Un campo $K$ si dice algebricamente chiuso se ogni polinomo $f \in K[x]$ non costante ha una radice in $K$. Equivalentemente, $K$ è algebricamente chiuso se ogni polinomio $f \in K[x]$ ha un numero di zeri (contato con molteplicità) pari al suo grado, o se gli unici polinomi non costanti e irriducibili in $K[x]$ sono quelli lineari.
Una chiusura algebrica di $K$ è una estensione algebrica $K \subseteq \bar{Κ}$ tale che $\bar{K}$ sia algebricamente chiuso. Equivalentemente, $\bar{K}$ è la più piccola estensione di $K$ che è algebricamente chiusa. Ad esempio, il Teorema Fondamentale dell'Algebra può essere espresso affermando che $\mathbb{C}$ è la chiusura algebrica di $\mathbb{R}$, dato che $\mathbb{C}$ è algebrico su $\mathbb{R}$ (di grado $2$).
Date due chiusure algebriche di $K$, si mostra che esiste un isomorfismo fra esse che fissa ogni elemento di $K$. Per via di questa essenziale unicità, si parla in genere "della" chiusura algebrica $\bar{K}$ di $K$. Inoltre, $\bar{K}$ ha la stessa cardinalità di $K$ quando $K$ è infinito, ed è infinito numerabile quando $K$ è finito.
La seguente semplice dimostrazione dell'esistenza della chiusura algebrica di un campo K è una variazione su un tema di Emil Artin, ed è basata sul Lemma di Zorn e alcune semplici considerazioni di tipo insiemistico, vedi [1]. Cominciamo considerando la famiglia
$A =$ {estensioni algebriche $F \supseteq K$},
ordinata parzialmente con l'inclusione. Se consideriamo una catena
$$F_1 \subseteq F_2 \subseteq F_3 \subseteq \ldots$$ di elementi di $A$, l'unione di tutti gli $F_i$ è a sua volta una estensione algebrica di $K$, che fornisce un maggiorante della catena. Per il Lemma di Zorn, $A$ contiene un elemento massimale, che chiamiamo $\bar{K}$.
Per definizione, $\bar{K}$ è un'estensione algebrica di $K$. Inoltre, $\bar{K}$ è un campo algebricamente chiuso: infatti, se non lo fosse, potremmo estenderlo con la radice di un polinomio irriducibile in $K$, ottenendo una estensione algebrica di $K$ che contiene propriamente $\bar{K}$, contro la massimalità di quest'ultimo.
Questa semplice dimostrazione presenta un problema, dovuto al fatto che $A$ non è un insieme, ma una classe propria, e quindi non si può applicare il Lemma di Zorn direttamente ad esso (altrimenti, con lo stesso argomento, potremmo dimostrare l'esistenza di un insieme massimale che contiene un insieme dato, cosa ovviamente assurda).
Tuttavia, possiamo salvare l'argomento osservando che ogni estensione algebrica $F$ di $K$ possiede una mappa suriettiva $K[x] \to F$: essa è un omomorfismo di anelli per estensioni algebriche finite, mentre nel caso di estensioni algebriche infinite esiste solo come mappa fra insiemi. Ma allora è sufficiente considerare come $A$ la famiglia delle estensioni algebriche di cardinalità non superiori a quella di $F[x]$, che è $|F|+\aleph_0$. Questo permette di eliminare il problema insiemistico di cui sopra, e l'applicazione del Lemma di Zorn diventa ora lecita.
Riferimenti.
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