Funzioni continue su sfere, I

Consideriamo la sfera unitaria $S^n \subset \mathbb{R}^{n+1}$ e una funzione continua $f \colon S^n \longrightarrow \mathbb{R}$. Allora esiste almeno una coppia di punti antipodali che assumono lo stesso valore; in altre parole, esiste almeno un punto $x \in S^n$ tale che $f(x) = f(-x)$.

Una semplice dimostrazione di questo fatto passa attraverso la funzione ausiliaria

$$g(x) = \frac{f(x)-f(-x)}{|f(x)-f(-x)|},$$ che assume valori in $\{-1, \, 1\}$. Se fosse $f(x) \neq f(-x)$ per ogni $x \in S^n$, la funzione $g$ sarebbe definita con continuità su tutta la sfera e si avrebbe $$g(-x)= \frac{f(-x)-f(x)}{|f(-x)-f(x)|}= -g(x).$$ Dunque si otterrebbe una funzione continua e suriettiva $g \colon S^n \longrightarrow \{-1, \, 1\}$, una contraddizione in quanto $S^n$ è uno spazio topologico connesso.

Vale in realtà un risultato più forte, noto come Teorema di Borsuk-Ulam [1, 2]: data ogni funzione continua $f \colon S^n \longrightarrow \mathbb{R}^n$, esiste almeno un punto $x \in S^n$ tale che $f(x) = f(-x)$. Il caso trattato sopra si ottiene da questo componendo $f \colon S^n \longrightarrow \mathbb{R}$ con un'inclusione continua $\mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}^n$.

Se si provasse a dimostrare Borsuk-Ulam per assurdo adattando l'argomento visto sopra, si otterrebbe una funzione continua e dispari $g \colon S^n ⟶ S^{n-1}$. Tale funzione in effetti non può esistere, ma la dimostrazione di questo fatto è più complessa e richiede alcuni concetti di Topologia Algebrica.

Una strada alternativa è quella di dimostrare Borsuk-Ulam attraverso un risultato di Combinatoria noto come Lemma di Tucker: la sitazione è analoga a quella che si ha con il Teorema del punto fisso di Brouwer, che può essere dimostrato sia per via (co)omologica che ricorrendo al Lemma di Sperner.

Il Teorema di Borsuk-Ulam sarà oggetto di uno dei prossimi post.

Riferimenti.

[1] K. Borsuk: Drei Sätze über die n-dimensionale euklidische Sphäre, Fundamenta Mathematicae 20 (1933), 177–190, doi:10.4064/fm-20-1-177-190

[2] J. Matoušek: Using the Borsuk–Ulam theorem, Springer Verlag 2003.