Una dimostrazione topologica dell'infinità dei numeri primi

Esistono oggi molte dimostrazioni dell'infinità dei numeri primi, e il lettore interessato può trovarne alcune nel bel libro [1]. Una di esse si basa su un argomento di tipo topologico, ed è dovuta al matematico israeliano  H. Furstenberg (premio Wolf 2006), che la pubblicò nel 1955 (vedi [2]) quando era ancora uno studente alla Yeshiva University.

A differenza della dimostrazione classica di Euclide, quella di Furstenberg è per assurdo, e l'argomento utilizzato è abbastanza snello da poter essere riprodotto interamente qui.

Per ogni $a, \, b \in \mathbb{Z}$, $b >0$ consideriamo la progressione aritmetica infinita (in entrambe le direzioni) $$N_{a, \, b} :=\{a+nb \; | \; n \in \mathbb{Z} \},$$ e diciamo che un sottoinsieme $A$ di $\mathbb{Z}$ è aperto se $A$ è vuoto oppure se per ogni $a \in A$ esiste $b \in \mathbb{Z}^+$ tale che $N_{a, \, b} \subseteq A$.

Si dimostra agevolmente che in tal modo si definisce su $\mathbb{Z}$ una topologia $\mathcal{T}$, per la quale le progressioni $N_{a, \,b}$ sono una base di aperti e tale che ogni aperto non vuoto è infinito.

Il punto cruciale della dimostrazione di Furstenberg è che ogni sottoinsieme $N_{a, \, b}$ è anche chiuso, dato che possiamo esprimerlo come complementare di una unione (finita) di aperti nel modo seguente: $$N_{a, \, b} = \mathbb{Z}- \bigcup_{j=1}^{b-1}N_{a+j, \, b}.$$ A questo punto siamo pronti a fare entrare in gioco l'insieme $\mathbb{P}$ dei numeri primi. Infatti, ogni intero $n \notin \{-1, \, 1\}$ possiede almeno un divisore primo $p$, il che vuol dire $n \in N_{0, \, p}$; pertanto, possiamo scrivere \begin{equation} \label{eq:fustenberg} \mathbb{Z}-\{-1, \, 1\} = \bigcup _{p \, \in \, \mathbb{P}}N_{0, \, p}. \tag{$\heartsuit$} \end{equation} Se $\mathbb{P}$ fosse un insieme finito, il membro di destra in \eqref{eq:fustenberg} sarebbe una unione finita di chiusi, e quindi un chiuso. Ma allora $\{-1,\, 1\}$ sarebbe un aperto, contraddicendo il fatto che ogni aperto non vuoto di $\mathcal{T}$ è infinito.

H. Furstenberg nel 1992 (fonte Wikipedia)

Riferimenti.

[1]  M. Aigner, G. Ziegler: Proofs from THE BOOK (4th ed. 2009). Berlin, New York: Springer-Verlag.

[2] H. Furstenberg: On the infinitude of primes, American Mathematical Monthly 62 (5), 353 (1955).