La Congettura di Collatz (o Congettura 3n+1), proposta da L. Collatz nel 1937, è uno dei più famosi problemi aperti in Matematica e può essere enunciata in modo straordinariamente semplice come segue.
Si parta da un qualsiasi intero positivo a_0=n; dopodiché, se esso è pari si definisce a_1= n/2 mentre se è dispari si definisce a_1=3n+1. Si applica poi lo stesso procedimento ad a_1 ottenendo a_2 e così via. La congettura afferma che, qualunque sia l'intero n da cui si parte, la successione definita per ricorrenza in tal modo raggiunge l'intero 1 dopo un numero finito di passi.
Ad esempio, partendo da n=12 si ha 12, 6, 3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, mentre partendo da n=19 si ha 19, 58, 29, 88, 44, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1. Partendo da n=27 sono necessarie ben 111 iterazioni, e la successione ricorsiva raggiunge 9232 prima di scendere fino ad 1:
\begin{equation*} \begin{split} & 27, 82, 41, 124, 62, 31, 94, 47, 142, 71, \\ & 214, 107, 322, 161, 484, 242, 121, 364, 182, 91, \\ & 274, 137, 412, 206, 103, 310, 155, 466, 233, 700, \\ & 350, 175, 526, 263, 790, 395, 1186, 593, 1780, 890, \\ & 445, 1336, 668, 334, 167, 502, 251, 754, 377, 1132, \\ & 566, 283, 850, 425, 1276, 638, 319, 958, 479, 1438, \\ & 719, 2158, 1079, 3238, 1619, 4858, 2429, 7288, 3644, \\ & 1822, 911, 2734, 1367, 4102, 2051, 6154, 3077, 9232, 4616, \\ & 2308, 1154, 577, 1732, 866, 433, 1300, 650, 325, 976, 488, \\ & 244, 122, 61, 184, 92, 46, 23, 70, 35, 106, \\ & 53, 160, 80, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1. \end{split} \end{equation*} In generale, il numero di iterazioni necessarie affinché partendo dall'intero positivo n si raggiunga 1 viene chiamato il "tempo d'arresto di n". Pertanto la congettura può essere riformulata dicendo che ogni intero positivo ha un tempo d'arresto finito. I tempi d'arresto dei primi numeri naturali sono tabulati nella successione OEIS A006577:
\begin{equation*} \begin{split} & 0, 1, 7, 2, 5, 8, 16, 3, 19, 6, 14, 9, 9, 17, 17, 4, 12, \\ &20, 20, 7, 7, 15, 15, 10, 23, 10, 111, 18, 18, 18, 106, \\ & 5, 26, 13, 13, 21, 21, 21, 34, 8, 109, 8, 29, 16, 16, \ldots \end{split} \end{equation*} Nonostante essa possa essere facilmente spiegata a qualsiasi bambino delle scuole elementari, la Congettura di Collatz risulta essere un problema straordinariamente arduo, tant'è che lo stesso P. Erdos affermò che "la Matematica attuale, semplicemente, non è ancora pronta per esso".
Le verifiche sperimentali con l'uso del calcolatore mostrano che essa è vera fino a n=86 \times 2^{70}; ovviamente, questo non basta per dedurre che essa è vera per ogni valore di n, dato che potrebbe esistere un controesempio il cui ordine di grandezza è inaccessibile agli attuali metodi computazionali.
Un intero n potrebbe fornire un controesempio alla congettura di Collatz in due circostanze: se la successione per ricorrenza definita a partire da n diverge all'infinito, oppure se essa entra in un ciclo diverso dal ciclo banale (4, \, 2, \, 1). Come detto, al momento non si sa se ciò possa accadere; tuttavia, grazie al lavoro di vari autori (Steiner, Simons, de Weger, ...) è stato possibile escludere rigorosamente l'esistenza di cicli non banali di lunghezza fino a 68.
Inoltre, si sa che per "molti" interi positivi l'iterazione effettivamente termina ad 1. Più precisamente, Krasikov e Lagarias hanno dimostrato nel 2003 che il numero di interi nell'intervallo [1, \, x] aventi tempo d'arresto finito è almeno proporzionale a x^{0.84}.
Nessun commento:
Posta un commento