L'irrazionalità di $\cos 1$

Da un tweet di @fermatslibrary, una veloce dimostrazione che $\cos 1$ è irrazionale (gli angoli sono misurati in gradi).

Dalle usuali formule di addizione segue $$\cos(n+1) + \cos(n-1) = 2 \cos 1 \, \cos n$$ e quindi $\cos 2=2 \cos^2 1 - 1.$ Per induzione otteniamo che $\cos n$ è una espressione razionale in $\cos 1$ per ogni $n \in \mathbb{N}$ e, quindi, $\cos 1$ non può essere razionale in quanto $\cos 30=\sqrt{3}/2$ non lo è.