risultato, rispondendo in tal modo ad un quesito posto nel 1883 da J. J. Sylvester:
Teorema. Consideriamo un insieme finito di punti di $\mathbb{R}^2$ tali che una retta passante per due qualsiasi di essi ne contenga un terzo. Allora tutti i punti sono allineati.In altre parole, dato un insieme di punti non tutti allineati nel piano reale, esiste almeno una retta che contiene esattamente due di essi. Osserviamo che il teorema sussiste anche nel piano proiettivo $\mathbb{RP}^2$, dato che una configurazione finita di punti in tale piano può essere trasformata in una configurazione nel piano euclideo senza cambiare l'insieme delle rette che li congiungono, semplicemente scegliendo come retta all'infinito una retta che non contenga nessuno dei punti.
Oggi sono note molte dimostrazioni differenti del Teorema di Sylvester-Gallai. Una discussione di quella originale di Gallai può trovarsi in [BM90], mentre nella corrispondente pagina Wikipedia ne sono riportate altre due.
La prima, dovuta a L. M. Kelly, è di carattere geometrico elementare, e utilizza un argomento per assurdo basato sull'esistenza di una coppia (retta congiungente due punti, terzo punto) tale che gli elementi della coppia abbiano distanza minima fra tutte le possibili coppie di tale tipo.
La seconda, dovuta a E. Melchior, utilizza la teoria delle dualità, considerando la configurazione di rette in $(\mathbb{RP}^2)^*$, duale della data configurazione di punti in $\mathbb{RP}^2$, e mostrando con un delicato argomento topologico che, se tali rette non passano tutte per un punto, allora esiste almeno un punto di $(\mathbb{RP}^2)^*$ per il quale passano esattamente due di esse.
È importante notare che il teorema di Silvester-Gallai non può essere generalizzato al piano
La seconda, dovuta a E. Melchior, utilizza la teoria delle dualità, considerando la configurazione di rette in $(\mathbb{RP}^2)^*$, duale della data configurazione di punti in $\mathbb{RP}^2$, e mostrando con un delicato argomento topologico che, se tali rette non passano tutte per un punto, allora esiste almeno un punto di $(\mathbb{RP}^2)^*$ per il quale passano esattamente due di esse.
È importante notare che il teorema di Silvester-Gallai non può essere generalizzato al piano
complesso $\mathbb{C}^2$ o, equivalentemente, al piano proiettivo $\mathbb{CP}^2$. Infatti, per un ben noto risultato di geometria algebrica elementare, i 9 punti di flesso di una cubica piana liscia $C_3$ in $\mathbb{CP}^2$ (ossia, di una curva definita da un'equazione omogenea di terzo grado $F(x, \, y, \, z)=0$) hanno la proprietà che la retta passante per due qualsiasi di essi ne contiene anche un terzo. Ciò è un'immediata conseguenza del fatto che i 9 punti di flesso di $C_3$ corrispondono esattamente ai punti di 3-torsione nella legge di gruppo sulla curva (definita da "tre punti hanno somma nulla se e solo se essi sono allineati").
Tali 9 punti di flesso, insieme alle 12 rette che li congiungono, formano la cosiddetta configurazione di Hesse, indicata anche con il simbolo $9_4 12_3$, dato che vi sono 3 punti su ogni retta e 4 rette per ogni punto. Dal teorema di Sylvester-Gallai segue che la configurazione di Hesse non può essere realizzata su $\mathbb{R}$, cioè che i 9 flessi di una cubica liscia non possono avere tutti coordinate reali.
Riferimenti.
[BM90] P. Borwein, W. O. J. Moser: A survey of Sylvester's problem and its generalizations, Aequationes mathematicae 40 (1), 111-135 (1990)
Tali 9 punti di flesso, insieme alle 12 rette che li congiungono, formano la cosiddetta configurazione di Hesse, indicata anche con il simbolo $9_4 12_3$, dato che vi sono 3 punti su ogni retta e 4 rette per ogni punto. Dal teorema di Sylvester-Gallai segue che la configurazione di Hesse non può essere realizzata su $\mathbb{R}$, cioè che i 9 flessi di una cubica liscia non possono avere tutti coordinate reali.
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| La configurazione di Hesse (fonte Wikipedia) |
Riferimenti.
[BM90] P. Borwein, W. O. J. Moser: A survey of Sylvester's problem and its generalizations, Aequationes mathematicae 40 (1), 111-135 (1990)
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