It is not well-defined!

"It's my turn" ("Amarti a New-York", nella solita fedelissima traduzione italiana) è un film americano del 1991, diretto da Claudia Weill.

Si tratta di una commedia romantica "gradevole ma senza troppe pretese" (Mereghetti), che però ha una particolarità: nella scena iniziale, la protagonista Kate (interpretata da Jill Clayburgh) tiene una lezione di Matematica all'Università, nella quale dà una dimostrazione impeccabile del classico Lemma del Serpente ("Snake Lemma") in Algebra Omologica.

La caccia al diagramma è condotta in modo corretto, l'osservazione dello studente "It is not well-defined!" è ragionevole, e la risposta di Kate "It turns out it's well-defined up to the image of alpha" chiarisce perché si ottenga una mappa $\mathrm{ker}(\gamma) \to  \mathrm{coker}(\alpha)$.

Abituato a vedere la Matematica massacrata al cinema da geni ribelli e compagnia bella, incontrare questa scena così realistica in una pellicola commerciale mi ha lasciato (piacevolmente) sconcertato.

Foto iconiche: Alexander Grothedieck

Alexender Grothendieck fa lezione all'IHES, a metà degli anni '60.

Una dimostrazione topologica dell'infinità dei numeri primi

Esistono oggi molte dimostrazioni dell'infinità dei numeri primi, e il lettore interessato può trovarne alcune nel bel libro [1]. Una di esse si basa su un argomento di tipo topologico, ed è dovuta al matematico israeliano  H. Furstenberg (premio Wolf 2006), che la pubblicò nel 1955 (vedi [2]) quando era ancora uno studente alla Yeshiva University.

A differenza della dimostrazione classica di Euclide, quella di Furstenberg è per assurdo, e l'argomento utilizzato è abbastanza snello da poter essere riprodotto interamente qui.

Per ogni $a, \, b \in \mathbb{Z}$, $b >0$ consideriamo la progressione aritmetica infinita (in entrambe le direzioni) $$N_{a, \, b} :=\{a+nb \; | \; n \in \mathbb{Z} \},$$ e diciamo che un sottoinsieme $A$ di $\mathbb{Z}$ è aperto se $A$ è vuoto oppure se per ogni $a \in A$ esiste $b \in \mathbb{Z}^+$ tale che $N_{a, \, b} \subseteq A$.

Si dimostra agevolmente che in tal modo si definisce su $\mathbb{Z}$ una topologia $\mathcal{T}$, per la quale le progressioni $N_{a, \,b}$ sono una base di aperti e tale che ogni aperto non vuoto è infinito.

Il punto cruciale della dimostrazione di Furstenberg è che ogni sottoinsieme $N_{a, \, b}$ è anche chiuso, dato che possiamo esprimerlo come complementare di una unione (finita) di aperti nel modo seguente: $$N_{a, \, b} = \mathbb{Z}- \bigcup_{j=1}^{b-1}N_{a+j, \, b}.$$ A questo punto siamo pronti a fare entrare in gioco l'insieme $\mathbb{P}$ dei numeri primi. Infatti, ogni intero $n \notin \{-1, \, 1\}$ possiede almeno un divisore primo $p$, il che vuol dire $n \in N_{0, \, p}$; pertanto, possiamo scrivere $$\begin{equation} \label{eq:fustenberg} \mathbb{Z}-\{-1, \, 1\} = \bigcup _{p \, \in \, \mathbb{P}}N_{0, \, p}. \tag{$\heartsuit$} \end{equation}$$ Se $\mathbb{P}$ fosse un insieme finito, il membro di destra in $\eqref{eq:fustenberg}$ sarebbe una unione finita di chiusi, e quindi un chiuso. Ma allora $\{-1,\, 1\}$ sarebbe un aperto, contraddicendo il fatto che ogni aperto non vuoto di $\mathcal{T}$ è infinito.

H. Furstenberg nel 1992 (fonte Wikipedia)

Riferimenti.

[1]  M. Aigner, G. Ziegler: Proofs from THE BOOK (4th ed. 2009). Berlin, New York: Springer-Verlag.

[2] H. Furstenberg: On the infinitude of primes, American Mathematical Monthly 62 (5), 353 (1955).

Matrici a traccia nulla

Siano $A$ e $B$ matrici $n \times n$ su un arbitrario campo $k$. Allora è facile dimostrare, via calcolo diretto, che $\mathrm{tr}(AB)=\mathrm{tr}(BA)$. Siccome la traccia è un funzionale lineare, da ciò segue immediatamente che $\mathrm{tr}([A, \, B])=0$, cioè ogni commutatore $[A, \, B]= AB-BA$ ha traccia nulla.

Sorprendentemente, vale anche il viceversa: ogni matrice a traccia nulla è un commutatore. In altre parole, data una matrice $C$ tale che $\mathrm{tr}(C)=0$, esistono matrici $A$ e $B$ tali che $C=AB-BA$.

Applicando la linearità della traccia, otteniamo il seguente interessante corollario: ogni matrice che sia combinazione lineare di commutatori è essa stessa un commutatore (al contrario di ciò che accade in Teoria dei Gruppi, dove un prodotto di commutatori non è necessariamente un commutatore).

Una dimostrazione del viceversa può essere trovata in [1], e un’interessante discussione sull’argomento è contenuta nel thread MathStackExchange 95537 [2].

Non mi è nota nessuna dimostrazione elementare di questo risultato.

Riferimenti.

[1] A. A. Albert, B. Muckenhoupt: On matrices of trace zero, Michigan Math. J., Volume 4, Issue 1 (1957), 1-3.

[2] https://math.stackexchange.com/questions/95537/does-the-set-of-matrix-commutators-form-a-subspace