Inversi destri e sinistri

Quando si segue (o si tiene) un corso di Algebra Lineare, si arriva ad un certo punto all'importante concetto di matrice invertibile. La definizione data in genere è che una matrice quadrata $A$ è invertibile se esiste una matrice $B$ tale che $AB = BA =I$. Dopodiché, si dice che è sufficiente in realtà testare una sola delle due condizioni, dato che l'altra è conseguenza di essa, ma la giustificazione di quest'ultimo fatto viene omessa in molti libri di testo.

Il motivo è che in effetti non è possibile dedurre formalmente dall'eguaglianza $AB=I$  l'eguaglianza $BA=I$, dato che esistono controesempi in opportune algebre di dimensione infinita (vedi sotto). Dunque occorre utilizzare qualcosa di specifico della teoria delle matrici (come, ad esempio, il determinante).

In generale, questa situazione mostra che ha senso chiedersi in un contesto più astratto quando esistano inverso destro e sinistro di un elemento in un anello, e se essi coincidono.
Supponiamo dunque di essere in un anello con unità $R$, e sia $x$ un suo elemento non nullo. Diciamo che $a$ è un inverso sinistro di $x$ se $ax =1$, e che $b$ è un inverso destro di $x$ se $xb=1$. Un inverso bilatero (o semplicemente inverso) di $x$ è un elemento tale che è sia inverso destro che sinistro, ossia tale che $ax=xa=1$. Il seguente semplice fatto è ben noto.

Proposizione 1. (1) Sia $R$ un dominio d'integrità. Allora inverso destro e sinistro di $x$, se esistono, sono unici.
(2) In qualsiasi anello unitario $R$, se inverso destro e sinistro esistono entrambi allora essi coincidono e pertanto esiste un inverso di $x$, che è necessariamente unico.

Dimostrazione. (1) Se $a$ e $a'$ sono entrambi inversi sinistri di $x$, allora $ax=a'x=1$, quindi $(a-a')x=0$, e siccome $x$ è non nullo e $R$ è un dominio segue $a=a'$. La dimostrazione per l'inverso destro è analoga.
(2) Supponiamo che $ax = xb=1$. Allora

$$a= a \cdot 1 = a(xb) = (ax)b = 1 \cdot b = b. $$

$\square$

Come conseguenza immediata, abbiamo il seguente

Corollario. Ogni dominio d'integrità finito $R$ è un corpo (e quindi un campo, per il Teorema di Wedderburn).

Dimostrazione. Scegliamo un qualsiasi elemento non nullo $x \in R$, e consideriamo la moltiplicazione a destra $a \mapsto ax$. Essa è un endomorfismo di $R$  iniettivo (dato che $R$ è un dominio), dunque anche suriettivo poiché R è finito. Segue che $1$ è nell'immagine della moltiplicazione a destra per $x$, in altre parole l'elemento $x$ possiede un inverso sinistro. Usando la moltiplicazione a sinistra, si mostra allo stesso modo che a ha un inverso destro. Allora dalla Proposizione 1 segue che  $x$ è invertibile, dunque $R$  è un corpo.

$\square$

Nel caso di algebre finito-dimensionali su un campo (o, più in generale, di anelli left o right-artinian, non necessariamente commutativi), l'esistenza dell'inverso destro implica quella dell'inverso sinistro e viceversa. Ciò include ovviamente come caso particolare quello delle matrici su un campo.

Proposizione 2. Sia $R$ una $\mathbb{K}$-algebra finito-dimensionale, e sia $x$ un elemento non nullo di $R$. Se $x$ possiede un inverso sinistro, allora esso è anche inverso destro (e dunque $x$ è invertibile).

Dimostrazione. Supponiamo $ax=1$, e consideriamo i sottospazi $(x^k)R$. Essi formano una catena discendente $$R \supseteq xR \supseteq \ldots \supseteq (x^{k-1})R \supseteq (x^k)R \supseteq (x^{k+1})R \supseteq \ldots,$$ quindi, siccome $R$ è finito dimensionale, tale catena diventa stazionaria. Allora esiste $k$ tale che $(x^k)R = (x^{k+1})R$, da cui in particolare esiste b tale che $x^k = x^{k+1}b$. Moltiplicando a sinistra per $a^k$ otteniamo $1 = xb$, dunque $x$ ha un inverso destro, che coincide con quello sinistro per la Proposizione 1.

$\square$

Concludiamo con un esempio di anello contenente un elemento che ha inverso sinistro ma non inverso destro. Si consideri l'algebra infinito-dimensionale delle successioni reali $(a_0,  \,a_1, \,a_2, \ldots)$ e consideriamo l'operatore di shift
$$X \colon  (a_0, \, a_1, \,a_2, \ldots) \mapsto (0,\, a_0, a_1, a_2, \ldots).$$ Allora l'operatore lineare $A$ dato da $A(a_0, \, a_1, \, a_2, \ldots) = (a_1,  \, a_2, \,  a_3, \ldots)$ verifica $AX = \mathrm{Id}$. Tuttavia $XA$ è diverso dall'identità, infatti
\begin{equation*}
\begin{split}
(AX)(a_0,  \,a_1, \,a_2, \ldots) & = A(0, \,a_0,  \,a_1, \,a_2, \ldots)= (a_0,  \,a_1, \,a_2, \ldots) \\
(XA)(a_0,  \, a_1, \,a_2, \ldots) & = X(a_1, \,a_2, \, a_3, \, \ldots) = (0,\, a_1,\, a_2, \,a_3, \ldots).
\end{split}
\end{equation*} Ciò mostra che $X$ non ha nessun inverso destro, dato che se esso esistesse dovrebbe coincidere con l'inverso sinistro $A$ per quanto visto sopra.

Il lettore che volesse approfondire l'argomento di questo post può guardare l'interessante post su MathStackExchange "If $AB=I$ then $BA=I$".

Impacchettamenti di sfere

Un classico problema è quello di determinare il modo di disporre un insieme di (iper)sfere congruenti nello spazio euclideo $n$-dimensionale in modo che "resti vuoto meno spazio possibile". In termini tecnici, si richiede che sia raggiunta la massima densità possibile, dove la "densità" è opportunamente definita in modo che il massimo esista. Si tratta quindi di trovare in ogni dimensione un impacchettamento di sfere ("sphere packing", in inglese) ottimale.

A parte l'interesse teorico del problema, vi sono importanti applicazioni degli impacchettamenti di sfere nelle scienze applicate. Ad esempio, nello studio dei materiali granulari (in cui i centri delle sfere rappresentano atomi o molecole) e, in modo più sorprendente, in quello delle telecomunicazioni. Infatti, i canali di comunicazione radio possono essere modellati utilizzando spazi vettoriali reali di dimensione alta, e gli impacchettamenti ottimali forniscono in modo automatico codici di correzione di errori in tali spazi, permettendo di minimizzare dispersione del segnale e rumore di fondo. Per tali motivi, non sorprende che lo studio degli impacchettamenti ottimali sia un attivo campo di ricerca. Nonostante ciò, la nostra conoscenza in questo ambito è ancora molto limitata.

In dimensione $2$, Thue ha dimostrato che vi è un unico impacchettamento di cerchi ottimale, in cui i centri sono ai vertici di esagoni regolari. La densità è $\pi/\sqrt{12}$
In dimensione $3$, il problema è noto come "cannonball problem". Un impacchettamento ottimale è dato dalla tipica disposizione delle arance sul bancone del fruttivendolo, con una densità di $\pi/\sqrt{18}$. Il fatto che tale disposizione sia ottimale era noto come Congettura di Keplero, ed è stato dimostrato da Hales nel 2005, in un difficile lavoro su Annals of Mathematics che ha richiesto anche l'uso del calcolatore.

Da dimensione $4$ in poi, il problema diventa enormemente difficile, per vari motivi. Innanzitutto, per quanto ne sappiamo, sembra che l'eventuale conoscenza di una soluzione in dimensione $n$ dica poco riguardo ad una soluzione in dimensione $n-1$ o $n+1$. Inoltre, non è affatto chiaro che una soluzione ottimale debba essere necessariamente periodica (come accade nel caso di dimensione $2$ e $3$), ossia invariante per traslazione rispetto all'azione di un opportuno reticolo in $\mathbb{R}^n$.

Per tale motivo, ha destato grande scalpore nei mesi passati la soluzione del problema di impacchettamento in dimensione $8$ (ottenuta da M. Viazovska) e in dimensione $24$ (ottenuta dalla stessa Viazovska assieme a H. Cohn, A. Kumar, S.D. Miller e D. Radchenko). In entrambi i casi esiste una soluzione periodica, invariante tramite l'azione del reticolo $E_8$ (nel caso $\mathbb{R}^8$) e del reticolo di Leech (nel caso $\mathbb{R}^{24}$). Le densità sono, rispettivamente, $\pi^4/384$ e $\pi^{12}/(12)!$.

Le dimostrazioni di Viazovska e i suoi collaboratori utilizzano un risultato di Cohn ed Elkies, che riduce il problema alla determinazione di un'opportuna funzione modulare. Essa permette a sua volta di costruire una funzione radialmente simmetrica f con particolari proprietà di annullamento sul reticolo, e la formula di Poisson applicata ad f permette infine di stimare la densità dell'impacchettamento associato al reticolo, dimostrandone l'ottimalità.

Per quanto sorprendente ed importante, questo tipo di dimostrazione non può essere adattata ad altre dimensioni, dato che sia il reticolo $E_8$ che quello di Leech sono eccezionali, ossia esistono solo in dimensione $8$ e $24$. Infatti, si pensa che al di là dei casi noti (dimensione $2, \, 3, \, 8,\, 24$) la soluzione al problema di impacchettamento in dimensione $n$ debba essere ottenuta tramite una configurazione non periodica. Tuttavia, la questione è al momento completamente aperta.

Les Mathématiques Modernes

All'inizio degli anni '60 del secolo scorso, il panorama della Matematica era stato profondamente rivoluzionato dall'opera del gruppo Bourbaki. Il nuovo approccio alla disciplina, basato su rigore, astrazione e formalismo, aveva mietuto successi spettacolari, soprattutto per quanto riguarda l'Algebra Commutativa e Omologica, la Geometria Algebrica, la Teoria di Lie. Molti difficili problemi, la cui soluzione (o addirittura la cui corretta formulazione) era prima avvolta nell'oscurità, vennero risolti, e molti altri venivano affrontati in un fiorire di idee e concetti che sembrava inesauribile.

L'influenza del gruppo Bourbaki sulla matematica francese (e non solo) fu tale che a metà degli anni '60 si decise di sperimentare l'introduzione di una didattica di stampo bourbakista nelle scuole primarie e nei licei. Fu quella che venne chiamata "La nuova matematica" ("Les Mathématiques Modernes", in francese). Una commissione, presieduta da A. Lichnerowicz e comprendente molti membri di Bourbaki, preparò i nuovi programmi, che prevedevano una esposizione precoce (già alle elementari) ai concetti di insieme, relazione e struttura algebrica. L'insegnamento della geometria venne completamente svincolato dall'intuizione, senza più riferimento a figure e diagrammi, e basata solo sullo studio assiomatico degli spazi vettoriali e affini. Tutto ciò può essere riassunto dalla famosa frase provocatoria di J. Dieudonné "A bas Euclide!" ("abbasso Euclide!").

Successi di Bourbaki a parte, il contesto storico rilevante era quello della Guerra Fredda. Il lancio degli Sputnik da parte dell'URSS aveva traumatizzato il Blocco Occidentale, e si sperava che una completa rivoluzione nei programmi di insegnamento delle scienze (e della matematica in particolare) avrebbe potuto arginare quello che alcuni giornali avevano chiamato una "Pearl-Harbour tecnologica".

Le cose, come è noto, non andarono come si sperava. Le Mathématiques Modernes vennero accolte con scetticismo e ostilità sia dagli insegnanti, impreparati a spiegare argomenti che spesso non comprendevano pienamente, che dai genitori, che improvvisamente si ritrovarono incapaci di aiutare i figli (anche molto piccoli!) nei compiti a casa. Gli allievi, da parte loro, non riuscirono mai a digerire il rigido sistema burbakista "definizione-teorema-corollario", che poteva funzionare per i (pochi) studenti molto dotati in matematica, ma risultava ostico e incomprensibile per gli altri.
La mancanza nei libri di testo di figure che potessero aiutare nei ragionamenti e lo scarso peso dato alle applicazioni della matematica nella vita reale fecero il resto. Alcuni ridicolizzarono i nuovi programmi, facendo notare come molti studenti "sapevano enunciare la proprietà commutativa nei gruppi astratti, ma poi non conoscevano le tabelline".

Anche M. Kline, nel suo saggio critico "Why Johnny Can't Add: the Failure of the New Math.", affermò che l'astrazione dovrebbe essere l'ultimo stadio nello sviluppo matematico, non certo il primo, e che la sua introduzione troppo precoce è controproducente, almeno per la grande maggioranza degli alunni.
Come se ciò non bastasse, nel turbolento contesto sociale del '68 e della contestazione i nuovi metodi vennero bollati immediatamente come "borghesi" ed "élitisti", e quindi osteggiati da una larga fetta degli intellettuali di sinistra.

La Commissione Lichnerowicz lavorò fino al 1973, anno in cui il presidente diede le dimissioni. Fu sostanzialmente la fine per le Mathématiques Modernes. A partire dagli anni '80, la geometria euclidea tornò ad avere il suo posto nei programmi di insegnamento dei Licei francesi, ma l'acceso dibattito nato con questa sperimentazione didattica continua ancora oggi.

Il paradosso di Banach-Tarski

Qual è un anagramma di Banach-Tarski?
Banach-Tarski Banach-Tarski.

Nel 1924, S. Banach and A. Tarski, ispirandosi a precedenti lavori di Vitali ed Hausdorff, dimostrarono il seguente sorprendente risultato:

Data la palla unitaria $\mathbb{B}^2 \subset \mathbb{R}^3$, è possibile suddividerla in un numero finito di sottoinsiemi che, ricomposti, danno luogo a due copie di $\mathbb{B}^2$.

In altre parole, la palla è equiscomponibile con due copie di se stessa. Il fatto è paradossale, in quanto la nostra intuizione geometrica suggerisce che due solidi equiscomponibili debbano avere lo stesso volume. Ciò è tuttavia vero solo se, per i sottoinsiemi che danno la scomposizione, il concetto di volume è ben definito. Infatti, i sottoinsiemi che compaiono nella dimostrazione di Banach-Tarski sono non misurabili (nel senso di Lebesgue), quindi non sono "solidi" nel senso usuale del termine, ma "aggregati di punti" per l'esistenza dei quali si può dare solo una dimostrazione non costruttiva (in particolare, non si può sperare di diventare miliardari duplicando matematicamente pepite d'oro). Il numero minimo di pezzi richiesti per la costruzione è cinque.

Esistono anche forme differenti del paradosso che mostrano che una palla di raggio $r_1$ e una di raggio $r_2$ sono sempre equiscomponibili; in particolare un pisello e il Sole sono equiscomponibili (per cui questa versione del paradosso è chiamata talvolta "the pea and the Sun paradox").
Non vi è nulla di particolare nella palla che gioca un ruolo in questo risultato. Si dimostra infatti che "paradoxical decompositions" esistono per ogni sottoinsieme limitato $B \subset \mathbb{R}^n$, con $n \geq 3$ 3, avente interno non vuoto.

Il paradosso di Banach-Tarki, invece, non sussiste in dimensione $1$ e $2$. Ciò dipende dal fatto che il gruppo delle isometrie euclidee in dimensione $1$ e $2$ è risolubile, mentre in dimensione maggiore o uguale a $3$ esso contiene una copia del gruppo libero su due generatori. Fu proprio l'analisi dei gruppi di isometrie che ammettono paradoxical decompositions che portò J. von Neumann a formulare nel 1929 la sua teoria dei gruppi amenabili.

Siccome la costruzione à la Vitali di sottoinsiemi non misurabili secondo Lebesgue richiede l'Assioma di Scelta, si può pensare che ciò sia vero anche per Banach-Tarski. Tuttavia, nel 1991 è stato dimostrato che il paradosso, seppur più forte di ZF, non richiede ZFC nella sua forma forte. Infatti, affinché esso sussista è sufficiente una versione debole dell'assioma di scelta, nota come ultrafilter lemma.