(W. Thurston)
Nel 2012, il matematico giapponese S. Mochizuki, dell'Università di Kyoto, pubblicò sulla sua pagina web una serie di quattro preprint nei quali introduceva una serie di nuove costruzioni in geometria aritmetica, da lui chiamate Inter-Universal Teichmüller theory (IUT), o Arithmetic Deformation Theory.
Secondo l'autore, la teoria è una generalizzazione della Geometria Anabeliana, che a sua volta è una delle tre grandi estensioni della Class Field Theory (le altre due sono la Teoria di Langlands e la Higher Class Field Theory). La IUT non usa la teoria analitica dei numeri, ma la sostituisce con la teoria delle funzioni Theta étale (anch'essa sviluppata da Mochizuchi), e lavora con l'intero gruppo di Galois assoluto e i suoi completamenti profiniti.
L'attenzione rivolta dalla comunità matematica alla IUT fu subito elevatissima, in quanto Mochizuchi forniva nei suoi lavori, come applicazione di essa, una dimostrazione della congettura abc, uno dei più importanti problemi aperti in Geometria Diofantea, che a sua volta implica una dimostrazione dell'Ultimo Teorema di Fermat indipendente da quella di Wiles.
Sembrava essere di fronte ad un'altra situazione in cui un singolo individuo costruisce una nuova e potente teoria in grado di risolvere un famoso problema aperto, in modo simile a quanto fatto da Wiles con la sua dimostrazione di FLT, da Perelman con quella della Congettura di Poincaré e da Y. Zhang per i suoi lavori sui primi a distanza limitata.
Sembrava essere di fronte ad un'altra situazione in cui un singolo individuo costruisce una nuova e potente teoria in grado di risolvere un famoso problema aperto, in modo simile a quanto fatto da Wiles con la sua dimostrazione di FLT, da Perelman con quella della Congettura di Poincaré e da Y. Zhang per i suoi lavori sui primi a distanza limitata.
Tuttavia, ci si rese subito conto che il paragone non reggeva. I lavori di Wiles, Perelman, Zhang, per quanto tecnicamente molto complicati, erano comunque basati su Matematica ben nota agli esperti, e vennero subito studiati in dettaglio e alla fine accettati come corretti. In relativamente poco tempo, altri matematici li generalizzarono e ne semplificarono alcune parti, scrivendo dei survey e rendendoli, almeno nelle loro linee generali, accessibili anche ai matematici non specialisti. Inoltre, sia Wiles che Zhang che Perelman (quest'ultimo, almeno all'inizio) tennero numerose conferenze e seminari in giro per il mondo per spiegare il significato dei loro risultati, disseminare le loro tecniche e soprattutto delucidare la strategia di fondo alla base della loro dimostrazione.
Nel caso di Mochizuki, la situazione appare ben diversa. Sin dall'inizio, leggendo i suoi preprint, gli esperti di teoria dei numeri si trovarono di fronte ad una giungla impenetrabile di nuove definizioni e concetti ("Hodge Theaters", "Frobenoids", "theta-links"), differente da tutto quanto avessero visto fino ad allora. Alcuni parlarono a tal proposito di "matematica aliena". La strategia di fondo della dimostrazione (complessivamente, 500 pagine densissime) rimaneva elusiva, e il rifiuto di Mochizuki a partecipare a qualsiasi conferenza fuori dal Giappone rendeva le cose ancora più difficili.
Il matematico russo I. Fesenko (Università di Nottingham) organizzò due grandi workshop sulla teoria, uno a Oxford (dicembre 2015) e uno a Kyoto (luglio 2016), ai quali parteciparono molti dei maggiori esperti in geometria diofantea. Entrambi gli incontri furono sostanzialmente un flop: a Oxford, Mochizuki non si presentò, ma si limitò a rispondere alle domande via Skype (si veda il resoconto di B. Conrad pubblicato in questo blog post). A Kyoto invece era presente, ma non riuscì tuttavia a spiegare in modo convincente l'idea alla base della sua nuova teoria.
Fesenko sostiene che oggi "almeno quattro matematici" hanno studiato a fondo la IUT, trovandola corretta; tuttavia, non è ben chiaro chi siano gli altri due (a parte Mochizuki e Fesenko stesso). Inoltre, è di pochi giorni fa la notizia che la "dimostrazione" di Moschizuki è stata accettata per la pubblicazione su Publications of the RIMS, di cui lo stesso Mochizuki è Editor in Chief. Questo non è necessariamente un segnale negativo, ma sicuramente è considerata una procedura inusuale e poco elegante.
A conti fatti, sembra che sia veramente troppo presto per dire che la congettura $abc$ è stata risolta.
Nel caso di Mochizuki, la situazione appare ben diversa. Sin dall'inizio, leggendo i suoi preprint, gli esperti di teoria dei numeri si trovarono di fronte ad una giungla impenetrabile di nuove definizioni e concetti ("Hodge Theaters", "Frobenoids", "theta-links"), differente da tutto quanto avessero visto fino ad allora. Alcuni parlarono a tal proposito di "matematica aliena". La strategia di fondo della dimostrazione (complessivamente, 500 pagine densissime) rimaneva elusiva, e il rifiuto di Mochizuki a partecipare a qualsiasi conferenza fuori dal Giappone rendeva le cose ancora più difficili.
Il matematico russo I. Fesenko (Università di Nottingham) organizzò due grandi workshop sulla teoria, uno a Oxford (dicembre 2015) e uno a Kyoto (luglio 2016), ai quali parteciparono molti dei maggiori esperti in geometria diofantea. Entrambi gli incontri furono sostanzialmente un flop: a Oxford, Mochizuki non si presentò, ma si limitò a rispondere alle domande via Skype (si veda il resoconto di B. Conrad pubblicato in questo blog post). A Kyoto invece era presente, ma non riuscì tuttavia a spiegare in modo convincente l'idea alla base della sua nuova teoria.
Fesenko sostiene che oggi "almeno quattro matematici" hanno studiato a fondo la IUT, trovandola corretta; tuttavia, non è ben chiaro chi siano gli altri due (a parte Mochizuki e Fesenko stesso). Inoltre, è di pochi giorni fa la notizia che la "dimostrazione" di Moschizuki è stata accettata per la pubblicazione su Publications of the RIMS, di cui lo stesso Mochizuki è Editor in Chief. Questo non è necessariamente un segnale negativo, ma sicuramente è considerata una procedura inusuale e poco elegante.
A conti fatti, sembra che sia veramente troppo presto per dire che la congettura $abc$ è stata risolta.
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| S. Moshizuki (fonte: NewScientist) |
la congettura a b c risolta dando un valore matematico al "raramente" che determina quando e di quanto c=a+b ≠ d=a*b*c
RispondiEliminaLa "congettura abc" è un importante teorema irrisolto della teoria dei numeri, riguarda le equazioni con una o più incognite. La congettura è così formulata: si prendono tre numeri interi a, b e c primi tra loro, cioè che non hanno fattori comuni eccetto 1 e che soddisfino la relazione a+b=c. Se d=radd(abc) è definito come il prodotto dei fattori distinti di abc, la congettura afferma che "raramente" d è più piccolo di c. Per poter confrontare il risultato matematico di due equazioni, è necessario dare un senso matematico ben definito al “raramente" e questo lavoro cerca, trova e definisce matematicamente il valore che deve avere il "raramente" riportato nell'enunciato; solo conoscendo i valori di c e di d, è possibile definire il quando, come, perchè e quant'è la differenza tra il risultato di due equazioni in cui operano due operazioni matematiche diverse: l'addizione e la moltiplicazione.
il lavoro di due pagine che non è possibile riportare quì in https://vixra.org/abs/2308.0186