Serie divergenti: la serie di Grandi

Les séries divergentes sont en général quelque chose de bien fatal et c’est une honte qu’on ose y fonder aucune démonstration.
(N. H. Abel)

Una serie numerica si dice "divergente" se non è convergente, ossia se la successione delle sue somme parziali non ammette limite finito. Come si evince dalla frase di N. H. Abel citata sopra (tratta da una lettera del 1826 al suo insegnante Holmboe) i matematici del passato vedevano le serie divergenti come oggetti infidi e pericolosi che era saggio evitare, in quanto fonte infinita di contraddizioni e paradossi.

Un esempio classico è la ben nota Serie di Grandi $$1-1+1-1+1-1+1-1 \ldots,$$ la cui successione delle somme parziali è $$1, \, 0, \, 1, \, 0, \, 1, \, 0, \, 1, \ldots$$ e la cui "somma" generò infinite (e spesso accese) controversie nel periodo precedente la sistematizzazione rigorosa dell'Analisi Matematica.

Infatti, alcuni raggruppavano la serie nel modo seguente: $$(1-1)+(1-1)+(1-1)+ \ldots$$ ottenendo come risultato $0$, altri preferivano invece scrivere $$1+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+ \ldots$$ ottendendo come risultato $1$.

Nel suo libro "Quadratura circula et hyperbolae per infinitas hyperbolas geometrice exhibita" (1703), nel quale la serie venne considerata per la prima volta in modo sistematico, Grandi interpretò questi due risultati contraddittori in chiave religiosa, sostenendo che, se da $0$ si può ottenere $1$, allora anche la creazione del mondo dal nulla è perfettamente plausibile. Più prosaicamente, aveva scoperto che la proprietà associativa dell'addizione non si estende in modo naturale alle somme infinite.

Altri ancora chiamavano $S$ il valore della somma, e scrivevano $$1-S = 1-(1-1+1-1+ \ldots) = S,$$ottenendo in tal modo il valore $S=1/2$.

I sostenitori della risposta $1/2$ osservavano che la serie di Grandi si ottiene ponendo $x= -1$ nella somma della serie geometrica $$\frac{1}{(1-x)}= 1+x+x^2+x^3+x^4+ \ldots$$ Siccome la relazione precedente vale per ogni $x$ con $|x|<1$, per "continuità" essi deducevano che doveva valere anche per $x= -1$, valore per il quale il membro di sinistra è ancora definito. Lo stesso Leibniz commise questo errore, il che mostra quanto potessero essere nebulosi, anche per le migliori menti del periodo, concetti considerati oggi standard come il "raggio di convergenza" e il "prolungamento analitico" di una serie di potenze.

La risposta $1/2$ venne giustificata euristicamente (anche dalla stesso Grandi) osservando che, se un bene materiale viene passato fra due eredi ad intervalli regolari di tempo, allora ciascuno dei due può dire di possederne la metà. Di nuovo, Grandi interpretò la cosa in termini di creazione del cosmo dal nulla (si vede che era un soggetto che gli stava a cuore).

Come osservato opportunamente da G. Hardy, le controversie sulla somma della Serie di Grandi (e su quella delle serie divergenti in generale) terminarono nel momento in cui i matematici smisero di chiedersi "cosa fosse" la somma della serie, e incominciarono a domandarsi "come definirla".  A tale scopo, vennero sviluppati vari metodi per dare un significato al concetto di "somma di una serie divergente", e fu finalmente chiaro che metodi di sommazione differenti possono dare valori differenti.

Siccome le somme parziali della Serie di Grandi sono alternativamente 0 e 1, la serie non ha somma nel senso usuale del termine. Tuttavia, si può ad esempio considerare la somma di Cesàro (1890), nella quale al posto della successione delle somme parziali usuali si prende quella delle loro medie aritmetiche.

Per la serie di Grandi, tali medie aritmetiche sono $$1, \,1/2, \,2/3, \,2/4, \,3/5, \,3/6,\, 4/7, \,4/8, \ldots$$ e questa successione converge ad $1/2$. Dunque la somma di Cesàro della serie di Grandi (o, equivalentemente, della successione $1, \, 0, \,1, \, 0,\, 1,\, 0, \ldots$) è effettivamente $1/2$.

D'altra parte, anche il metodo di raggruppamento dei termini, che fornisce 0 e 1 come "valori", ha un'interpretazione moderna e corretta in termini di "Eilenberg–Mazur swindle", una costruzione usata in Algebra e Topologia Geometrica.

I teologi à la Grandi possono tirare un sospiro di sollievo.