Per G=S_n, il gruppo simmetrico su n elementi, sussiste il seguente sorprendente risultato.
La prima parte di questo teorema si basa su un semplice argomento combinatorio, vedi [Se40]. Per quanto riguarda la seconda parte, la scoperta del fatto che S_6 rappresenti un caso eccezionale per il gruppo degli automorfismi è dovuta a O. Hölder [H895]. Oggi sono note varie dimostrazioni, e qui riporteremo quella presentata in [Rot95].
- Se n \neq 6, allora ogni automorfismo di S_n è interno, in altre parole \mathrm{Inn}(S_n)=\mathrm{Aut}(S_n) e \mathrm{Out}(S_n)= \{1\}.
- \mathrm{Inn}(S_6) ha indice 2 in \mathrm{Aut}(S_6), dunque \mathrm{Out}(S_6)=\mathbb{Z}_2.
Innanzitutto, si dimostra che esiste un sottogruppo transitivo K di S_6 avente ordine 120 e che non contiene trasposizioni. Ciò segue dal fatto che S_5 agisce transitivamente per coniugio sui sei 5-Sylow di S_6, dando un monomorfismo S_5 \to S_6. Dunque K è una "copia esotica” di S_5 in S_6 (si noti che le copie date dalle immersioni naturali fissano un elemento, dunque non sono transitive).
Dopodiché, si fa vedere che K ha esattamente sei coniugati in S_6, e che pertanto l’azione di coniugio di S_6 sull’insieme X di tali coniugati fornisce un omomorfismo di gruppi S_6 \to \mathrm{Perm}(X); identificando X con l’insieme \{1, \ldots, 6\}, ciò dà un omomorfismo
f \colon S_6 \to S_6, che risulta essere un automorfismo.
L’automorfismo f non è interno, dato che non manda trasposizioni in trasposizioni, mentre ogni automorfismo interno preserva la struttura ciclica. Ciò mostra che \mathrm{Out}(S_6) è non banale. La dimostrazione viene quindi conclusa facendo vedere che f^2 è interno e che non esistono altri automorfismi non-interni, a meno di composizione con elementi di \mathrm{Inn}(G).
Per ulteriori dettagli, altre costruzioni e riferimenti alla letteratura, il lettore può consultare la corrispondente pagina Wikipedia.
Riferimenti.
[H895] O. Hölder : Bildung zusammengesetzter Gruppen, Mathematische Annalen 46 (1895).
[Rot95] J. Rotman: An introduction to the theory of groups, Springer 1995.
[Se40]I E. Segal: The automorphisms of the symmetric group, Bull. Amer. Math. Soc. 46 (1940), no. 6.
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