È vero che ogni insieme infinito contiene un sottoinsieme numerabile? La sorprendente risposta è "dipende". Intuitivamente, se $X$ è infinito potremmo tentare di costruire un sottoinsieme numerabile di $X$ come segue. Scegliamo un elemento $x_1 \in X$, poi un elemento $x_2 \in X−\{x₁\}$, poi un elemento $x_3 \in X−\{x_1, \, x_2\}$ e così via. In tal modo, per ogni numero naturale $n$, si ottiene un sottoinsieme di $X$ equipotente a $\{1,\ldots,n\}$, ossia una funzione iniettiva $\{1,\ldots,n\}\to X$.
Il punto cruciale (e delicato) è che, per essere sicuri che si possano "incollare" queste infinite funzioni iniettive in modo da formare un sottoinsieme numerabile $(x)_n \subseteq X$, è necessario l'Assioma di Scelta (o, più precisamente, una sua versione debole nota come Assioma di Scelta Numerabile [1, 2]).
Senza Assioma di Scelta il risultato è in generale falso. Infatti, è consistente con ZF l'esistenza di un insieme infinito ma Dedekind-finito, ossia di un insieme infinito X che non ammetta nessuna funzione iniettiva $\mathbb{N} \to X$, si veda [3, 4] e la risposta di A. Karagila in [5].
Riferimenti.
[1] https://proofwiki.org/wiki/Infinite_Set_has_Countably_Infinite_Subset
[2] https://proofwiki.org/wiki/Axiom:Axiom_of_Countable_Choice
[3] https://math.stackexchange.com/questions/1973256/every-infinite-set-contains-a-countable-subset
[4] https://en.wikipedia.org/wiki/Dedekind-infinite_set
[5] https://math.stackexchange.com/questions/1396676/is-axiom-of-choice-necessary-for-proving-that-every-infinite-set-has-a-countably