Less is more

Una "letter of reference" per l'ammissione a Princeton, scritta da Richard Duffin e indirizzata a Solomon Lefschetz (11 febbraio 1948).

Lo studente diciannovenne in questione si chiamava John F. Nash Jr., e la sua presentazione consiste di una singola frase: "He is a mathematical genius".

Fonte: The De Morgan Forum (London Mathematical Society)

La dimostrazione originale di Cantor della non-numerabilità dell'insieme dei numeri reali

 La dimostrazione della non-numerabilità di $\mathbb{R}$ che viene insegnata di solito al primo anno di università è quella basata sul ben noto procedimento diagonale [W], introdotto da Georg Cantor nel 1891 [C1891].

Meno nota è invece la dimostrazione originale di questo profondo risultato, che Cantor pubblicò nel 1874 [C1874] e che vogliamo qui proporre usando la terminologia moderna. Il punto di partenza è il seguente risultato generale di carattere topologico [M2014, Proposizione 4.46], oggi noto come 

Lemma di Cantor. Sia $$K_1 \supset K_2 \supset K_3 \supset \ldots$$ una catena numerabile di chiusi non vuoti e compatti di uno spazio topologico $X$. Allora $$\bigcap_{n \geq 1} K_n \neq \emptyset$$

Dimostrazione. Se il risultato fosse falso, la famiglia $\{K_1-K_n\}_{n \geq 1}$ sarebbe un ricoprimento aperto di $K_1$. Siccome $K_1$ è compatto, si potrebbe estrarre da tale ricoprimento un sottoricoprimento finito, ottenendo $$K_1=\bigcup_{j = 1}^t (K_1-K_{n_j})$$ Ciò implicherebbe $\bigcap_{j = 1}^t K_{n_j}=\emptyset$, una contraddizione dato che tale intersezione è uguale a $K_{n_t}$. $\square$

Osservazione: È importante notare che l'ipotesi di compattezza dei $K_n$ è essenziale, altrimenti si costruiscono facilmente controesempi del tipo $X=\mathbb{R}-\{0\}$ e $K_n=[-1/n, \, 1/n] \cap X$.

Siamo ora pronti ad illustrare l'idea della dimostrazione originale di Cantor.

Teorema (Cantor, 1874). La retta reale è non numerabile.

Dimostrazione. Supponiamo per assurdo che $\{x_n\}$ sia una successione che enumera i reali;  dimostreremo che, dato un qualsiasi intervallo $(a, \, b)$, esiste sempre un numero reale $y \in (a, \, b)$ che non appartiene ad essa. 

Si costruiscano in modo ricorsivo due successioni $\{a_n\}$, $\{b_n\}$ nel modo seguente: siano $a_1$, $b_1$ (con $a_1 <b_1$) i primi due elementi della successione $\{x_n\}$ che sono contenuti in $(a, \, b)$, siano $a_2$, $b_2$ (con $a_2 < b_2$) i primi due elementi della successione che sono contenuti in $(a_1, \, b_1)$,  siano $a_3$, $b_3$ (con $a_3 < b_3$) i primi due elementi della successione che sono contenuti in $(a_2, \, b_2)$ e così via. 

Osserviamo che, dato un qualsiasi elemento $x_n$ della successione originaria, esiste $t \in \mathbb{N}$ tale che  $x_n \notin [a_t, \, b_t]$. Infatti, si scelga $t \in \mathbb{N}$ tale che $a_t=x_k$ e $b_t=x_r$, con $k, \, r >n$; allora, per come sono state costruite le successioni $\{a_n\}$ e $\{b_n\}$, deduciamo $x_n \notin(a_{t-1}, \, b_{t-1})$ e quindi $x_n \notin [a_t, \, b_t]$, come affermato.

Ora, per il Lemma di Cantor sappiamo che  la catena decrescente di compatti $$[a_1, \, b_1] \supset [a_2, \, b_2] \supset [a_3, \, b_3] \supset \ldots$$ ha intersezione non vuota. Se $y$ è un elemento in tale intersezione, per quanto appena detto si ha necessariamente $y \notin \{x_n\}$, contraddizione.   $\square$

Questa elegante dimostrazione usa in modo essenziale il fatto che gli intervalli chiusi di $\mathbb{R}$ sono compatti (il che è equivalente all'Assioma di Completezza), vedi l'Osservazione sopra.  Per tale motivo, Cantor non ne fu pienamente soddisfatto e continuò a cercare una dimostrazione della non-numerabilità di $\mathbb{R}$ che non fosse basata sulla completezza. Ciò lo portò, quasi 20 anni dopo, a scoprire l'argomento diagonale.

Riferimenti.

[C1874]  G. Cantor: Über eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen, Crelles Journal 77,  258 - 262 (1874)
[C1891] G. Cantor: Ueber eine elementare Frage der Mannigfaltigkeitslehre, Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung. 1: 75–78 (1891)
[M2014] M. Manetti, Topologia (Seconda edizione), Springer Unitext 2014.
[W]  https://en.wikipedia.org/wiki/Cantor's_diagonal_argument

Patterns that eventually fail

Come dimostrato in un recente post sul numero di regioni in cui un cerchio viene diviso unendo a due a due $n$ punti sulla circonferenza, è sempre rischioso estrapolare una formula sulla base dei primi dati conosciuti.

Un esempio ancora più sorprendente (tratto dalla pagina Twitter di John Carlos Baez, @johncarlosbaez) riguarda la successione di integrali rappresentata in figura. 

Calcolandone i valori per i primi milioni di $n$, si ottiene sempre $\pi/2$. Si sarebbe incautamente tentati di pensare che si ottenga $\pi2$ per ogni valore di $n$, ma di fatto ciò è falso se $$n> e^{101} \cong 7.4  \times 10^{43}.$$ Una spiegazione, basata sull'estrema lentezza della divergenza della serie armonica, è fornita nel blog di Baez [1].

Infatti, questi integrali sono ottenuti modificando i cosiddetti Integrali di Borwein [2], che presentano un pattern concettualmente simile (con la deviazione dal valore $\pi/2$ a partire da $n=15$).

 

Riferimenti.

[1] https://johncarlosbaez.wordpress.com/2018/09/20/patterns-that-eventually-fail/

[2] https://en.wikipedia.org/wiki/Borwein_integral#General_formula

Two is better than one

Le statue che rappresentano un matematico sono piuttosto rare, ma ancora di più lo sono quelle che rappresentano due matematici.

A Ulica Podzamcze, nella città vecchia di Cracovia, esiste un monumento dedicato a Stefan Banach e Otto Nikodym, progettato nel 2016 da Stefan Dousa.  I due sembrano intenti a discutere in modo animato, probabilmente di Analisi Funzionale.

Credits: Wikimedia Commons