Il teorema del punto fisso di Brouwer

Teorema. Sia $\mathbb{D}^{n+1}$ la palla chiusa di $\mathbb{R}^{n+1}$. Allora ogni funzione continua $f \colon  \mathbb{D}^{n+1} \longrightarrow \mathbb{D}^{n+1}$ ammette almeno un punto fisso, ossia esiste almeno un punto $x \in \mathbb{D}^{n+1}$ tale che $f(x)=x.$

Questo celebre ed importante risultato venne dimostrato per la prima volta (indipendentemente) da L. E. J. Brouwer e da J. Hadamard, vedi [1] e [2]. In generale, il punto fisso non è unico: si pensi ad una riflessione rispetto ad un iperpiano di simmetria della palla, che ha infiniti punti fissi. Vogliamo qui riprodurre la classica, breve dimostrazione del Teorema del punto fisso di Brouwer che fa uso di tecniche standard di Topologia Algebrica e che illustra la potenza degli argomenti di tipo funtoriale.

Supponiamo per assurdo che $f$ non ammetta punti fissi. Allora possiamo definire una funzione $r \colon  \mathbb{D}^{n+1} \longrightarrow S^n$, associando ad ogni punto $x \in \mathbb{D}^{n+1}$  l'intersezione col bordo della palla della semiretta uscente da $f(x)$ e contenente $x$.

La funzione $r$ è continua, dato che $f$ lo è, e per costruzione fissa tutti i punti del bordo. Si tratta dunque di una retrazione di $\mathbb{D}^{n+1}$ su $S^n$, ossia di un'applicazione continua $\mathbb{D}^{n+1} \longrightarrow S^n$ tale che la composizione con l'inclusione $$S^n \hookrightarrow \mathbb{D}^{n+1} \longrightarrow S^n$$ è l'identità di $S^n$. Ma una tale retrazione non può esistere. Infatti, passando in coomologia singolare e applicando il funtore $H^n(\quad, \, \mathbb{Z})$, si avrebbe che l'identità $$\mathbb{Z} \simeq H^n(S^n,  \, \mathbb{Z}) \longrightarrow H^n(S^n,  \, \mathbb{Z}) \simeq \mathbb{ℤ}$$ dovrebbe fattorizzare attraverso il gruppo $H^n(\mathbb{D}^{n+1}, \, \mathbb{Z})$. Siccome la palla è contraibile, tale gruppo è banale e quindi l'identità fattorizzerebbe attraverso un'applicazione costante, contraddizione.

Riferimenti.

[1] L. E. J. Brouwer: Über Abbildungen von Mannigfaltigkeiten, Mathematische Annalen 71: 97–115 (1911), doi:10.1007/BF01456931.

[2] J. Hadamard: Note sur quelques applications de l’indice de Kronecker in Jules Tannery: Introduction à la théorie des fonctions d’une variable (Volume 2), 2nd edition, A. Hermann & Fils, Paris 1910, pp. 437–477.