Matematici in pillole: André Weil

Il grande matematico francese André Weil (1906-1998), noto per il suoi contributi fondamentali alla Geometria Algebrica e alla Teoria dei Numeri, oltre che per essere uno dei membri fondatori del Gruppo Bourbaki, si trovava in Finlandia allo scoppio della Seconda Guerra Mondiale (settembre 1939), e fu lì coinvolto in una disavventura che solo per una buona dose di fortuna non andò a finire male.

Nel corso di una perquisizione nel suo appartamento di Helsinki, vennero infatti trovate delle lettere del matematico russo  L. Pontryagin e alcune di "N. Bourbaki, generale del principato di Poldavia" (una nazione fittizia inventata dai membri del gruppo). Ciò bastò a farlo scambiare per una spia russa, e il 30 novembre venne imprigionato in attesa di conoscere il suo destino.

Qualche giorno dopo, il capo della Polizia incontrò per caso ad un ricevimento il celebre matematico R. Nevanlinna, e gli disse: "Domani probabilmente fucileremo una spia russa, che afferma di essere un matematico e di conoscerla. In genere non l'avrei disturbata per una tale sciocchezza, ma visto che ci troviamo qui ho pensato che volesse farsi due risate". "Ah, e come dice di chiamarsi?" "André Weil".

Fonte: A. Weil, Souvenirs d'apprendissage, Birkhauser 1991.

A. Weil (fonte Wikipedia)

Dai neutrini agli autovettori, Atto II

''Chi cerca trova, chi ricerca ritrova.''
(E. De Giorgi)

Terry Tao e i suoi coautori hanno completamente riscritto ed ampliato il loro lavoro Eigenvectors from Eigenvalues sul calcolo delle (componenti al quadrato degli) autovettori di una matrice Hermitiana in funzione dei suoi autovalori, aggiungendo un review di oltre 20 dimostrazioni dello stesso risultato che, sotto più o meno mentite spoglie, erano già state pubblicate.

Usando le parole degli autori:

''Despite the simple nature of this identity and the extremely mature state of development of linear algebra, this identity was not widely known until very recently. In this survey we describe the many times that this identity, or variants thereof, have been discovered and rediscovered in the literature (with the earliest precursor we know of appearing in 1934).''

Senza il clamore successivo alla pubblicazione dell'articolo divulgativo di N. Wolchover su Quanta Magazine, questi risultati sarebbero stati probabilmente dimenticati.

La Figura 1 della nuova versione del lavoro mostra il grafo di citazione di tutti questi riferimenti bibliografici, che (come notato appropriatamente nell'articolo) è "very weakly connected": infatti, molti riferimenti iniziali non sono stati successivamente citati da quelli più recenti.

Le ragioni di questo sorprendente fatto non sono completamente chiare, e meritano di essere indagate. Come lo stasso Tao scrive nel suo blog:

''At the end of the paper we speculate on some possible reasons why this identity only achieved a modest amount of recognition and dissemination prior to the November 2019 Quanta article.''

Automorfismi di gruppi simmetrici

Se $G$ è un gruppo, diremo che un automorfismo di $f \colon G \to G$ è interno se esso si ottiene per coniugazione con un elemento fissato di $G$. Gli automorfismi interni formano un sottogruppo $\mathrm{Inn}(G)$ di $\mathrm{Aut}(G)$ che è caratteristico, in particolare normale; pertanto, si può considerare il gruppo quoziente $\mathrm{Out}(G) = \mathrm{Aut}(G)/\mathrm{Inn}(G)$, che è detto gruppo degli automorfismi esterni.

Per $G=S_n$, il gruppo simmetrico su $n$ elementi, sussiste il seguente sorprendente risultato.

• Se $n \neq 6$, allora ogni automorfismo di $S_n$ è interno, in altre parole $\mathrm{Inn}(S_n)=\mathrm{Aut}(S_n)$ e $\mathrm{Out}(S_n)= \{1\}$.
•  $\mathrm{Inn}(S_6)$ ha indice $2$ in $\mathrm{Aut}(S_6)$, dunque $\mathrm{Out}(S_6)=\mathbb{Z}_2$. 

La prima parte di questo teorema si basa su un semplice argomento combinatorio, vedi [Se40]. Per quanto riguarda la seconda parte, la scoperta del fatto che $S_6$ rappresenti un caso eccezionale per il gruppo degli automorfismi è dovuta a O. Hölder [H895]. Oggi sono note varie dimostrazioni, e qui riporteremo quella presentata in [Rot95].

Innanzitutto, si dimostra che esiste un sottogruppo transitivo $K$ di $S_6$ avente ordine $120$ e che non contiene trasposizioni. Ciò segue dal fatto che $S_5$ agisce transitivamente per coniugio sui sei $5$-Sylow di $S_6$, dando un monomorfismo $S_5 \to S_6$. Dunque $K$ è una "copia esotica” di $S_5$ in $S_6$ (si noti che le copie date dalle immersioni naturali fissano un elemento, dunque non sono transitive).

Dopodiché, si fa vedere che $K$ ha esattamente sei coniugati in $S_6$, e che pertanto l’azione di coniugio di $S_6$ sull’insieme $X$ di tali coniugati fornisce un omomorfismo di gruppi $S_6 \to \mathrm{Perm}(X)$; identificando $X$ con l’insieme $\{1, \ldots, 6\}$, ciò dà un omomorfismo
$f \colon  S_6 \to S_6$, che risulta essere un automorfismo.

L’automorfismo $f$ non è interno, dato che non manda trasposizioni in trasposizioni, mentre ogni automorfismo interno preserva la struttura ciclica. Ciò mostra che $\mathrm{Out}(S_6)$ è non banale. La dimostrazione viene quindi conclusa facendo vedere che $f^2$ è interno e che non esistono altri automorfismi non-interni, a meno di composizione con elementi di $\mathrm{Inn}(G)$.

Per ulteriori dettagli, altre costruzioni e riferimenti alla letteratura, il lettore può consultare la corrispondente pagina Wikipedia.


Riferimenti.

[H895] O.  Hölder : Bildung zusammengesetzter Gruppen, Mathematische Annalen 46 (1895).
[Rot95] J. Rotman: An introduction to the theory of groups, Springer 1995.
[Se40]I E. Segal: The automorphisms of the symmetric group, Bull. Amer. Math. Soc. 46 (1940), no. 6.