Foto iconiche: walking in Princeton

Albert Einstein e Kurt Gödel passeggiano lungo la strada che porta all'Institute for Advanced Study (Princeton), 1950 circa.

Durante gli ultimi anni della sua vita, Einstein manifestò una profonda amicizia per Gödel, al punto di affermare che si recava ogni mattina all'Istituto solo per il gusto di conversare con lui.

Gödel, da parte sua, studiò la Relatività Generale, scoprendo alcune soluzioni delle equazioni di campo che ammettono traiettorie chiuse nello spazio-tempo. Einstein fu sempre dell'opinione che tali strani oggetti matematici non avessero significato fisico (dato che violerebbero il principio di causalità), e la loro interpretazione è ancora oggi controversa.

Fonte: Jim Holt, Time bandits: What were Einstein and Gödel talking about?, The New Yorker, February 21, 2005.

Jokes

A good mathematical joke is better, and better mathematics, than a dozen mediocre papers.
J. E. Littlewood, A Mathematician's Miscellany

Il problema del nodo di Conway

Nell'agosto 2018 Lisa Piccirillo, all'epoca studentessa di dottorato ad Austin, Texas, partecipando ad una conferenza di Topologia in dimensione bassa venne a conoscenza di un problema aperto riguardante il cosiddetto nodo di Conway.

Si trattava di stabilire se tale nodo fosse "topologically slice", ovvero (detto in modo un po' impreciso) se fosse possibile ottenerlo come sezione di un nodo in dimensione più alta. Il problema era stato risolto per tutti gli altri nodi con al più 12 intersezioni, ma il nodo di Conway resisteva: tutti gli invarianti topologici, che funzionavano nelle altre situazioni, in questo caso non fornivano nessuna informazione.

Piccirillo si rese conto che poteva applicare al problema alcune tecniche di mutazione di cui era esperta, in modo da costruire un "trace sibling" per il nodo di Conway: se il trace sibling non è slice non lo è neanche il nodo di partenza, ma il trace sibling potrebbe comportarsi meglio rispetto agli invarianti topoologici.

Infatti, per il trace sibling costruito da Piccirillo si può usare l'invariante di Rasmussen in modo da dimostrare che non è slice, quindi neanche il nodo di Conway può esserlo.

Sembra che Piccirillo non fosse completamente consapevole dell'importanza del problema che aveva risolto. Quando raccontò candidamente la sua soluzione a Cameron Gordon, professore a UT Austin, si sentì rispondere "Ma questo va subito su Annals of Mathematics! Come puoi non essere eccitata?"

La soluzione di Piccirillo è apparsa sugli Annals a febbraio di quest'anno. Insieme ai suoi contributi precedenti, ha garantito all'autrice una tenure track al MIT.

Il lettore può trovare molti più dettagli riguardo questa affascinante storia nell'articolo di Erica Klarreich  Graduate Student Solves Decades-Old Conway Knot Problem, pubblicato su Quanta Magazine.

L'in-ellisse di Steiner e il Teorema di Marden

Si consideri un qualsiasi triangolo $ABC$; il seguente semplice ed elegante risultato è dovuto a Jacob Steiner (1796-1863): 

Teorema. Esiste un'unica ellisse $E$ inscritta in $ABC$ e tangente ai lati nei loro punti medi. Inoltre, il centro di $E$ coincide con il baricentro del triangolo.

L'ellisse $E$ è oggi nota come in-ellisse di Steiner. La dimostrazione mostra la potenza delle tecniche basate sulle trasformazioni geometriche. Tramite un'affinità, si trasformi $ABC$ in un triangolo equilatero $A'B'C'$. Siccome ogni affinità manda triangoli in triangoli, baricentri in baricentri, ellissi in ellissi e tangenti in tangenti, è sufficiente dimostrare il teorema per $A'B'C'$, nel qual caso è banale: in un triangolo equilatero, l'in-ellisse di Steiner è l'unica circonferenza inscritta.

Vi è un sorprendente legame fra l'in-ellisse di Steiner e l'analisi complessa, noto come Teorema di Marden. Si consideri un polinomio di una variabile complessa e grado $3$, ossia $p(z)=az^3+bz^2+cz+d$, avente tre radici $A, \, B, \,C$ distinte e  non collineari nel piano complesso $\mathbb{C}$. Per il Teorema di Gauss-Lucas, i due zeri della derivata $p'(z)$ si trovano nell'inviluppo convesso delle radici, che è il trangolo di vertici  $A, \,B, \,C$. Possiamo ora enunciare il

Teorema (di Marden). Gli zeri della derivata di $p'(z)$ sono i fuochi dell'in-ellisse di Steiner del triangolo $ABC$. Inoltre, l'unica radice di $p''(z)$ è il centro di tale ellisse.

Esistono generalizzazioni del Teorema di Marden a polinomi di grado superiore a $3$; il lettore può consultare la corrispondente pagina Wikipedia per ulteriori dettagli.

Un triangolo e la sua in-ellisse di Steiner (fonte: Wikipedia). Nel Teorema di Marden, le radici di $p(z)$ sono i vertici del triangolo (in nero), e quelle di $p'(z)$ sono i fuochi dell'ellisse (in rosso).  La radice di $p''(z)$ è il centro dell'ellisse (il punto medio del segmento con estremi i fuochi, in verde).

La clef des songes

Stamattina mia figlia di sei anni trotterellava per casa portandosi appresso un giocattolo che riproduceva la chiave di accensione di una automobile, con il telecomando per aprire le portiere e tutto il resto. Incuriosito, mi sono avvicinato:

"Giochi a fare il pilota di Formula 1?"

"Ma no, papà, questa è la chiave dei sogni." 

"Ah, vedi, come Grothendieck."

"Eh?"

"No, niente..."

La clef des songes - ou Dialogue avec le Bon Dieu è un manoscritto di 315 pagine, scritto nel 1987, nel quale Alexander Grothendieck, da molti considerato il più grande matematico del ventesimo secolo, analizza il significato dei suoi sogni, deducendo da essi l'esistenza di Dio. Si tratta di un testo importante anche dal punto di vista storico, in quanto contiene molti riferimenti autobiografici, in particolare riguardo l'infanzia di Grothendieck e il suo periodo di internamento con la madre in un campo di concentramento durante la Seconda Guerra Mondiale.

Alcuni di coloro che hanno letto l'opera la ritengono frutto di una mente disturbata; altri (ad esempio, Laurent Lafforgue) la considerano invece un libro profondamente visionario e spirituale, in anticipo rispetto ai suoi tempi.  Qualunque sia la verità, è sicuro che durante gli ultimi anni della sua vita Grothendieck si avvicinò a forme ascetiche di misticismo cristiano, mantenendo anche in questo lo stesso atteggiamento puro e incompromissorio che aveva caratterizzato tutta la sua carriera professionale.