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04 dicembre 2018

Il porisma di Steiner

In geometria, il termine porisma viene spesso utilizzato per indicare una configurazione di oggetti che in generale non esiste e che tuttavia, non appena esiste, esiste in un’infinità di casi.  Uno dei porismi più famosi è quello che prende il nome dal matematico svizzero  J. Steiner (1796-1863), e che riguarda catene di circonferenze tangenti fra loro e a due circonferenze date. L’enunciato preciso è il seguente:
Porisma di Steiner. Siano A e B due circonferenze disgiunte nel piano, con A interna a B. Supponiamo  che esista una catena di circonferenze C_1, \ldots, C_n, aventi le seguenti proprietà:
  1. Ogni circonferenza C_i è tangente alla precedente e alla successiva, e inoltre C_n è tangente a C_1 (in altre parole, la catena è chiusa); 
  2. Ogni C_i è tangente sia ad A che a B
Allora esistono infinite catene siffatte, tutte ottenibili da una fissata per mezzo di rotazioni. Inoltre, ogni circonferenza C, tangente sia ad A che a B, è membro di una tale catena.
Una catena di circonferenza che verifica i punti (1) e (2) sopra è detta catena (chiusa) di Steiner. Dunque il Porisma di Steiner può essere anche enunciato dicendo che, se A e B ammettono una catena di Steiner formata da n elementi, allora ne ammettono infinite.

Catene di Steiner (fonte Wikipedia)

Una bella dimostrazioni di questo sorprendente risultato è contenuta nel Capitolo 6 del libro di H. S. M. Coxeter [C89]. L’idea è quella di considerare una particolare inversione del piano, che trasformi le due circonferenze A e B in due circonferenze concentriche A’, B’. Siccome una tale inversione manda circonferenze tangenti in circonferenze tangenti, è ora sufficiente dimostrare l’enunciato per  A’, B’, nel qual caso è ovvio.

Si noti che questo argomento permette anche di dedurre che i punti di tangenza delle circonferenze della catena giacciono a loro volta su una circonferenza. Inoltre, un semplice calcolo mostra che i centri delle circonferenze della catena giacciono su un’ellisse, avente per fuochi i centri di A e B.

Nel caso degenere in cui le circonferenze A, B sono tangenti internamente in un punto p, è possibile considerare una particolare inversione che manda p all’infinito, trasformando A e B in due rette parallele. La stessa dimostrazione di prima mostra che in tal caso esistono infinite catene di Steiner per A e B, ciascuna delle quali formata a sua volta da un numero infinito di circonferenze (il cui raggio tende a zero man mano che esse si avvicinano a p). Questa situazione è trattata in dettaglio nel Capitolo 3 di [N97].

Riferimenti.

[C89] H. S. M. Coxeter: Introduction to Geometry, 2nd edition, Wiley and Sons 1989
[N97]  T. Needham: Visual Complex Analysis, Clarendon Press 1997.

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