Matematica in prigione

Ci sono stati matematici, anche famosi, che svolsero parte del loro lavoro mentre si trovavano in prigione. Alcuni esempi sono i seguenti, per maggiori dettagli si veda l'interessante thread su HSM [1].

(1) Jean-Victor Poncelet partecipò come ingegnere militare alla campagna di Russia di Napoleone, nella quale fu fatto prigioniero (1812-1814). Durante la prigionia a Saratov, scrisse il suo "Traité des propriétés projectives des figures", che pose le basi della moderna Geometria Proiettiva.

(2) Bertrand Russell scrisse il celebre "Introduction to Mathematical Philosophy" nel 1918, mentre si trovava in prigione a Brixton per la sua attività pacifista e anti-militarista.

(3) André Weil completò il suo seminale lavoro sulla funzione zeta per curve algebriche su campi finiti nel 1940, mentre si trovava in arresto a Le Havre e poi a Rouen per renitenza alla leva. Una narrazione in prima persona di questi eventi può essere trovato nelle sue memorie Souvenirs d'apprendissage.

(4) Il matematico francese André Bloch venne rinchiuso in un ospedale psichiatrico nel 1917, dopo avere sterminato la sua famiglia (i motivi della strage non furono mai chiariti). Tutto il suo lavoro matematico, compreso quello sulla costante che oggi porta il suo nome, venne compiuto durante la detenzione in manicomio.

(5) Il lavoro in topologia di Jean Leray, che risultò fondamentale per lo sviluppo della teoria delle successioni spettrali, di quella dei fasci e in generale di tutta l'algebra omologica, fu compiuto in parte nel 1940-1945, mentre il matematico si trovava prigioniero nel campo di detenzione per prigionieri di guerra di Edelbach, in Austria. Come testimonianza, rimane un famoso "Course d’algèbre topologique enseigné en captivité" (viene da chiedersi cosa abbiano capito del corso i compagni di prigionia che lo seguirono).

Un esempio più recente si trova nell'interessante articolo su The Conversation [2]. Christopher Havens, condannato ad una pena di 25 anni per omicidio da scontarsi nella prigione di Washington, ha scoperto durante la sua prigionia la passione per la Matematica. Dopo aver studiato da autodidatta per qualche tempo (non era in possesso di un regolare diploma) è riuscito a contattare alcuni specialisti in teoria dei numeri, che lo hanno indirizzato su un problema di ricerca riguardante le frazioni continue. Il risultato è un lavoro sulla rivista Research in Number Theory [3], in cui Havens compare come primo nome. Questa è una cosa piuttosto inusuale in Matematica, disciplina dove generalmente gli autori sono elencati in ordine alfabetico.

Al momento Havens sta studiando per un diploma online, e spera di poter conseguire una laurea e poi un dottorato in Matematica una volta scontata la pena.

Riferimenti.

[1] https://hsm.stackexchange.com/.../what-are-some...

[2] https://theconversation.com/an-inmates-love-for-math...

[3] C. Havens, S. Barbero, U. Cerruti, N. Murru "Linear fractional transformations and nonlinear leaping convergents of some continued fractions", Research in Number Theory 6 (2020).

https://doi.org/10.1007/s40993-020-0187-5

Aree e perimetri

Un interessante problema di geometria elementare che recentemente è stato proposto sui social network  è quello di determinare tutti i triangoli aventi lati interi e la cui area è uguale al perimetro.

Innanzitutto, notiamo che senza la condizione che il triangolo sia eroniano (abbia, cioè, area e perimetro interi) vi sono infinite soluzioni. Infatti, indicando come d'abitudine l'area con $s$ e il semiperimetro con $p$, se $r$ è il raggio della circonferenza inscritta si ha $rp=s$, quindi la richiesta che l'area sia uguale al perimetro è equivalente a $r=2$, e vi sono evidentemente infiniti triangoli non congruenti circoscritti ad una circonferenza di raggio $2$.

La condizione che il triangolo sia eroniano è invece molto restrittiva e non è difficile mostrare che, sotto questa ipotesi, vi sono solo cinque soluzioni distinte. 

Infatti, chiamiamo $a, \, b, \, c$ le lunghezze dei lati del triangolo, e poniamo
\begin{equation} \label{eq}
a=x+y, \quad  b=x+z, \quad c=y+z
\end{equation}Allora il semiperimetro è $x+y+z$ e quindi, per l'ipotesi $s=2p$, l'area al quadrato è $4(x+y+z)^2$. La formula di Erone ora fornisce $$4(x+y+z)^2 =(x+y+z)xyz$$ ossia $4=xyz/(x+y+z)$. 

Siccome $x, \, y, \, z$ hanno somma a due a due positiva, al più uno di essi può essere negativo. Ma $x+y+z$ è il semiperimetro, che è positivo, dunque $4(x+y+z)=xyz$ implica che $xyz$ deve essere positivo. Segue che $x, \, y, \,z$ sono tutti positivi.

Inoltre, $x, \, y,  \,z$ devono essere interi. Infatti, la matrice del sistema lineare che esprime $a, \, b, \, c$ in termini di $x, \, y, \, z$ ha determinante $-2$ e quindi, per la regola di Cramer, $x, \, y, \, z$ sono interi o semi-interi. D'altra parte, siccome $a, \, b, \, c$ sono interi, le condizioni \eqref{eq} implicano che sono tutti e tre interi o tutti e tre semi-interi. Ora $xyz=4(x+y+z)$ mostra che $xyz$ è intero, dato che è uguale al semiperimetro $x+y+z$ moltiplicato per $4$, e quindi l'unica possibilità è che $x, \, y, \,z$ siano tutti e tre interi.

Senza ledere la generalità, possiamo supporre $x \leq  y \leq z$. Allora $$4=\frac{xyz}{(x+y+z)} \geq \frac{1}{3}xy$$ cioè $xy \leq 12$. Inoltre, siccome $$z=\frac{4(x+y)}{xy-4}$$ abbiamo l’ulteriore condizione $xy \geq 5$. 

Riassumendo, dobbiamo determinare le coppie di interi positivi $x, \, y$ tali che $5 ≤ xy ≤ 12$ e $xy-4$ divida $4(x+y)$. Una semplice analisi dei casi mostra che le possibilità per $(x, \, y, \, z)$ sono tutte e sole le seguenti: $$(1, \,5, \, 24), \; \; (1, \,  6, \, 14), \; \; (1, \, 8, \,  9), \; \; (2, \, 3, \, 10), \; \; (2,\,  4, \, 6)$$ che corrispondono, rispettivamente, ai seguenti valori per $(a, \, b, \, c)$: $$(6, \, 25, \, 29), \; \;  (7, \, 15, \, 20), \; \; (9, \, 10, \, 17), \; \; (5, \, 12, \, 13), \; \; (6, \, 8, \, 10).$$

È interessante notare che esattamente due fra questi sono triangoli rettangoli, ossia quelli di lati $(5, \, 12, \, 13)$ e $(6, \, 8, \, 10)$.

La spirale di Teodoro

Nel suo celebre dialogo Teeteto, Platone menziona la spirale di Teodoro di Cirene, una costruzione iterativa che permette di costruire segmenti di lunghezza $\sqrt{n}$ per ogni numero naturale $n$. 

Platone afferma che Teodoro la utilizzò per dimostrare l'irrazionalità di $\sqrt{n}$ per gli interi $n$ non quadrati perfetti fra $3$ e $17$. È significativo che non citi il caso $n=2$, probabilmente perché l'irrazionalità di $\sqrt{2}$ era un fatto dato per scontato già ai suoi tempi.

Si suppone che Teodoro si sia fermato a $\sqrt{17}$ in quanto $n=17$ è l'ultimo valore per il quale la figura non presenta sovrapposizioni. 

In [1] si possono trovare altre interessanti informazioni sulla spirale di Teodoro: ad esempio, come essa approssimi la spirale di Archimede quando n tende all'infinito [Hahn 2008] e come sia possibile interpolarla con una curva continua [Davis 2001, Gronau 2004, Waldvogel 2009].

Riferimenti

[1] https://en.wikipedia.org/wiki/Spiral_of_Theodorus

Eptadecagono, 1

Come è ben noto, Carl Friedrich Gauss dimostrò nel 1796, all'età di 19 anni, che il poligono regolare di 17 lati (eptadecagono) è costruibile con riga e compasso.

La moderna teoria delle estensioni dei campi mostra che ciò è equivalente al fatto che $\cos(2\pi/17)$ è un numero costruibile, ovvero appartiene ad una estensione di $\mathbb{Q}$ ottenuta come torre finita di estensioni quadratiche. 

L'espressione esplicita di $\cos(2\pi/17)$ per mezzo di radicali quadratici iterati è $$ 16\, \operatorname{cos}{2\pi\over17}=\sqrt{17}-1 +\sqrt{34-2\sqrt{17}}+2\sqrt{17+3\sqrt{17}-\sqrt{34-2\sqrt{17}}-2\sqrt{34+2\sqrt{17}}}$$
Fonte.
https://mathworld.wolfram.com/TrigonometryAnglesPi17.html

Madness

Cauchy is mad and there is nothing that can be done about him, although, right now, he is the only one who knows how mathematics should be done.

Niels Henrik Abel (1826)

Source 
https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Cauchy/

Il Teorema di Cayley-Hamilton

Uno dei classici e fondamentali risultati in Algebra Lineare è il celebre

Teorema di Cayley-Hamilton

Ogni matrice quadrata $A$ su un anello commutativo $R$ soddisfa il suo polinomio caratteristico. In altre parole, se $p(t)= \det(tI-A)$ è il polinomio caratteristico di $A$, allora $p(A)=0.$

Le prime dimostrazioni vennero date da Hamilton [H1853] in alcuni casi particolari di matrici $2 \times2$ e $4 \times 4$, utilizzando la teoria dei quaternioni. Cayley [C1858] enunciò il risultato nel caso $2\times2$ e $3 \times3$, ma pubblicò solo la dimostrazione nel caso $2 \times 2$. Il caso generale venne provato da Frobenius [F1878]. 

Il teorema di Cayley-Hamilton ha molte importanti conseguenze, e lo spazio di questo post è troppo limitato per poterle elencare tutte. Il lettore può consultare [W] o un qualsiasi testo avanzato di Algebra Lineare per maggiori dettagli. A titolo di esempio, ricordiamo che

1. Quando $R$ è un campo, il Teorema di Cayley-Hamilton è equivalente al fatto che il polinomio minimo di $A$ divide il suo polinomio caratteristico.
2. Se $A$ ha ordine $n$, l'identità $p(A)=0$ permette di scrivere la potenza $A^n$ come combinazione lineare delle potenze $I, \, A, \, A^2, \ldots , A^{n-1}$. I coefficienti di tale combinazione lineare sono funzioni simmetriche elementari negli autovalori di $A$.
3. Se $A$ è di ordine $n$, nilpotente e definita su un campo, allora il suo indice di nilpotenza è al più $n$, ossia $A^n=0.$ Infatti, l'ipotesi di nilpotenza assicura che l'unico autovalore di $A$ è $0$, quindi $P(A)=t^n$, e il risultato segue immediatamente da Cayley-Hamilton. Analogamente, Cayley-Hamilton assicura che se ogni autovalore di $A$ è nullo allora $A$ è nilpotente (il viceversa è banale).

Sono conosciute molte dimostrazioni di questo importante risultato, e ogni testo avanzato di Algebra Lineare ne contiene almeno una. Ad esempio, il classico testo di Lang lo presenta come conseguenza della teoria della riduzione a forma triangolare [L70, Capitolo 10]. Altri Autori presentano invece il teorema come conseguenza dell'esistenza della forma canonica di Jordan. Osserviamo che la dimostrazione "ingenua" ottenuta ponendo $t=A$ in $\det(tI-A)$ non funziona, dato che non è lecito eguagliare una matrice ed uno scalare.

Diamo qui una dimostrazione molto breve, nel caso di un campo algebricamente chiuso, che utilizza un argomento di tipo topologico. Per semplicità supponiamo $R=\mathbb{C}$, il campo dei numeri complessi; non è tuttavia difficile adattare l'argomento nel caso generale, utilizzando la topologia di Zariski invece di quella euclidea. Se il campo dei coefficienti di $A$ non è algebricamente chiuso, l'argomento funziona ancora applicandolo alla sua chiusura algebrica.

Dimostrazione. La prima osservazione è che, se $A$ è diagonalizzabile, allora il Teorema di Cayley-Hamilton è vero, come segue facilmente da un calcolo elementare.

Consideriamo ora il polinomio minimo di $A$, che indichiamo con $q(t)$. Allora A è diagonalizzabile se e solo se $q(t)$ non ha zeri multipli (qui utilizziamo il fatto che $A$ sia definita su un campo algebricamente chiuso) o, equivalentemente, se e solo se il discriminante $$\mathrm{disc}_A(t)=\mathrm{res} (q(t), \, q'(t))$$ è non nullo.

Prendiamo ora la funzione definita sullo spazio vettoriale $\mathrm{Mat}_n(C)$ che associa ad ogni matrice $A$ il polinomio $\mathrm{disc}_A(t)$. Questa funzione è continua, dato che i coefficienti di $\mathrm{disc}_A(t)$ sono polinomi negli elementi di $A$, e il luogo delle matrici non diagonalizzabili è, per quanto visto sopra, la controimmagine di $0$. 

Pertanto le matrici diagonalizzabili sono il complementare di una ipersuperficie algebrica in $\mathrm{Mat}_n(\mathbb{C})=\mathbb{C}^{n^2}$, in particolare esse formano un sottoinsieme denso in $\mathrm{Mat}_n(\mathbb{C})$.

Per quanto osservato all'inizio riguardo al caso diagonalizzabile, segue che la funzione continua $A \mapsto p(A)$ è identicamente nulla su un sottoinsieme denso di $\mathrm{Mat}_n(\mathbb{C})$, dunque è nulla ovunque.  $\square$

Riferimenti.

[C1858] A. Cayley: A Memoir on the Theory of Matrices, Philos. Trans. 148 (1858)

[F1878] G. Frobenius: Ueber lineare Substutionen und bilineare Formen, J. Reine Angew. Math. (84): 1–63 (1878).

[H1853] W. R. Hamilton: Lectures on Quaternions (1853)

[L70] S. Lang: Algebra Lineare, Bollati Boringhieri (1970)

[W] https://en.wikipedia.org/wiki/Cayley-Hamilton_theorem