Un teorema di punto fisso in $\mathbb{R}^n$

In un precedente post abbiamo trattato il Teorema del Punto Fisso di Brouwer, valido per la palla chiusa $\mathbb{D}^n \subset \mathbb{R}^n$. In questo post vogliamo invece trattare un teorema valido in $ \mathbb{R}^n$. Ovviamente, non è vero che ogni funzione continua da $ \mathbb{R}^n$ in sé ammette un punto fisso: si pensi ad una traslazione. Tuttavia, la cosa è vera per mappe continue di ordine finito.

La dimostrazione che andiamo ad illustrare fa uso di tecniche di Topologia Algebrica lievemente più sofisticate rispetto a quelle utilizzate per il Teorema di Brouwer; il lettore può trovare i dettagli nei riferimenti bibliografici elencati in fondo. Questo post è stato ispirato da un tweet di Daniel Litt (@littmath).

Teorema. Sia $f \colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ una funzione continua di ordine finito, tale cioè che esista un numero naturale $h>1$ tale che $f^h=\operatorname{id}$. Allora $f$ ammette almeno un punto fisso.

Dimostrazione. Consideriamo la relazione d'equivalenza $\simeq$ su $\mathbb{R}^n$ generata da $x \simeq  f(x)$. Siccome $f$ ha ordine $h$, tale relazione è indotta da un'azione del gruppo ciclico finito $\mathbb{Z}_h$ su $\mathbb{R}^n$. Indichiamo con $X$ lo spazio topologico quoziente $X= \mathbb{R}^n/ \mathbb{Z}_h$ che, intuitivamente, si ottiene collassando ogni $f$-orbita ad un punto.

Supponiamo per assurdo che $f$ non abbia punti fissi. Allora la $\mathbb{Z}_h$-azione su $\mathbb{R}^n$ è libera, pertanto la mappa quoziente $p \colon \mathbb{R}^n \to X$ è un rivestimento topologico di grado $h$.

Siccome $\mathbb{R}^n$ è semplicemente connesso, segue che il rivestimento universale di $X$ è ancora $\mathbb{R}^n$, che è contraibile. Allora $X$ è un "aspherical space", anche noto come "spazio di Eilenberg–MacLane" di tipo $K(\mathbb{Z}_h, \, 1)$, in altre parole il suo gruppo fondamentale è $\mathbb{Z}_h$ e i gruppi di omotopia superiore sono nulli [1].

Dato un gruppo $G$, una importante proprietà di uno spazio $X$ di tipo $K(G, \, 1)$ è che, per ogni intero positivo $k$, si ha un isomorfismo $$H^k(X, \, \mathbb{Z}) = H^k(G, \, \mathbb{Z}),$$

dove a sinistra abbiamo la coomologia singolare e, nella coomologia di gruppo a destra, $\mathbb{Z}$ è dotato della struttura di $G$-modulo banale [2, Theorem 11.5 p. 136].

Quando $G$ è un gruppo finito, ad esempio nel nostro caso $G= \mathbb{Z}_h$, è noto che $G$ ha coomologia non nulla in grado arbitrariamente alto [3]. Pertanto, dall'isomorfismo visto sopra, si deduce che il gruppo di coomologia singolare $H^k(X, \, \mathbb{ℤ})$ è non nullo in grado arbitrariamente alto.

D'altra parte, il quoziente di una varietà topologica di dimensione $n$ per un gruppo finito che agisce liberamente è ancora una varietà topologica di dimensione $n$. Ma allora la coomologia singolare si annulla in grado superiore alla dimensione [4, Theorem 3.5], ossia $H^k(X, \, \mathbb{Z}) = 0$ per $k>n$, contraddizione. $\quad \square$

Riferimenti.

[1] https://en.wikipedia.org/wiki/Aspherical_space
[2] S. Mac Lane: Homology, Classics in Mathematics, Springer 1995.
[3] https://mathoverflow.net/.../non-vanishing-of.../64702...
[4] A. Hatcher: Algebraic Topology, Cambridge University Press 2001, ISBN 0-521-79540-0.