Il porisma di Steiner

In geometria, il termine porisma viene spesso utilizzato per indicare una configurazione di oggetti che in generale non esiste e che tuttavia, non appena esiste, esiste in un’infinità di casi.  Uno dei porismi più famosi è quello che prende il nome dal matematico svizzero  J. Steiner (1796-1863), e che riguarda catene di circonferenze tangenti fra loro e a due circonferenze date. L’enunciato preciso è il seguente:

Porisma di Steiner. Siano $A$ e $B$ due circonferenze disgiunte nel piano, con $A$ interna a $B$. Supponiamo  che esista una catena di circonferenze $C_1, \ldots, C_n$, aventi le seguenti proprietà:

1. Ogni circonferenza $C_i$ è tangente alla precedente e alla successiva, e inoltre $C_n$ è tangente a $C_1$ (in altre parole, la catena è chiusa); 
2. Ogni $C_i$ è tangente sia ad $A$ che a $B$. 

Allora esistono infinite catene siffatte, tutte ottenibili da una fissata per mezzo di rotazioni. Inoltre, ogni circonferenza $C$, tangente sia ad $A$ che a $B$, è membro di una tale catena.

Una catena di circonferenza che verifica i punti (1) e (2) sopra è detta catena (chiusa) di Steiner. Dunque il Porisma di Steiner può essere anche enunciato dicendo che, se $A$ e $B$ ammettono una catena di Steiner formata da $n$ elementi, allora ne ammettono infinite.

Catene di Steiner (fonte Wikipedia)

Una bella dimostrazioni di questo sorprendente risultato è contenuta nel Capitolo 6 del libro di H. S. M. Coxeter [C89]. L’idea è quella di considerare una particolare inversione del piano, che trasformi le due circonferenze $A$ e $B$ in due circonferenze concentriche $A’$, $B’$. Siccome una tale inversione manda circonferenze tangenti in circonferenze tangenti, è ora sufficiente dimostrare l’enunciato per  $A’$, $B’$, nel qual caso è ovvio.

Si noti che questo argomento permette anche di dedurre che i punti di tangenza delle circonferenze della catena giacciono a loro volta su una circonferenza. Inoltre, un semplice calcolo mostra che i centri delle circonferenze della catena giacciono su un’ellisse, avente per fuochi i centri di $A$ e $B$.

Nel caso degenere in cui le circonferenze $A$, $B$ sono tangenti internamente in un punto $p$, è possibile considerare una particolare inversione che manda $p$ all’infinito, trasformando $A$ e $B$ in due rette parallele. La stessa dimostrazione di prima mostra che in tal caso esistono infinite catene di Steiner per $A$ e $B$, ciascuna delle quali formata a sua volta da un numero infinito di circonferenze (il cui raggio tende a zero man mano che esse si avvicinano a $p$). Questa situazione è trattata in dettaglio nel Capitolo 3 di [N97].

Riferimenti.

[C89] H. S. M. Coxeter: Introduction to Geometry, 2nd edition, Wiley and Sons 1989
[N97]  T. Needham: Visual Complex Analysis, Clarendon Press 1997.