affrontarla: ad esempio, non era neanche noto se esistessero infinite coppie di numeri primi la cui differenza fosse limitata superiormente da una costante fissata.
Per tale motivo, la comunità matematica fu fortemente impressionata dai risultati del matematico americano di origine cinese Yitan Zhang, che nel 2013 pubblicò sulla prestigiosa rivista Annals of Matematics l'articolo l'articolo [Zhang14], nel quale dimostrava che esistono infinite coppie di numeri primi che distano fra loro meno di 70 milioni. Per quanto evidentemente molto più debole della congettura dei primi gemelli, il teorema di Zhang rappresentava evidentemente un progresso spettacolare. La tecnica dimostrativa era basata su precedenti risultati di Goldston, Pintz and Yıldırım, e su un raffinamento di un crivello del tipo Bombieri-Vinogradov.
La storia di Zhang è per molti versi peculiare. Innanzitutto, nel 2013 Zhang aveva 58 anni, un'età inusualmente alta per contributi rivoluzionari in Matematica, e l'articolo pubblicato sugli Annals era il suo primo lavoro dal 2001. Inoltre, fino ad allora la sua carriera accademica era stata molto difficoltosa.
Durante la Rivoluzione Culturale in Cina, lui e sua madre vennero spediti per 10 anni a lavorare nei campi. Trasferitosi negli Stati Uniti e ottenuto il suo dottorato a Purdue nel 1991, sotto la direzione di Tzuong-Tsieng Moh, i rapporti con il suo advisor si deteriorarono fino al punto che quest'ultimo rifiutò di scrivergli le "recommendation letters", essenziali nel sistema universitario americano per ottenere una tenure track. Solo nel 1999, dopo aver svolto anche lavori umili come cameriere in un ristorante e impiegato di motel, riuscì finalmente ad ottenere un impiego come lecturer all'Università del New Hampshire.
I risultati rivoluzionari di Zhang gli garantirono subito fama internazionale e una moltitudine di premi e riconoscimenti. Oltre ad una cattedra come full professor all'università di California Santa Barbara (2015), gli vennero assegnati l'Ostrowski Prize (2013), il Cole Prize (2014), il Rolf Schock Prize (2014), una MacArthur Fellowship (2014) e venne eletto fellow dell'Academia Sinica (2014).
La storia ha una conclusione ugualmente interessante. Il valore di 70 milioni ottenuto da Zhang venne quasi immediatamente abbassato a 600 da J. Maynard, che combinò le idee di Zhang con tecniche dimostrative differenti. Successivamente, venne avviato un progetto di "matematica collettiva", proposto da T. Gowers e noto come Polymath. Il progetto Polymath 8, nel quale erano coinvolti sia Maynard che T. Tao, riuscì ad abbassare il gap da $600$ a $246$, vedi [Polymath 2014a], [Polymath 2014b].
Le tecniche oggi disponibili (2017), sotto l'ipotesi che valga la cosiddetta Congettura di Elliott–Halberstam, permettono di dimostrare che esistono infinite coppie di numeri primi che distano fra loro meno di $6$. Dunque, nonostante gli impressionanti progressi degli ultimi quattro anni, la dimostrazione della Congettura dei Primi Gemelli sembra al momento ancora fuori portata.
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| Yitan Zhang (fonte Wikipedia) |
Riferimenti:
[Zhang14] Y. Zhang: Bounded gaps between primes, Annals of Mathematics 179 (3): (2014), 1121–1174.
[Polymath 2014a] New equidistribution estimates of Zhang type, Algebra & Number Theory 8, 2067–2199 (2014)
[Polymath2014b] Variants of the Selberg sieve, and bounded intervals containing many primes, Research in the Mathematical Sciences, Springer (2014)
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