$1+2+3+4+\ldots = - \frac{1}{12}$

L'immagine allegata mostra la pagina di taccuino in cui Srinivasa Ramanujan "dimostra" la celebre "identità" $$1+2+3+4+ \ldots = - \frac{1}{12}.$$ L'argomento, ovviamente errato così come è scritto, occupa le prime sei righe del foglio ed è simile a quelli che solitamente si incontrano nelle pagine divulgative sull'argomento: posto

$$c = 1+2+3+4+ \ldots,$$

si ha $$4c = 4+8+12+16+ \ldots,$$

e quindi  $$-3c = 1 +(2-4)+3+(4-8)+5+(6-12)+ \ldots = 1-2+3-4+5-6+ \ldots$$ La "somma" di questa serie a segni alterni è "calcolata" da Ramanujan considerando lo sviluppo di Taylor

$$\frac{1}{(1+x)^2} = 1−2x+3x^2−4x^3+ \ldots $$ e ponendo $x=1$. Questo fornisce $-3c = 1/4$, quindi $c = -1/12$.

È evidente che tale risultato non può sussistere nel senso usuale di "somma di una serie", in quanto (ad esempio) il termine generale di $1+2+3+4+ \ldots$ non è infinitesimo; infatti, la serie dei numeri naturali diverge nel senso usuale.

Più precisamente, almeno due passaggi cruciali della "dimostrazione" esposta sono non giustificabili dal punto di vista della moderna Analisi Matematica:

1. non è in generale lecito sommare termine a termine due serie divergenti, tra l'altro dopo averle riarrangiate, e ragionare come se si trattasse di somme finite; 
2. lo sviluppo di Taylor sopra considerato vale solo per $|x|<1$.

Tuttavia, è possibile dare un senso all'identità di Ramanujan considerando una appropriata definizione di "somma di una serie divergente", che passa attraverso un procedimento di regolarizzazione della funzione zeta di Riemann.

Infatti, il risultato di Ramanujan era motivato dal fatto che, quando $s=-1$, si ha $\zeta(s)=-1/12$, mentre il valore "formale" in $s=-1$ della funzione zeta è proprio la serie dei numeri naturali. Questo è ben spiegato nel post divulgativo di Evelyn Lamb sul blog di Scientific American [1].

Una discussione più approfondita e tecnica delle somme di Ramanujan si trova nello splendidol post di Terence Tao [2] che, fra le altre cose, illustra il legame della regolarizzazione di $\zeta(s)$ con altri argomenti classici dell'Analisi, come i numeri di Bernoulli, la funzione di von Mangoldt e la formula di Poisson.

In generale, il concetto di "somma di una serie divergente" può essere definito in vari modi, non tutti fra loro equivalenti. Un classico riferimento bibliografico per questo argomento è la monografia di G. H. Hardy Divergent Series, oggi liberamente scaricabile in formato pdf [3].

Fonte immagine: @stevenstrogatz

Riferimenti.

[1] https://blogs.scientificamerican.com/roots-of-unity/does-123-really-equal-112/
[2] https://terrytao.wordpress.com/2010/04/10/the-euler-maclaurin-formula-bernoulli-numbers-the-zeta-function-and-real-variable-analytic-continuation/
[3] https://sites.math.washington.edu/~morrow/335_17/Hardy-DivergentSeries%202.pdf

La costante di Brun

Non è al momento noto se esistano infinite coppie di primi gemelli. Tuttavia, nel 1919, Viggo Brun dimostrò [1] il seguente

Teorema. La serie dei reciproci dei primi gemelli $$(1/3+1/5)+(1/5+1/7)+(1/11+1/13)+ \ldots \quad  (*) $$ è convergente (o finita).

(Si ricordi che invece, per un ben noto risultato di Eulero, la serie dei reciproci di tutti i primi è divergente).

La somma della serie $(*)$, detta costante di Brun, si indica il genere con $B_2$. Tale serie converge molto lentamente: dopo aver sommato un miliardo di termini, si stima che vi sia ancora un errore relativo del $5$%. Se si usano $10^{16}$ coppie di primi gemelli, il valore della somma è circa $1.902160583104$.

Si sa dimostrare incondizionatamente (cioè, senza utilizzare l'Ipotesi di Riemann) che $B_2< 2.347$; assumendo tale ipotesi, si ha la stima migliore $B_2< 2.1754$, vedi [2].

Non è noto al momento se $B_2$ sia o meno irrazionale. Ovviamente, se si riuscisse a dimostrare che lo è, ciò implicherebbe che esistono infinite coppie di primi gemelli.

Riferimenti.

[1] V. Brun: La série 1/5+1/7+1/11+1/13+1/17+1/19+1/29+1/31+1/41+1/43+1/59+1/61+..., où les dénominateurs sont nombres premiers jumeaux est convergente ou finie. Bulletin des Sciences Mathématiques 43: 100–104, 124–128 (1919)

[2] https://en.wikipedia.org/wiki/Brun%27s_theorem

Gruppi isomorfi al proprio quadrato

Dato un gruppo finito $G$, l'ordine di $G \times G$ è $|G|^2$. In particolare, se $G$ è non banale, allora $G \times G$ non è mai isomorfo a $G$.

Se, invece, l'ordine di $G$ è infinito, non è difficile costruire esempi che sono isomorfi al loro quadrato. Si consideri $$G=\prod_{n \in \mathbb{N}} \mathbb{Z}_2,$$ il prodotto diretto di un'infinità numerabile di copie di $\mathbb{Z}_2$, con la somma componente per componente $$( (g_n)+(h_n) ) = (g_n + h_n).$$ Allora l'applicazione $f \colon  G \to G  \times G$ definita da $$f((g_1, \, g_2,  \, g_3, \ldots)) = ((g_1, \, g_3, \, g_5, \ldots), \; (g_2, \, g_4, \,  g_6, \ldots))$$ è un isomorfismo di gruppi.

Lo stesso tipo di argomento mostra che la somma diretta numerabile $$G=\bigoplus_{n \in \mathbb{N}} \mathbb{ℤ_2},$$ ovvero il sottogruppo di $G=\prod_{n \in \mathbb{N}} \mathbb{Z}_2$ costituito dalle $n$-ple che hanno al più un numero finito di componenti non nulle, è isomorfo a $G \times G$.

Gli esempi presentati sopra sono gruppi non-finitamente generati. Sorprendentemente, esistono anche esempi di gruppi finitamente generati tali che $G ≃ G \times G$. Uno di essi, ottenuto come sottogruppo di una somma diretta numerabile di un opportuno prodotto amalgamato del gruppo di Baumslag–Solitar

$$\operatorname{BS}(2, \, 3) = \langle a, \, t  \mid  t a^2 t^{-1} = a^3 \rangle$$ è descritto in [1]. Tale gruppo, tuttavia, è non finitamente presentato. Un problema aperto, posto da Hirshon, è se esista un gruppo non banale e finitamente presentato $G$ tale che $G \simeq G \times G$.

Riferimenti.

[1] https://berstein2015.wordpress.com/2015/04/18/a-group-with-a-quotient-isomorphic-to-the-direct-square/

Kill (the) Bill

Nel 1897, il medico e matematico dilettante Edward J. Goodwin sottopose una proposta di legge al parlamento dello Stato dell'Indiana, dal lungo titolo

A Bill for an act introducing a new mathematical truth and offered as a contribution to education to be used only by the State of Indiana free of cost by paying any royalties whatever on the same, provided it is accepted and adopted by the official action of the Legislature of 1897.

La "new mathematical truth" era un metodo (ovviamente errato) per quadrare il cerchio, che implicava $\pi = 3.2$ (nonché $\sqrt{2} = 10/7$, giusto per non farsi mancare nulla). Per questo motivo, è passato alla storia come Indiana Pi Bill, invece che come "Bill n. 246/1897".

Il testo superò cinque letture in aula, ma non divenne mai legge grazie all'intervento di C. A. Waldo, professore all'Università di Purdue.

Fonte: https://www.history-of-mathematics.org/artifacts/indiana-pi-bill

Quarte potenze

Un interessante algoritmo per calcolare la quarta potenza di un intero, che @fermatslibrary attribuisce a Dov Juzuk (1939).

Raggruppiamo gli interi positivi in insiemi di cardinalità crescente come segue: $$(1) \, (2, \, 3) \, (4, \, 5, \, 6) \, (7, \, 8, \, 9, \, 10) \, (11, \, 12, \, 13, \, 14, \, 15) \ldots $$ Poi, cancelliamo tutti i gruppi di cardinalità pari: $$(1) \, (4, \, 5, \, 6) \, (11, \, 12, \, 13, \,14, \,15) \ldots $$ La somma dei primi $n$ gruppi rimasti è esattamente $n^4$.

Esempi:

n=2 
$(1) + (4+5+6) = 16 = 2^4$

n=3
$(1) + (4+5+6) + (11+12+13+14+15) = 81 = 3^4$

The Sokal affair

Nel 1996, Alan Sokal, professore di fisica all'Università di New York e all'University College of London, inviò alla rivista di studi culturali post-moderni "Social Text" un articolo dal titolo Transgressing the Boundaries: Towards a Transformative Hermeneutics of Quantum Gravity [1].

Il lavoro intendeva dimostrare che la Quantum Gravity (e, in generale, la fisica moderna) è un costrutto sociale e linguistico, attraverso affermazioni del tipo

Just as liberal feminists are frequently content with a minimal agenda of legal and social equality for women and "pro-choice", so liberal (and even some socialist) mathematicians are often content to work within the hegemonic Zermelo–Fraenkel framework (which, reflecting its nineteenth-century liberal origins, already incorporates the axiom of equality) supplemented only by the axiom of choice.

L'articolo venne pubblicato e, tre settimane dopo, Sokal rivelò [2] che si trattava di un esperimento per testare la serietà del processo di peer-review in ambito accademico. Infatti, Trasgressing the Boundaries era semplice nonsense, ma il modo in cui era scritto aveva tratto in inganno i poco accorti revisori che, accecati dal bias di conferma e dalla loro scarsa padronanza dei termini tecnici, avevano creduto di avere a che fare con un profondo lavoro che predicava l'esigenza di una "liberatory science" e di una "emancipatory mathematics", che svincolassero finalmente la scienza dai canoni imposti dalla classe intellettualmente (e socialmente) egemone. Ovviamente, tale "post-moderne science" avrebbe dovuto dare supporto intellettuale ad un "progressive political project" etc etc.

La beffa di Sokal abbe immediata ed ampia risonanza, e provocò un'accesa discussione su vari fronti. In particolare, l'Autore stigmatizzò la "pigrizia intellettuale" dell'accademia dietro "Social Text" (i cui membri appartenevano prevalentemente all'élite di sinistra americana), che basava le proprie valutazioni sull'uso di un certo linguaggio o di una certa deferenza verso il pensiero "post-modernista", invece di concentrarsi sui contenuti presentati e sulla solidità degli argomenti proposti.

La critica colpiva in particolare gli appartenenti ad alcuni settori delle "liberal arts" che, con la loro visione "de-costruttivista" della scienza, portavano avanti secondo Sokal una forma di pensiero anti-scientifico e anti-intellettuale, nonostante (o forse proprio per questo) non fossero in grado di comprendere in profondità gli argomenti di cui volevano discutere.

La polemica arrivò al punto di mettere in dubbio la possibilità, per filosofi e ed umanisti in generale, di dare un contributo significativo al dibattito scientifico o epistemologico. Eminenti pensatori come Jacques Derrida si sentirono direttamente chiamati in causa, e dissero la loro sull'argomento [3].

Riferimenti.

[1] Alan D. Sokal: Transgressing the boundaries: Towards a Transformative Hermeneutics of Quantum Gravity, Social Text 46/47 (1996), 217-252.

https://www.jstor.org/stable/466856?origin=crossref&seq=1

[2] Alan D. Sokal: A Physicist Experiments with Cultural Studies, Lingua Franca (1996).

http://linguafranca.mirror.theinfo.org/9605/sokal.html

[3] https://en.wikipedia.org/wiki/Sokal_affair

Un quadrato di quadrati

Un quadrato magico $4 \times 4$ in cui ogni elemento è un quadrato. Conseguenza: $93025$ può scriversi come somma di quattro quadrati in almeno $10$ modi distinti.

Sorprendentemente, l'esistenza di un simile quadrato magico nel caso $3 \times 3$ è un problema aperto:

http://www.multimagie.com/English/SquaresOfSquaresSearch.htm

Chiarezza

Il concetto di "retta graduata" come veniva spiegato in un libro di testo per l'"eight grade" (studenti di 13-14 anni) ispirato a Bourbaki.

Fonte: M. Mashaal, "Bourbaki: A Secret Society of Mathematicians", AMS 2006

https://bookstore.ams.org/bourbaki/

Absent-mindedness

 

Source: Bruce Schechter, My mind is open, p. 178.

Prayers

 Da Elsevier è tutto, linea allo studio.

Fonte: https://doi.org/10.1016/j.jemep.2021.100674

Azioni di gruppo senza punti fissi su una palla chiusa

Consideriamo un gruppo finito $G$ che agisce come gruppo di omeomorfismi sulla palla chiusa $\mathbb{D}^n \subset \mathbb{R}^n$. È vero che esiste sempre un punto fisso comune, ossia un punto $x \in \mathbb{D}^n$ tale che $g⋅x=x$ per ogni $g \in G$?

La risposta è affermativa quando $G$ è un gruppo ciclico. Infatti, detto $g$ un generatore di $G$, l'omeomorfismo $g⋅  \colon \mathbb{D}^n \to \mathbb{D}^n$ ha un punto fisso per il Teorema di Brouwer, e tale punto fisso è anche punto fisso per ogni elemento del tipo $g^n$.

In generale, invece, la risposta è negativa: anche se Brouwer garantisce l'esistenza di un punto fisso per ogni elemento $g \in G$, tale punto dipende da $g$ e, senza ulteriori ipotesi, non si può stabilire l'esistenza di un punto fisso comune.

Un esempio esplicito di azione senza punti fissi comuni del gruppo alterno $A_5$ su una $n$-cella è costruito in [1]. Leggendo il lavoro, si vede che la $n$-cella (omeomorfa a $\mathbb{D}^n$) è costruita in modo combinatorio immergendo un certo complesso simpliciale semplicemente connesso in un opportuno spazio euclideo. Mi sembra che, sviluppando i dettagli, si dovrebbe poter ricavare un valore esplicito di $n$.

In effetti, $A_5$ è il gruppo di minimo ordine che può agire senza punti fissi comuni su una palla chiusa: ciò è dimostrato in [2], per mezzo del teorema dell'indice di Lefschetz.

Per ulteriori informazioni su questo interessante problema, il lettore può consultare il thread su MathOverflow [3].

Riferimenti.

[1] E. E. Floyd, R. W. Richardson: An action of a finite group on an n-cell without stationary points, Bull. Amer. Math. Soc. Volume 65, Number 2 (1959), 73-76.

https://projecteuclid.org/.../An.../bams/1183523039.full

[2] R. Parris: Finite groups without fixed-point-free actions on a disk, Michigan Math. J. Volume 20, Issue 4 (1974), 349-351.

https://projecteuclid.org/.../10.1307/mmj/1029001152.full

[3] https://mathoverflow.net/.../do-finite-groups-acting-on-a...