Un interessante problema di geometria elementare che recentemente è stato proposto sui social network è quello di determinare tutti i triangoli aventi lati interi e la cui area è uguale al perimetro.
Innanzitutto, notiamo che senza la condizione che il triangolo sia eroniano (abbia, cioè, area e perimetro interi) vi sono infinite soluzioni. Infatti, indicando come d'abitudine l'area con $s$ e il semiperimetro con $p$, se $r$ è il raggio della circonferenza inscritta si ha $rp=s$, quindi la richiesta che l'area sia uguale al perimetro è equivalente a $r=2$, e vi sono evidentemente infiniti triangoli non congruenti circoscritti ad una circonferenza di raggio $2$.
La condizione che il triangolo sia eroniano è invece molto restrittiva e non è difficile mostrare che, sotto questa ipotesi, vi sono solo cinque soluzioni distinte.
Infatti, chiamiamo $a, \, b, \, c$ le lunghezze dei lati del triangolo, e poniamo
\begin{equation} \label{eq}
a=x+y, \quad b=x+z, \quad c=y+z
\end{equation}Allora il semiperimetro è $x+y+z$ e quindi, per l'ipotesi $s=2p$, l'area al quadrato è $4(x+y+z)^2$. La formula di Erone ora fornisce $$4(x+y+z)^2 =(x+y+z)xyz$$ ossia $4=xyz/(x+y+z)$.
Siccome $x, \, y, \, z$ hanno somma a due a due positiva, al più uno di essi può essere negativo. Ma $x+y+z$ è il semiperimetro, che è positivo, dunque $4(x+y+z)=xyz$ implica che $xyz$ deve essere positivo. Segue che $x, \, y, \,z$ sono tutti positivi.
Inoltre, $x, \, y, \,z$ devono essere interi. Infatti, la matrice del sistema lineare che esprime $a, \, b, \, c$ in termini di $x, \, y, \, z$ ha determinante $-2$ e quindi, per la regola di Cramer, $x, \, y, \, z$ sono interi o semi-interi. D'altra parte, siccome $a, \, b, \, c$ sono interi, le condizioni \eqref{eq} implicano che sono tutti e tre interi o tutti e tre semi-interi. Ora $xyz=4(x+y+z)$ mostra che $xyz$ è intero, dato che è uguale al semiperimetro $x+y+z$ moltiplicato per $4$, e quindi l'unica possibilità è che $x, \, y, \,z$ siano tutti e tre interi.
Senza ledere la generalità, possiamo supporre $x \leq y \leq z$. Allora $$4=\frac{xyz}{(x+y+z)} \geq \frac{1}{3}xy$$ cioè $xy \leq 12$. Inoltre, siccome $$z=\frac{4(x+y)}{xy-4}$$ abbiamo l’ulteriore condizione $xy \geq 5$.
Riassumendo, dobbiamo determinare le coppie di interi positivi $x, \, y$ tali che $5 ≤ xy ≤ 12$ e $xy-4$ divida $4(x+y)$. Una semplice analisi dei casi mostra che le possibilità per $(x, \, y, \, z)$ sono tutte e sole le seguenti: $$(1, \,5, \, 24), \; \; (1, \, 6, \, 14), \; \; (1, \, 8, \, 9), \; \; (2, \, 3, \, 10), \; \; (2,\, 4, \, 6)$$ che corrispondono, rispettivamente, ai seguenti valori per $(a, \, b, \, c)$: $$(6, \, 25, \, 29), \; \; (7, \, 15, \, 20), \; \; (9, \, 10, \, 17), \; \; (5, \, 12, \, 13), \; \; (6, \, 8, \, 10).$$
È interessante notare che esattamente due fra questi sono triangoli rettangoli, ossia quelli di lati $(5, \, 12, \, 13)$ e $(6, \, 8, \, 10)$.
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