Il Teorema di Cayley-Hamilton

Uno dei classici e fondamentali risultati in Algebra Lineare è il celebre

Teorema di Cayley-Hamilton

Ogni matrice quadrata $A$ su un anello commutativo $R$ soddisfa il suo polinomio caratteristico. In altre parole, se $p(t)= \det(tI-A)$ è il polinomio caratteristico di $A$, allora $p(A)=0.$

Le prime dimostrazioni vennero date da Hamilton [H1853] in alcuni casi particolari di matrici $2 \times2$ e $4 \times 4$, utilizzando la teoria dei quaternioni. Cayley [C1858] enunciò il risultato nel caso $2\times2$ e $3 \times3$, ma pubblicò solo la dimostrazione nel caso $2 \times 2$. Il caso generale venne provato da Frobenius [F1878]. 

Il teorema di Cayley-Hamilton ha molte importanti conseguenze, e lo spazio di questo post è troppo limitato per poterle elencare tutte. Il lettore può consultare [W] o un qualsiasi testo avanzato di Algebra Lineare per maggiori dettagli. A titolo di esempio, ricordiamo che

1. Quando $R$ è un campo, il Teorema di Cayley-Hamilton è equivalente al fatto che il polinomio minimo di $A$ divide il suo polinomio caratteristico.
2. Se $A$ ha ordine $n$, l'identità $p(A)=0$ permette di scrivere la potenza $A^n$ come combinazione lineare delle potenze $I, \, A, \, A^2, \ldots , A^{n-1}$. I coefficienti di tale combinazione lineare sono funzioni simmetriche elementari negli autovalori di $A$.
3. Se $A$ è di ordine $n$, nilpotente e definita su un campo, allora il suo indice di nilpotenza è al più $n$, ossia $A^n=0.$ Infatti, l'ipotesi di nilpotenza assicura che l'unico autovalore di $A$ è $0$, quindi $P(A)=t^n$, e il risultato segue immediatamente da Cayley-Hamilton. Analogamente, Cayley-Hamilton assicura che se ogni autovalore di $A$ è nullo allora $A$ è nilpotente (il viceversa è banale).

Sono conosciute molte dimostrazioni di questo importante risultato, e ogni testo avanzato di Algebra Lineare ne contiene almeno una. Ad esempio, il classico testo di Lang lo presenta come conseguenza della teoria della riduzione a forma triangolare [L70, Capitolo 10]. Altri Autori presentano invece il teorema come conseguenza dell'esistenza della forma canonica di Jordan. Osserviamo che la dimostrazione "ingenua" ottenuta ponendo $t=A$ in $\det(tI-A)$ non funziona, dato che non è lecito eguagliare una matrice ed uno scalare.

Diamo qui una dimostrazione molto breve, nel caso di un campo algebricamente chiuso, che utilizza un argomento di tipo topologico. Per semplicità supponiamo $R=\mathbb{C}$, il campo dei numeri complessi; non è tuttavia difficile adattare l'argomento nel caso generale, utilizzando la topologia di Zariski invece di quella euclidea. Se il campo dei coefficienti di $A$ non è algebricamente chiuso, l'argomento funziona ancora applicandolo alla sua chiusura algebrica.

Dimostrazione. La prima osservazione è che, se $A$ è diagonalizzabile, allora il Teorema di Cayley-Hamilton è vero, come segue facilmente da un calcolo elementare.

Consideriamo ora il polinomio minimo di $A$, che indichiamo con $q(t)$. Allora A è diagonalizzabile se e solo se $q(t)$ non ha zeri multipli (qui utilizziamo il fatto che $A$ sia definita su un campo algebricamente chiuso) o, equivalentemente, se e solo se il discriminante $$\mathrm{disc}_A(t)=\mathrm{res} (q(t), \, q'(t))$$ è non nullo.

Prendiamo ora la funzione definita sullo spazio vettoriale $\mathrm{Mat}_n(C)$ che associa ad ogni matrice $A$ il polinomio $\mathrm{disc}_A(t)$. Questa funzione è continua, dato che i coefficienti di $\mathrm{disc}_A(t)$ sono polinomi negli elementi di $A$, e il luogo delle matrici non diagonalizzabili è, per quanto visto sopra, la controimmagine di $0$. 

Pertanto le matrici diagonalizzabili sono il complementare di una ipersuperficie algebrica in $\mathrm{Mat}_n(\mathbb{C})=\mathbb{C}^{n^2}$, in particolare esse formano un sottoinsieme denso in $\mathrm{Mat}_n(\mathbb{C})$.

Per quanto osservato all'inizio riguardo al caso diagonalizzabile, segue che la funzione continua $A \mapsto p(A)$ è identicamente nulla su un sottoinsieme denso di $\mathrm{Mat}_n(\mathbb{C})$, dunque è nulla ovunque.  $\square$

Riferimenti.

[C1858] A. Cayley: A Memoir on the Theory of Matrices, Philos. Trans. 148 (1858)

[F1878] G. Frobenius: Ueber lineare Substutionen und bilineare Formen, J. Reine Angew. Math. (84): 1–63 (1878).

[H1853] W. R. Hamilton: Lectures on Quaternions (1853)

[L70] S. Lang: Algebra Lineare, Bollati Boringhieri (1970)

[W] https://en.wikipedia.org/wiki/Cayley-Hamilton_theorem