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22 maggio 2023

Triangoli con lati razionali aventi stessa area e perimetro.

Supponiamo di avere un triangolo T aventi lati di lunghezza razionale a, b, c e area razionale A, e di volere determinare un altro triangolo T' (non congruente a T) con lati di lunghezza razionale e avente lo stesso perimetro 2p=a+b+c e la stessa area A

Indicando con a'=a+x, \quad b'=b+y, \quad c'=c-x-y le lunghezze dei lati del nuovo triangolo T', applicando la formula di Erone otteniamo con semplici passaggi l'eguaglianza

\begin{equation} \label{erone} \big(x- \alpha\big) \big(y-\beta \big) \big(x+y+\gamma \big)- \frac{A^2}{p}= 0, \end{equation}

dove \alpha=p-a, \quad \beta = p-b, \quad \gamma = p-c. Si può vedere \eqref{erone} come l'equazione di una curva ellittica E definita su \mathbb{Q}, il cui luogo dei punti reali consiste di quattro rami: un ovale compatto contenuto nel triangolo definito nel piano (x, \, y) dalle tre rette di equazione x= \alpha,  \quad y=\beta, \quad y=-x- \gamma e tre rami illimitati aventi ciascuno due delle suddette rette come asintoti (si veda la Figura 1).


I quattro ovali della curva ellittica (1): uno è limitato, tre sono illimitati
Figura 1


L'ovale compatto corrisponde esattamente ai valori (x, \, y, \, z) per i quali esiste un triangolo  T' che ha area A. Esso contiene in generale almeno sei punti a coordinate razionali: il punto o=(0, \, 0, \, 0), corrispondente al triangolo di partenza T avente lati (a, \, b, \, c), e i cinque punti corrispondenti alle permutazioni  non banali di (a, \, b, \, c)

Il problema geometrico originale di determinare il triangolo T' si traduce quindi nel seguente problema di Teoria dei Numeri:

Problema. Si determini un punto razionale non banale nell'ovale compatto della curva ellittica E.

Non intendiamo qui risolvere il problema nella sua generalità, ma ci limitiamo a trattare un importante esempio. Si consideri il famoso triangolo rettangolo T di lati (a, \, b, \, c)=(3, \, 4, \,5), che ha perimetro 6 e area 12. In questo caso, l'equazione di E diventa \begin{equation} \label{erone2} \big(x- 3\big) \big(y- 2 \big) \big(x+y+1 \big)- 6= 0. \end{equation}

Per determinare un punto razionale non banale nell'ovale compatto, utilizziamo il classico metodo delle rette secanti. 

L'ovale compatto contiene il punto razionale o=(0, \, 0, \, 0), corrispondente a T, il punto razionale p_1=(1, \, 1), corrispondente al triangolo di lati (a, \, b, \, c)=(4, \,5, \, 3) e il punto razionale p_2=(1, \, -1), corrispondente al triangolo di lati (a, \, b, \, c)=(4, \, 3, \, 5).

Le retta y-x=0 passa per o e p_1 e interseca E nell'ulteriore punto razionale p_3=(7/2, \, 7/2); tale punto non è ancora una soluzione al nostro problema, in quanto appartiene ad uno dei rami illimitati. 

Possiamo però considerare la retta passante per p_3 e p_2, che interseca E nell'ulteriore punto razionale p_4=(38/21, \, 16/35). Tale punto sta nell'ovale limitato, quindi corrisponde effettivamente ad una soluzione  del problema (si veda la Figura 2, realizzata con il calcolatore grafico Desmos).


Figura 2


Infatti, p_4 corrisponde al triangolo T' di lati razionali (a, \, b, \, c)=(101/21, \, 156/35, \, 41/15). È semplice verificare che esso è un triangolo acutangolo di perimetro 12 e area 6, gli stessi valori del triangolo rettangolo T di partenza (Figura 3).

Figura 3


Varianti di questo procedimento permettono di determinare ulteriori triangoli con lati razionali, perimetro 12 e area 6. Ad esempio, partendo dalla retta tangente ad E nel punto o=(0, \, 0, \, 0) si può ottenere il triangolo ottusangolo di lati (a, \, b, \, c)=(35380/10153, \, 81831/16159, \, 27689/8023), si veda la Figura 4.

Figura 4


21 maggio 2023

Punti e rette

Ogni tanto si rilegge sui gruppi di Matematica la classica domanda "Se un punto ha dimensione 0,  come fanno i punti a formare una retta che ha dimensione 1?" 

In genere le risposte che vengono date  sono del tipo "Perché i punti sono infiniti" oppure, nella versione più tecnica, "Perché la dimensione non è additiva per un'unione non numerabile".

In realtà, queste risposte confondono il concetto di "dimensione" con quello di "misura". Ma la dimensione è più elusiva. Ad esempio, la retta razionale è numerabile, ma ha dimensione 1 su \mathbb{Q}. Peggio ancora, una retta affine sul campo finito \mathbb{𝔽}_q contiene un numero finito di punti (esattamente q), ma ha dimensione 1 su \mathbb{𝔽}_q.