$\pi=4$?

Un famoso paradosso geometrico che ogni tanto rispunta fuori sul web è quello mostrato nella figura sottostante. Tramite un ingegnosa “inversione ripetuta degli angoli”, una circonferenza $C$ di diametro unitario viene approssimata uniformemente da una successione di curve poligonali $L_n$ di lunghezza costante $4$. Siccome la lunghezza di $C$ è per definizione uguale a $\pi$, passando al limite si ottiene $\pi=4$.

L’errore in questo ragionamento è piuttosto sottile ed è radicato profondamente nel significato di “lunghezza di una curva parametrizzata”. Il punto cruciale è che il calcolo di tale lunghezza (o, equivalentemente, il calcolo del suo parametro d’arco) coinvolge il calcolo della derivata della funzione parametrizzante, quindi se si vuole passare al limite delle lunghezze in modo corretto bisogna essere sicuri di avere un controllo anche sul limite delle derivate.

Infatti, è un risultato ben noto di Analisi Reale che se si ha una successione $x_n(t)$ di curve parametrizzate che converge ad una curva limite $x(t)$, non è detto che la lunghezza d’arco delle $x_n(t)$ converga alla lunghezza d’arco di $x(t)$.

Più generalmente, può accadere che due funzioni reali $f$, $g$ siano “molto vicine” fra loro su un intervallo compatto $I$, cioè $| f(t)-g(t) | <  \epsilon$ per ogni punto $t \in I$, ma le loro derivate rimangano “distanti”, ossia $|f’(t)-g’(t)| > c$ per una costante $c>0$.

Nel nostro caso, le poligonali $L_n$ approssimano uniformemente la circonferenza $C$ e l’area da esse racchiusa converge alla corrispondente area del cerchio, ma le loro lunghezze non approssimano la lunghezza della circonferenza, per la ragione spiegata sopra. Questo è un esempio del fatto contro-intuitivo (ma vero) che si può approssimare puntualmente una curva chiusa semplice e l'area da essa contenuta, senza necessariamente approssimarne la lunghezza.

Varianti di questo paradosso sono ottenute approssimando la diagonale di una quadrato con una successione di “curve a zig zag”, che forniscono il “valore” $\sqrt{2}=2$ (si tratta del cosiddetto “staircase paradox”).

Per ulteriori commenti e dettagli, il lettore può leggere i due interessanti thread su MathStackExchange [MSE12906] e [MSE43118].

Riferimenti.

[MSE12906] https://math.stackexchange.com/questions/12906/the-staircase-paradox-or-why-pi-ne4

[MSE43118] https://math.stackexchange.com/questions/43118/how-to-convince-a-layperson-that-the-pi-4-proof-is-wrong