La dimostrazione della non-numerabilità di \mathbb{R} che viene insegnata di solito al primo anno di università è quella basata sul ben noto procedimento diagonale [W], introdotto da Georg Cantor nel 1891 [C1891].
Meno nota è invece la dimostrazione originale di questo profondo risultato, che Cantor pubblicò nel 1874 [C1874] e che vogliamo qui proporre usando la terminologia moderna. Il punto di partenza è il seguente risultato generale di carattere topologico [M2014, Proposizione 4.46], oggi noto come
Lemma di Cantor. Sia K_1 \supset K_2 \supset K_3 \supset \ldotsuna catena numerabile di chiusi non vuoti e compatti di uno spazio topologico X. Allora \bigcap_{n \geq 1} K_n \neq \emptyset
Dimostrazione. Se il risultato fosse falso, la famiglia \{K_1-K_n\}_{n \geq 1} sarebbe un ricoprimento aperto di K_1. Siccome K_1 è compatto, si potrebbe estrarre da tale ricoprimento un sottoricoprimento finito, ottenendo K_1=\bigcup_{j = 1}^t (K_1-K_{n_j})
Osservazione: È importante notare che l'ipotesi di compattezza dei K_n è essenziale, altrimenti si costruiscono facilmente controesempi del tipo X=\mathbb{R}-\{0\} e K_n=[-1/n, \, 1/n] \cap X.
Siamo ora pronti ad illustrare l'idea della dimostrazione originale di Cantor.
Teorema (Cantor, 1874). La retta reale è non numerabile.
Dimostrazione. Supponiamo per assurdo che \{x_n\} sia una successione che enumera i reali; dimostreremo che, dato un qualsiasi intervallo (a, \, b), esiste sempre un numero reale y \in (a, \, b) che non appartiene ad essa.
Si costruiscano in modo ricorsivo due successioni \{a_n\}, \{b_n\} nel modo seguente: siano a_1, b_1 (con a_1 <b_1) i primi due elementi della successione \{x_n\} che sono contenuti in (a, \, b), siano a_2, b_2 (con a_2 < b_2) i primi due elementi della successione che sono contenuti in (a_1, \, b_1), siano a_3, b_3 (con a_3 < b_3) i primi due elementi della successione che sono contenuti in (a_2, \, b_2) e così via.
Osserviamo che, dato un qualsiasi elemento x_n della successione originaria, esiste t \in \mathbb{N} tale che x_n \notin [a_t, \, b_t]. Infatti, si scelga t \in \mathbb{N} tale che a_t=x_k e b_t=x_r, con k, \, r >n; allora, per come sono state costruite le successioni \{a_n\} e \{b_n\}, deduciamo x_n \notin(a_{t-1}, \, b_{t-1}) e quindi x_n \notin [a_t, \, b_t], come affermato.
Ora, per il Lemma di Cantor sappiamo che la catena decrescente di compatti [a_1, \, b_1] \supset [a_2, \, b_2] \supset [a_3, \, b_3] \supset \ldots
Questa elegante dimostrazione usa in modo essenziale il fatto che gli intervalli chiusi di \mathbb{R} sono compatti (il che è equivalente all'Assioma di Completezza), vedi l'Osservazione sopra. Per tale motivo, Cantor non ne fu pienamente soddisfatto e continuò a cercare una dimostrazione della non-numerabilità di \mathbb{R} che non fosse basata sulla completezza. Ciò lo portò, quasi 20 anni dopo, a scoprire l'argomento diagonale.
Riferimenti.
[C1891] G. Cantor: Ueber eine elementare Frage der Mannigfaltigkeitslehre, Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung. 1: 75–78 (1891)
[M2014] M. Manetti, Topologia (Seconda edizione), Springer Unitext 2014.
[W] https://en.wikipedia.org/wiki/Cantor's_diagonal_argument
Ma si può applicare benissimo lo stesso ragionamento a R privato dello zero, o a qualsiasi aperto se per questo. Invece di scegliere i primi due elementi tali cje l'intero segmento che li congiunge sia compreso nell'insieme. Anzi, penso che si generalizzi subito a qualsiasi sottoinsieme di R^n localmente connesso per archi e non costituito da soli punti isolati.
RispondiEliminaSu R privato dello zero non puoi dedurre che l'intersezione degli intervalli sia non vuota. Se preferisci, R-{0} non è completo, quindi le due sottosuccessioni {a_n} < {b_n}, che sono rispettivamente strettamente crescente e strettamente decrescente, potrebbero non avere limite.
EliminaQuesto commento è stato eliminato dall'autore.
RispondiElimina