Un gruppo $G$ si dice residualmente finito se, per ogni elemento di $g \in G$ diverso dall'identità, esiste un sottogruppo normale $N$ di indice finito non contenente $g$.
Ogni gruppo $G$ può essere reso un gruppo topologico prendendo come base di aperti la famiglia di tutti i sottogruppi normali di indice finito (questa è quella che si chiama la topologia profinita). La condizione che $G$ sia residualmente finito è equivalente a chiedere che la topologia profinita sia Hausdorff [1].
Tutti i gruppi finiti sono ovviamente residualmente finiti (e la corrispondente topologia profinita è quella discreta). I gruppi liberi sono residualmente finiti [2], così come i gruppi nilpotenti finitamente generati. I gruppi nilpotenti non finitamente generati non sono in genere residualmente finiti: si pensi a $\mathbb{Q}$, che è nilpotente ma non ha alcun quoziente finito non banale (essendo $\mathbb{Q}$ un gruppo divisibile, ogni suo quoziente è ancora divisibile).
Un gruppo $G$ di dice hopfiano se ogni epimorfismo $f \colon G \longrightarrow G$ è un isomorfismo. Un importante risultato dovuto a Malcev afferma che ogni gruppo finitamente generato e residualmente finito è hopfiano [3, p. 307].
Nel 1963 G. Baumslag and D. Solitar [4] costruirono esempi di gruppi finitamente presentati e non hopfiani; per il teorema di Malcev, questi forniscono anche esempi di gruppi finitamente presentati e non residualmente finiti.
Il più semplice di tale esempi si indica in genere con $BS(2, \, 3)$, ed ammette la seguente semplice presentazione con soli due generatori e una relazione $$BS(2, \, 3)= \left \langle a, b \ | \ b a^2 b^{-1} = a^3 \right \rangle.$$ Agli antipodi dei gruppi residualmente finiti sono quei gruppi che non possiedono quozienti finiti non banali (equivalentemente, la topologia profinita è quella banale). Un esempio, come ricordato sopra, è il gruppo dei razionali $\mathbb{Q}$. Sorprendentemente, esistono anche esempi finitamente presentati. Il primo ad essere scoperto (1951) è il gruppo di Higman [5], generato da quattro element $a, \, b, \, c, \, d$ soggetti alle relazioni $$a^{-1}ba=b^2,\quad b^{-1}cb=c^2,\quad c^{-1}dc=d^2,\quad d^{-1}ad=a^2.$$
Il più semplice di tale esempi si indica in genere con $BS(2, \, 3)$, ed ammette la seguente semplice presentazione con soli due generatori e una relazione $$BS(2, \, 3)= \left \langle a, b \ | \ b a^2 b^{-1} = a^3 \right \rangle.$$ Agli antipodi dei gruppi residualmente finiti sono quei gruppi che non possiedono quozienti finiti non banali (equivalentemente, la topologia profinita è quella banale). Un esempio, come ricordato sopra, è il gruppo dei razionali $\mathbb{Q}$. Sorprendentemente, esistono anche esempi finitamente presentati. Il primo ad essere scoperto (1951) è il gruppo di Higman [5], generato da quattro element $a, \, b, \, c, \, d$ soggetti alle relazioni $$a^{-1}ba=b^2,\quad b^{-1}cb=c^2,\quad c^{-1}dc=d^2,\quad d^{-1}ad=a^2.$$
Riferimenti
[1] https://math.stackexchange.com/questions/2220233/a-group-is-residually-finite-iff-profinite-topology-is-hausdorff
[2] https://mathoverflow.net/questions/20471/why-are-free-groups-residually-finite
[3] W. Magnus: Residually finite groups, Bull. Amer. Math. Soc. 75 (1969)
[4] G. Baumslag, D. Solitar: Some two-generator one-relator non-Hopfian groups, Bulletin of the American Mathematical Society 68 (1962)
[5] G. Higman: A finitely generated infinite simple group, Journal of the London Mathematical Society 26 (1951)
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