Il paradosso di Banach-Tarski

Qual è un anagramma di Banach-Tarski?
Banach-Tarski Banach-Tarski.

Nel 1924, S. Banach and A. Tarski, ispirandosi a precedenti lavori di Vitali ed Hausdorff, dimostrarono il seguente sorprendente risultato:

Data la palla unitaria $\mathbb{B}^2 \subset \mathbb{R}^3$, è possibile suddividerla in un numero finito di sottoinsiemi che, ricomposti, danno luogo a due copie di $\mathbb{B}^2$.

In altre parole, la palla è equiscomponibile con due copie di se stessa. Il fatto è paradossale, in quanto la nostra intuizione geometrica suggerisce che due solidi equiscomponibili debbano avere lo stesso volume. Ciò è tuttavia vero solo se, per i sottoinsiemi che danno la scomposizione, il concetto di volume è ben definito. Infatti, i sottoinsiemi che compaiono nella dimostrazione di Banach-Tarski sono non misurabili (nel senso di Lebesgue), quindi non sono "solidi" nel senso usuale del termine, ma "aggregati di punti" per l'esistenza dei quali si può dare solo una dimostrazione non costruttiva (in particolare, non si può sperare di diventare miliardari duplicando matematicamente pepite d'oro). Il numero minimo di pezzi richiesti per la costruzione è cinque.

Esistono anche forme differenti del paradosso che mostrano che una palla di raggio $r_1$ e una di raggio $r_2$ sono sempre equiscomponibili; in particolare un pisello e il Sole sono equiscomponibili (per cui questa versione del paradosso è chiamata talvolta "the pea and the Sun paradox").
Non vi è nulla di particolare nella palla che gioca un ruolo in questo risultato. Si dimostra infatti che "paradoxical decompositions" esistono per ogni sottoinsieme limitato $B \subset \mathbb{R}^n$, con $n \geq 3$ 3, avente interno non vuoto.

Il paradosso di Banach-Tarki, invece, non sussiste in dimensione $1$ e $2$. Ciò dipende dal fatto che il gruppo delle isometrie euclidee in dimensione $1$ e $2$ è risolubile, mentre in dimensione maggiore o uguale a $3$ esso contiene una copia del gruppo libero su due generatori. Fu proprio l'analisi dei gruppi di isometrie che ammettono paradoxical decompositions che portò J. von Neumann a formulare nel 1929 la sua teoria dei gruppi amenabili.

Siccome la costruzione à la Vitali di sottoinsiemi non misurabili secondo Lebesgue richiede l'Assioma di Scelta, si può pensare che ciò sia vero anche per Banach-Tarski. Tuttavia, nel 1991 è stato dimostrato che il paradosso, seppur più forte di ZF, non richiede ZFC nella sua forma forte. Infatti, affinché esso sussista è sufficiente una versione debole dell'assioma di scelta, nota come ultrafilter lemma.