Curve che riempiono il quadrato

Alla fine dell'800, il sorprendente risultato di G. Cantor, secondo cui l'intervallo unitario $I=[0, \, 1]$
può essere messo in corrispondenza biunivoca con il quadrato $Q=I \times I$, aveva spinto i matematici a domandarsi se fosse possibile realizzare una corrispondenza biettiva e continua fra $I$ e $Q$.

La risposta risultò essere negativa: in termini moderni, siccome $I$ è uno spazio compatto e $Q$ è uno spazio di Hausdorff, per risultati standard di topologia generale una tale mappa dovrebbe essere
un omeomorfismo, il che è assurdo dato che $I$ può essere disconnesso togliendo un punto, mentre $Q$ non ha questa proprietà. 

Tuttavia, nel 1890, il matematico italiano G. Peano dimostrò il seguente sorprendente 

risultato [Pe890]:

Teorema. Esiste un'applicazione suriettiva e continua $\alpha \colon  I \to Q$.

In altre parole, Peano aveva scoperto l'esistenza di una curva continua che riempie tutto il quadrato, e che oggi viene appunto detta curva di Peano. Si tratta di un oggetto inaspettato, data l'idea intuitiva che in genere si possiede di "curva". Si noti che, per quanto osservato prima, la curva di Peano deve necessariamente auto-intersecarsi, dato che se $\alpha$ fosse iniettiva allora sarebbe un omeomorfismo. 

G. Peano (fonte Wikipedia)

La costruzione di Peano è basata su un procedimento di espansione ternaria dei numeri reali; leggendo l'articolo originale, però, ci si rende conto che l'autore aveva ben presente la costruzione della sua curva come limite uniforme di curve lineari a tratti. Questa idea venne esplicitata l'anno dopo da D. Hilbert, il cui lavoro [Hilb891] contiene il disegno delle successive iterazioni che convergono ad una curva che riempie il quadrato, una variante della curva di Peano oggi nota come curva di Hilbert.

Le prime sei iterazioni nella costruzione della curva di Hilbert (fonte Wikipedia).

Lievi modifiche delle costruzioni di Peano e Hilbert permettono di costruire curve continue che riempiono tutto l'ipercubo $n$-dimensionale $I^n$, ed anche curve (senza estremi) che riempiono lo spazio euclideo $n$-dimensionale $\mathbb{R}^n$. Per tali motivi si parla talvolta di  space-filling curves.

Oggi sono noti molti esempi di curve siffatte (curva di Sierpinski, curva di Moore, curva di Lebesgue). Sono tutti esempi di curve frattali, quindi non regolari. Infatti, dal lemma di Sard segue  che non può esistere una space-filling curve ovunque differenziabile. Si noti tuttavia che, mentre le curve di Peano e Hilbert non sono differenziabili in alcun punto, nell'esempio di Lebesgue si ha differenziabilità quasi ovunque.

L'esistenza di curve che riempiono il quadrato fa sorgere in modo naturale la seguente domanda:
è possibile caratterizzare gli spazi topologici che sono immagine continua dell'intervallo unitario $I$?
La risposta è affermativa, ed è fornita dal celebre

Teorema di Hahn–Mazurkiewicz. Uno spazio topologico $X$ è immagine continua di $I$ se e solo se $X$ compatto, connesso, localmente connesso e $2$-numerabile.

Infine, è anche possibile costruire curve continue e iniettive (ma non suriettive) $\alpha \colon I \to  Q$ la cui immagine ha area positiva: sono le cosiddette curve di Osgood.

Per maggiori dettagli sull'argomento di questo post, il lettore può consultare la monografia dedicata [Sa94].

Riferimenti:

[Pe890] G. Peano: Sur une courbe, qui remplit toute une aire plane,
Mathematische Annalen 36 (1) (1890), 157–160, doi:10.1007/BF01199438
[Hilb891] D. Hilbert: Ueber die stetige Abbildung einer Line auf ein Flächenstück,
Mathematische Annalen 38 (3) (1891): 459–460, doi:10.1007/BF01199431
[Sa94] H. Sagan: Space-Filling Curves, Universitext, Springer-Verlag (1994).