L'in-ellisse di Steiner e il Teorema di Marden

Si consideri un qualsiasi triangolo $ABC$; il seguente semplice ed elegante risultato è dovuto a Jacob Steiner (1796-1863): 

Teorema. Esiste un'unica ellisse $E$ inscritta in $ABC$ e tangente ai lati nei loro punti medi. Inoltre, il centro di $E$ coincide con il baricentro del triangolo.

L'ellisse $E$ è oggi nota come in-ellisse di Steiner. La dimostrazione mostra la potenza delle tecniche basate sulle trasformazioni geometriche. Tramite un'affinità, si trasformi $ABC$ in un triangolo equilatero $A'B'C'$. Siccome ogni affinità manda triangoli in triangoli, baricentri in baricentri, ellissi in ellissi e tangenti in tangenti, è sufficiente dimostrare il teorema per $A'B'C'$, nel qual caso è banale: in un triangolo equilatero, l'in-ellisse di Steiner è l'unica circonferenza inscritta.

Vi è un sorprendente legame fra l'in-ellisse di Steiner e l'analisi complessa, noto come Teorema di Marden. Si consideri un polinomio di una variabile complessa e grado $3$, ossia $p(z)=az^3+bz^2+cz+d$, avente tre radici $A, \, B, \,C$ distinte e  non collineari nel piano complesso $\mathbb{C}$. Per il Teorema di Gauss-Lucas, i due zeri della derivata $p'(z)$ si trovano nell'inviluppo convesso delle radici, che è il trangolo di vertici  $A, \,B, \,C$. Possiamo ora enunciare il

Teorema (di Marden). Gli zeri della derivata di $p'(z)$ sono i fuochi dell'in-ellisse di Steiner del triangolo $ABC$. Inoltre, l'unica radice di $p''(z)$ è il centro di tale ellisse.

Esistono generalizzazioni del Teorema di Marden a polinomi di grado superiore a $3$; il lettore può consultare la corrispondente pagina Wikipedia per ulteriori dettagli.

Un triangolo e la sua in-ellisse di Steiner (fonte: Wikipedia). Nel Teorema di Marden, le radici di $p(z)$ sono i vertici del triangolo (in nero), e quelle di $p'(z)$ sono i fuochi dell'ellisse (in rosso).  La radice di $p''(z)$ è il centro dell'ellisse (il punto medio del segmento con estremi i fuochi, in verde).