Numeri di Fibonacci e potenze perfette

Tutti conoscono la successione di Fibonacci $F_n$, definita per ricorrenza come $$F_0=0, \quad F_1=1, \quad  F_n=F_{n-1}+F_{n-2}$$  e i cui primi termini sono $$0, \,1, \,1, \,2, \,3, \,5, \,8, \,13, \,21, \,34, \,55, \,89, \,144, \ldots$$ Una domanda naturale è quali siano numeri di Fibonacci che siano anche quadrati perfetti, o cubi perfetti o, più generalmente, $n$-esime potenze perfette. Semplici esperimenti al calcolatore suggeriscono la seguente

Congettura: Le sole potenze perfette nella successione di Fibonacci sono 1, 8, 144.

Come spesso accade in Teoria dei Numeri, un enunciato ingannevolmente semplice nasconde un problema molto difficile. Infatti, la Congettura è vera, ma la dimostrazione completa si è avuta solo pochi anni fa, per mezzo di tecniche simili a quelle utilizzate per la dimostrazione dell’Ultimo Teorema di Fermat.

Sembra che il problema sia stata proposto (indipendentemente) da Moser-Carlitz e Rollet nel 1963. Il caso dei quadrati fu risolto (ancora indipendentemente) da Cohn e Wyler nel 1963. Quello per i cubi è invece un risultato della dissertazione dottorale di Finkelstein (1964).

Nei decenni successivi furono proposte varie dimostrazioni per specifici valori di $n$, finché il caso generale venne risolto nel 2006 da Bugeaud, Mignotte and Siksek in un complesso lavoro su Annals of Mathematics [1].

Per ulteriori dettagli, il lettore può consultare il post su MathOverflow [2] e il survey paper [3].

Riferimenti.

[1] Y. Bugeaud, M. Mignotte, S. Siksek: Classical and modular approaches to exponential Diophantine equations. I. Fibonacci and Lucas perfect powers, Annals of Mathematics 163 (2006), 969-1018.

[2] https://mathoverflow.net/questions/1624/is-8-the-largest-cube-in-fibonacci-sequence

[3] V. Andreijc: On Fibonacci powers, Univ. Beograd. Publ. Elektrotehn. Fak., Ser. Math 17 (2006), 38-44.