La Congettura di Poincaré

 Les mathématiques sont l'art de donner le même nom à des choses différentes.
(H. Poincaré)

Ogni varietà compatta, senza bordo e semplicemente connessa di dimensione $3$ è omeomorfa alla sfera $S^3$.

Questo è l'enunciato di quello che fino a pochi anni fa era uno dei problemi aperti più famosi della Matematica. Esso è chiamato Congettura di Poincaré, in quanto venne formulata per la prima volta da H. Poincaré nel 1900, nei lavori che posero le fondamenta per le moderne branche della disciplina conosciute come Topologia Geometrica e Topologia Algebrica.

La versione originaria della congettura era che i numeri di Betti (cioè, le dimensioni dei gruppi di omologia razionali) di una $3$-varietà chiusa fossero sufficienti per stabilire se essa sia omeomorfa alla $3$-sfera. Tuttavia, lo stesso Poincaré produsse nel 1904 un controesempio, esibendo una $3$-varietà compatta e senza bordo che ha lo stesso tipo di omologia di S^3 ma non è ad essa omeomorfa. Questo fu il primo esempio di quelle che oggi sono note come homology spheres.

Si può dimostrare che l'homology sphere di Poincaré ha gruppo fondamentale di ordine $120$, mentre (come è ben noto) $S^3$ è semplicemente connessa. Dunque era naturale chiedersi se imporre la semplice connessione fosse invece sufficiente a garantire l'esistenza di un omeomorfismo di una $3$-varietà chiusa con S^3, e da allora questa è stata la forma standard della congettura (anche se in realtà Poincaré non la enunciò mai esplicitamente come congettura, ma la pose solo come domanda).

H. Poincaré (fonte Wikipedia)

La congettura di Poincaré rimase per un po' di tempo nell'oblio, finché nel 1930 il topologo J. H. C. Whitehead ne pubblicò una dimostrazione, in seguito ritrattata perché errata. Molti altri tentativi di dimostrazione si susseguirono negli anni, spesso da parte di matematici di grande fama (Bing, Haken, Moise, Papakyriakopoulos) e tutti si rivelarono prima o poi fallaci, spesso per motivi molto sottili. Ciò contribuì a rafforzare la fama della Congettura di Poincaré come problema enormemente difficile. Una rassegna delle dimostrazioni sbagliate (e una spiegazione degli errori) può trovarsi nel libro di G. Szpiro Poincaré's Prize.

La svolta arrivò nel 1982, quando R. S. Hamilton propose una possibile dimostrazione della Congettura che usava tecniche di Geometria Riemanniana, invece che di Topologia Algebrica. L'idea era quella di mettere sulla $3$-varietà chiusa e semplicemente connessa una metrica Riemanniana e di farla evolvere sotto l'azione del flusso di Ricci, sperando di trasformarla in una metrica a curvatura costante: questo sarebbe stato sufficiente a concludere, in quanto è noto che una 3-varietà chiusa che possiede una tale metrica deve essere omeomorfa a $S^3$.

Hamilton non fu tuttavia in grado di portare a compimento il suo programma, a causa del fatto che durante l'evoluzione sotto il flusso di Ricci la metrica acquista singolarità, che egli non era in grado di trattare se non in casi particolari. Le necessarie (e spettacolari) tecniche di "surgery" necessarie per ovviare al problema vennero introdotte da G. Perelman nel 2002, in tre e-prints su arXiv che sono rimasti nella storia. In essi, Perelman fu in grado non solo di completare il programma di Hamilton per la congettura di Poincaré, ma dimostrò una congettura molto più generale sulla geometria delle 3-varietà nota come Congettura di Geometrizzazione di Thurston.

Nel 2006 a Perelman venne assegnata la medaglia Fields per i suoi risultati (che egli non volle mai pubblicare su una rivista tradizionale), ma il matematico russo non si presentò alla cerimonia di premiazione a Madrid e rifiutò il premio. Analogo rifiuto venne opposto al premio da un milione di dollari che il Clay Institute offriva a chi avesse risolto uno dei Problemi del Millennio (la Congettura di Poincaré era fra questi).

Non si sa bene cosa di cosa si occupi Perelman in questo momento. Per motivi non ancora chiari (ma estranei all'argomento di questo post) egli ha lasciato nel 2005 il suo lavoro allo Steklov Institute, e da allora ha completamente smesso di frequentare la comunità matematica.

G. Perelman (fonte Wikipedia)