Il Teorema di Morley

Nel 1899 F. Morley dimostrò il seguente sorprendente

Teorema. I tre punti di intersezione delle tre coppie di trisettrici adiacenti di un triangolo qualsiasi formano sempre un triangolo equilatero.

Si tratta di un enunciato di grande bellezza e semplicità, di cui si conoscono varie dimostrazioni, alcune delle quali piuttosto intricate. Una dimostrazione elementare è stata data da J. Conway (1967), e una puramente algebrica più di recente da A. Connes (1998). Per una panoramica sull'argomento si può leggere la corrispondente pagina Wikipedia e i riferimenti bibliografici in essa contenuti.

Il fatto che tale risultato fosse (per quanto ne sappiamo) ignoto ai geometri dell'antichità, che conoscevano invece molti risultati sulle bisettrici dei triangoli,  è dovuto probabilmente alla loro reticenza a trattare problemi che non fossero in grado di risolvere con riga e compasso. 

Di fatto, è oggi ben noto che la trisezione di un angolo generico $\theta$ è equivalente alla costruzione di una radice $x=\cos(\theta/3)$ del polinomio di terzo grado
\begin{equation*}
4x^3-3x- \cos \theta,
\end{equation*} che risulta irriducibile sull'estensione di campi $\mathbb{Q}(\cos \theta)$. Da ciò segue l'impossibilità della trisezione di un angolo generico con gli strumenti classici, dato che il grado del polinomio minimo di un numero costruibile è necessariamente una potenza di $2$.

Numeri primi come somma di quadrati

Un classico risultato enunciato da Fermat e dimostrato per la prima volta da Eulero intorno al 1750 afferma che un numero primo dispari si può esprimere (in modo essenzialmente unico) come somma di quadrati se e solo se esso è congruo a 1 (mod 4), cioè se e solo se è della forma $4k+1$. Ad esempio $5$, $13$, $17$ si esprimono come somma di quadrati, mentre $3$, $7$, $11$ no.

La dimostrazione originale di Eulero usa la discesa infinita, che è una tecnica per assurdo che usa l'induzione discendente insieme al principio del buon ordinamento per i numeri naturali. Le dimostrazioni moderne riportate sui libri di testo usano invece l'idea di Dedekind di fattorizzare i primi nell'anello euclideo degli interi di Gauss $\mathbb{Z}[i]$, vedi ad esempio la corrispondente pagina Wikipedia.

Infatti, utilizzando il fatto che ogni anello euclideo è un PID, si mostra che un primo p si fattorizza non-banalmente in $\mathbb{Z}[i]$ se e solo se è della forma $4k+1$. Siccome $N(p)=p^2$ e la norma è moltiplicativa, si vede che questa fattorizzazione è necessariamente della forma
\begin{equation*}
p=(a+bi)(a-bi),
\end{equation*}
da cui dunque $p=a^2+b^2$.

Si può anche dimostrare che sia i primi della forma $4k+3$ che quelli della forma $4k+1$ sono infiniti, pertanto esistono infiniti primi non esprimibili come somma di quadrati ed infiniti che lo sono.

L'infinità dei primi del tipo $4k+3$ segue facilmente da considerazioni elementari à la Euclide; per quella dei primi del tipo $4k+1$ occorre invece usare tecniche più sofisticate, come la teoria dei polinomi ciclotomici.

P. de Fermat (fonte: Wikipedia)