Siano $A$ e $B$ matrici $n \times n$ su un arbitrario campo $k$. Allora è facile dimostrare, via calcolo diretto, che $\mathrm{tr}(AB)=\mathrm{tr}(BA)$. Siccome la traccia è un funzionale lineare, da ciò segue immediatamente che $\mathrm{tr}([A, \, B])=0$, cioè ogni commutatore $[A, \, B]= AB-BA$ ha traccia nulla.
Sorprendentemente, vale anche il viceversa: ogni matrice a traccia nulla è un commutatore. In altre parole, data una matrice $C$ tale che $\mathrm{tr}(C)=0$, esistono matrici $A$ e $B$ tali che $C=AB-BA$.
Applicando la linearità della traccia, otteniamo il seguente interessante corollario: ogni matrice che sia combinazione lineare di commutatori è essa stessa un commutatore (al contrario di ciò che accade in Teoria dei Gruppi, dove un prodotto di commutatori non è necessariamente un commutatore).
Una dimostrazione del viceversa può essere trovata in [1], e un’interessante discussione sull’argomento è contenuta nel thread MathStackExchange 95537 [2].
Non mi è nota nessuna dimostrazione elementare di questo risultato.
Riferimenti.
[1] A. A. Albert, B. Muckenhoupt: On matrices of trace zero, Michigan Math. J., Volume 4, Issue 1 (1957), 1-3.
[2] https://math.stackexchange.com/questions/95537/does-the-set-of-matrix-commutators-form-a-subspace
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