Impacchettamenti di sfere

Un classico problema è quello di determinare il modo di disporre un insieme di (iper)sfere congruenti nello spazio euclideo $n$-dimensionale in modo che "resti vuoto meno spazio possibile". In termini tecnici, si richiede che sia raggiunta la massima densità possibile, dove la "densità" è opportunamente definita in modo che il massimo esista. Si tratta quindi di trovare in ogni dimensione un impacchettamento di sfere ("sphere packing", in inglese) ottimale.

A parte l'interesse teorico del problema, vi sono importanti applicazioni degli impacchettamenti di sfere nelle scienze applicate. Ad esempio, nello studio dei materiali granulari (in cui i centri delle sfere rappresentano atomi o molecole) e, in modo più sorprendente, in quello delle telecomunicazioni. Infatti, i canali di comunicazione radio possono essere modellati utilizzando spazi vettoriali reali di dimensione alta, e gli impacchettamenti ottimali forniscono in modo automatico codici di correzione di errori in tali spazi, permettendo di minimizzare dispersione del segnale e rumore di fondo. Per tali motivi, non sorprende che lo studio degli impacchettamenti ottimali sia un attivo campo di ricerca. Nonostante ciò, la nostra conoscenza in questo ambito è ancora molto limitata.

In dimensione $2$, Thue ha dimostrato che vi è un unico impacchettamento di cerchi ottimale, in cui i centri sono ai vertici di esagoni regolari. La densità è $\pi/\sqrt{12}$
In dimensione $3$, il problema è noto come "cannonball problem". Un impacchettamento ottimale è dato dalla tipica disposizione delle arance sul bancone del fruttivendolo, con una densità di $\pi/\sqrt{18}$. Il fatto che tale disposizione sia ottimale era noto come Congettura di Keplero, ed è stato dimostrato da Hales nel 2005, in un difficile lavoro su Annals of Mathematics che ha richiesto anche l'uso del calcolatore.

Da dimensione $4$ in poi, il problema diventa enormemente difficile, per vari motivi. Innanzitutto, per quanto ne sappiamo, sembra che l'eventuale conoscenza di una soluzione in dimensione $n$ dica poco riguardo ad una soluzione in dimensione $n-1$ o $n+1$. Inoltre, non è affatto chiaro che una soluzione ottimale debba essere necessariamente periodica (come accade nel caso di dimensione $2$ e $3$), ossia invariante per traslazione rispetto all'azione di un opportuno reticolo in $\mathbb{R}^n$.

Per tale motivo, ha destato grande scalpore nei mesi passati la soluzione del problema di impacchettamento in dimensione $8$ (ottenuta da M. Viazovska) e in dimensione $24$ (ottenuta dalla stessa Viazovska assieme a H. Cohn, A. Kumar, S.D. Miller e D. Radchenko). In entrambi i casi esiste una soluzione periodica, invariante tramite l'azione del reticolo $E_8$ (nel caso $\mathbb{R}^8$) e del reticolo di Leech (nel caso $\mathbb{R}^{24}$). Le densità sono, rispettivamente, $\pi^4/384$ e $\pi^{12}/(12)!$.

Le dimostrazioni di Viazovska e i suoi collaboratori utilizzano un risultato di Cohn ed Elkies, che riduce il problema alla determinazione di un'opportuna funzione modulare. Essa permette a sua volta di costruire una funzione radialmente simmetrica f con particolari proprietà di annullamento sul reticolo, e la formula di Poisson applicata ad f permette infine di stimare la densità dell'impacchettamento associato al reticolo, dimostrandone l'ottimalità.

Per quanto sorprendente ed importante, questo tipo di dimostrazione non può essere adattata ad altre dimensioni, dato che sia il reticolo $E_8$ che quello di Leech sono eccezionali, ossia esistono solo in dimensione $8$ e $24$. Infatti, si pensa che al di là dei casi noti (dimensione $2, \, 3, \, 8,\, 24$) la soluzione al problema di impacchettamento in dimensione $n$ debba essere ottenuta tramite una configurazione non periodica. Tuttavia, la questione è al momento completamente aperta.