La dimostrazione di Apostol dell'irrazionalità di $\sqrt{2}$

Tutti conoscono la classica dimostrazione dell'irrazionalità di $\sqrt{2}$ basata sul principio della fattorizzazione unica degli interi. 

Meno nota è invece la seguente dimostrazione geometrica, che procede per assurdo tramite un argomento di discesa infinita. In [1], tale dimostrazione è attribuita a Tom M. Apostol.

Si consideri un triangolo rettangolo isoscele come in figura, e si tracci la circonferenza di centro il vertice in alto e raggio il cateto verticale. Allora i tre segmenti marcati con doppio trattino hanno eguale lunghezza (si noti che due di essi sono segmenti di tangente condotti dallo stesso punto alla circonferenza), in particolare il triangolo piccolo è anche esso rettangolo isoscele.

Se il triangolo di partenza avesse tutti e tre i lati di misura intera, lo stesso sarebbe vero per il triangolo piccolo, in quanto sia il suo cateto che la sua ipotenusa sarebbero differenza di due segmenti avente misura intera.

Possiamo ora ripetere il procedimento per il triangolo piccolo e così via. Considerando le ipotenuse (o i cateti) dei triangoli così costruiti, otteniamo una successione strettamente decrescente e infinita di interi positivi, contraddizione.

Riferimenti

[1] Answer by Hans-Peter Stricker to MO8846, see 
https://mathoverflow.net/questions/8846/proofs-without-words