Bounded gaps between primes

Pure maths is a young man's game.
(G. H. Hardy)

La ben nota Congettura dei Primi Gemelli asserisce che esistono infinite coppie di numeri primi la cui differenza è $2$, come $$(3, \, 5), \; (5, \, 7), \; (11, \, 13), \; (17, \,19), \; (29, \, 31), \; (41, \, 43),  \, (59, \, 61), \ldots$$ Fino a poco tempo fa, la congettura era completamente aperta e nessuno aveva una precisa idea su come affrontarla: ad esempio, non era neanche noto se esistessero infinite coppie di numeri primi la cui differenza fosse limitata superiormente da una costante fissata.

Per tale motivo, la comunità matematica fu fortemente impressionata dai risultati del matematico americano di origine cinese Yitan Zhang, che nel 2013 pubblicò sulla prestigiosa rivista Annals of Matematics l'articolo l'articolo [Zhang14], nel quale dimostrava che esistono infinite coppie di numeri primi che distano fra loro meno di 70 milioni. Per quanto evidentemente molto più debole della congettura dei primi gemelli, il teorema di Zhang rappresentava evidentemente un progresso spettacolare. La tecnica dimostrativa era basata su precedenti risultati di Goldston, Pintz and Yıldırım, e su un raffinamento di un crivello del tipo Bombieri-Vinogradov.

La storia di Zhang è per molti versi peculiare. Innanzitutto, nel 2013 Zhang aveva 58 anni, un'età inusualmente alta per contributi rivoluzionari in Matematica, e l'articolo pubblicato sugli Annals era il suo primo lavoro dal 2001. Inoltre, fino ad allora la sua carriera accademica era stata molto difficoltosa.

Durante la Rivoluzione Culturale in Cina, lui e sua madre vennero spediti per 10 anni a lavorare nei campi. Trasferitosi negli Stati Uniti e ottenuto il suo dottorato a Purdue nel 1991, sotto la direzione di Tzuong-Tsieng Moh, i rapporti con il suo advisor si deteriorarono fino al punto che quest'ultimo rifiutò di scrivergli le "recommendation letters", essenziali nel sistema universitario americano per ottenere una tenure track.  Solo nel 1999, dopo aver svolto anche lavori umili come cameriere in un ristorante e impiegato di motel, riuscì finalmente ad ottenere un impiego come lecturer all'Università del New Hampshire.

I risultati rivoluzionari di Zhang gli garantirono subito fama internazionale e una moltitudine di premi e riconoscimenti. Oltre ad una cattedra come full professor all'università di California Santa Barbara (2015), gli vennero assegnati l'Ostrowski Prize (2013), il Cole Prize (2014), il Rolf Schock Prize (2014), una MacArthur Fellowship (2014) e venne eletto fellow dell'Academia Sinica (2014).

La storia ha una conclusione ugualmente interessante. Il valore di 70 milioni ottenuto da Zhang venne quasi immediatamente abbassato a 600 da J. Maynard, che combinò le idee di Zhang con tecniche dimostrative differenti. Successivamente, venne avviato un progetto di "matematica collettiva", proposto da T. Gowers e noto come Polymath. Il progetto Polymath 8, nel quale erano coinvolti sia Maynard che T. Tao, riuscì ad abbassare il gap da $600$ a $246$, vedi [Polymath 2014a], [Polymath 2014b].

Le tecniche oggi disponibili (2017), sotto l'ipotesi che valga la cosiddetta Congettura di Elliott–Halberstam, permettono di dimostrare che esistono infinite coppie di numeri primi che distano fra loro meno di $6$. Dunque, nonostante gli impressionanti progressi degli ultimi quattro anni, la dimostrazione della Congettura dei Primi Gemelli sembra al momento ancora fuori portata.

Yitan Zhang (fonte Wikipedia)

Riferimenti:

[Zhang14] Y. Zhang: Bounded gaps between primes, Annals of Mathematics 179 (3): (2014), 1121–1174.
[Polymath 2014a] New equidistribution estimates of Zhang type, Algebra & Number Theory 8, 2067–2199 (2014)
[Polymath2014b] Variants of the Selberg sieve, and bounded intervals containing many primes, Research in the Mathematical Sciences, Springer (2014)

Inter-universal Teichmüller theory (ovvero, un mistero matematico)

The product of mathematics is clarity and understanding.
(W. Thurston)

Nel 2012, il matematico giapponese S. Mochizuki, dell'Università di Kyoto, pubblicò sulla sua pagina web una serie di quattro preprint nei quali introduceva una serie di nuove costruzioni in geometria aritmetica, da lui chiamate Inter-Universal Teichmüller theory (IUT), o Arithmetic Deformation Theory.

Secondo l'autore, la teoria è una generalizzazione della Geometria Anabeliana, che a sua volta è una delle tre grandi estensioni della Class Field Theory (le altre due sono la Teoria di Langlands e la Higher Class Field Theory). La IUT non usa la teoria analitica dei numeri, ma la sostituisce con la teoria delle funzioni Theta étale (anch'essa sviluppata da Mochizuchi), e lavora con l'intero gruppo di Galois assoluto e i suoi completamenti profiniti.

L'attenzione rivolta dalla comunità matematica alla IUT fu subito elevatissima, in quanto Mochizuchi forniva nei suoi lavori, come applicazione di essa, una dimostrazione della congettura abc, uno dei più importanti problemi aperti in Geometria Diofantea, che a sua volta implica una dimostrazione dell'Ultimo Teorema di Fermat indipendente da quella di Wiles.
Sembrava essere di fronte ad un'altra situazione in cui un singolo individuo costruisce una nuova e potente teoria in grado di risolvere un famoso problema aperto, in modo simile a quanto fatto da Wiles con la sua dimostrazione di FLT, da Perelman con quella della Congettura di Poincaré e da Y. Zhang per i suoi lavori sui primi a distanza limitata.

Tuttavia, ci si rese subito conto che il paragone non reggeva. I lavori di Wiles, Perelman, Zhang, per quanto tecnicamente molto complicati, erano comunque basati su Matematica ben nota agli esperti, e vennero subito studiati in dettaglio e alla fine accettati come corretti. In relativamente poco tempo, altri matematici li generalizzarono e ne semplificarono alcune parti, scrivendo dei survey e rendendoli, almeno nelle loro linee generali, accessibili anche ai matematici non specialisti. Inoltre, sia Wiles che Zhang che Perelman (quest'ultimo, almeno all'inizio) tennero numerose conferenze e seminari in giro per il mondo per spiegare il significato dei loro risultati, disseminare le loro tecniche e soprattutto delucidare la strategia di fondo alla base della loro dimostrazione.

Nel caso di Mochizuki, la situazione appare ben diversa. Sin dall'inizio, leggendo i suoi preprint, gli esperti di teoria dei numeri si trovarono di fronte ad una giungla impenetrabile di nuove definizioni e concetti ("Hodge Theaters", "Frobenoids", "theta-links"), differente da tutto quanto avessero visto fino ad allora. Alcuni parlarono a tal proposito di "matematica aliena". La strategia di fondo della dimostrazione (complessivamente, 500 pagine densissime) rimaneva elusiva, e il rifiuto di Mochizuki a partecipare a qualsiasi conferenza fuori dal Giappone rendeva le cose ancora più difficili.

Il matematico russo I. Fesenko (Università di Nottingham) organizzò due grandi workshop sulla teoria, uno a Oxford (dicembre 2015) e uno a Kyoto (luglio 2016), ai quali parteciparono molti dei maggiori esperti in geometria diofantea. Entrambi gli incontri furono sostanzialmente un flop: a Oxford, Mochizuki non si presentò, ma si limitò a rispondere alle domande via Skype (si veda il resoconto di B. Conrad pubblicato in questo blog post). A Kyoto invece era presente, ma non riuscì tuttavia a spiegare in modo convincente l'idea alla base della sua nuova teoria.

Fesenko sostiene che oggi "almeno quattro matematici" hanno studiato a fondo la IUT, trovandola corretta; tuttavia, non è ben chiaro chi siano gli altri due (a parte Mochizuki e Fesenko stesso). Inoltre, è di pochi giorni fa la notizia che la "dimostrazione" di Moschizuki è stata accettata per la pubblicazione su Publications of the RIMS, di cui lo stesso Mochizuki è Editor in Chief. Questo non è necessariamente un segnale negativo, ma sicuramente è considerata una procedura inusuale e poco elegante.

A conti fatti, sembra che sia veramente troppo presto per dire che la congettura $abc$ è stata risolta.

S. Moshizuki (fonte: NewScientist)

La Congettura di Poincaré

 Les mathématiques sont l'art de donner le même nom à des choses différentes.
(H. Poincaré)

Ogni varietà compatta, senza bordo e semplicemente connessa di dimensione $3$ è omeomorfa alla sfera $S^3$.

Questo è l'enunciato di quello che fino a pochi anni fa era uno dei problemi aperti più famosi della Matematica. Esso è chiamato Congettura di Poincaré, in quanto venne formulata per la prima volta da H. Poincaré nel 1900, nei lavori che posero le fondamenta per le moderne branche della disciplina conosciute come Topologia Geometrica e Topologia Algebrica.

La versione originaria della congettura era che i numeri di Betti (cioè, le dimensioni dei gruppi di omologia razionali) di una $3$-varietà chiusa fossero sufficienti per stabilire se essa sia omeomorfa alla $3$-sfera. Tuttavia, lo stesso Poincaré produsse nel 1904 un controesempio, esibendo una $3$-varietà compatta e senza bordo che ha lo stesso tipo di omologia di S^3 ma non è ad essa omeomorfa. Questo fu il primo esempio di quelle che oggi sono note come homology spheres.

Si può dimostrare che l'homology sphere di Poincaré ha gruppo fondamentale di ordine $120$, mentre (come è ben noto) $S^3$ è semplicemente connessa. Dunque era naturale chiedersi se imporre la semplice connessione fosse invece sufficiente a garantire l'esistenza di un omeomorfismo di una $3$-varietà chiusa con S^3, e da allora questa è stata la forma standard della congettura (anche se in realtà Poincaré non la enunciò mai esplicitamente come congettura, ma la pose solo come domanda).

H. Poincaré (fonte Wikipedia)

La congettura di Poincaré rimase per un po' di tempo nell'oblio, finché nel 1930 il topologo J. H. C. Whitehead ne pubblicò una dimostrazione, in seguito ritrattata perché errata. Molti altri tentativi di dimostrazione si susseguirono negli anni, spesso da parte di matematici di grande fama (Bing, Haken, Moise, Papakyriakopoulos) e tutti si rivelarono prima o poi fallaci, spesso per motivi molto sottili. Ciò contribuì a rafforzare la fama della Congettura di Poincaré come problema enormemente difficile. Una rassegna delle dimostrazioni sbagliate (e una spiegazione degli errori) può trovarsi nel libro di G. Szpiro Poincaré's Prize.

La svolta arrivò nel 1982, quando R. S. Hamilton propose una possibile dimostrazione della Congettura che usava tecniche di Geometria Riemanniana, invece che di Topologia Algebrica. L'idea era quella di mettere sulla $3$-varietà chiusa e semplicemente connessa una metrica Riemanniana e di farla evolvere sotto l'azione del flusso di Ricci, sperando di trasformarla in una metrica a curvatura costante: questo sarebbe stato sufficiente a concludere, in quanto è noto che una 3-varietà chiusa che possiede una tale metrica deve essere omeomorfa a $S^3$.

Hamilton non fu tuttavia in grado di portare a compimento il suo programma, a causa del fatto che durante l'evoluzione sotto il flusso di Ricci la metrica acquista singolarità, che egli non era in grado di trattare se non in casi particolari. Le necessarie (e spettacolari) tecniche di "surgery" necessarie per ovviare al problema vennero introdotte da G. Perelman nel 2002, in tre e-prints su arXiv che sono rimasti nella storia. In essi, Perelman fu in grado non solo di completare il programma di Hamilton per la congettura di Poincaré, ma dimostrò una congettura molto più generale sulla geometria delle 3-varietà nota come Congettura di Geometrizzazione di Thurston.

Nel 2006 a Perelman venne assegnata la medaglia Fields per i suoi risultati (che egli non volle mai pubblicare su una rivista tradizionale), ma il matematico russo non si presentò alla cerimonia di premiazione a Madrid e rifiutò il premio. Analogo rifiuto venne opposto al premio da un milione di dollari che il Clay Institute offriva a chi avesse risolto uno dei Problemi del Millennio (la Congettura di Poincaré era fra questi).

Non si sa bene cosa di cosa si occupi Perelman in questo momento. Per motivi non ancora chiari (ma estranei all'argomento di questo post) egli ha lasciato nel 2005 il suo lavoro allo Steklov Institute, e da allora ha completamente smesso di frequentare la comunità matematica.

G. Perelman (fonte Wikipedia)

La Congettura di Collatz

La Congettura di Collatz (o Congettura $3n+1$), proposta da L. Collatz nel 1937, è uno dei più famosi problemi aperti in Matematica e può essere enunciata in modo straordinariamente semplice come segue.

Si parta da un qualsiasi intero positivo $a_0=n$; dopodiché, se esso è pari si definisce $a_1= n/2$ mentre se è dispari si definisce $a_1=3n+1$. Si applica poi lo stesso procedimento ad $a_1$ ottenendo $a_2$ e così via. La congettura afferma che, qualunque sia l'intero $n$ da cui si parte, la successione definita per ricorrenza in tal modo raggiunge l'intero $1$ dopo un numero finito di passi.

Ad esempio, partendo da $n=12$ si ha $$12, 6, 3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1,$$ mentre partendo da $n=19$ si ha $$19, 58, 29, 88, 44, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1.$$ Partendo da $n=27$ sono necessarie ben $111$ iterazioni, e la successione ricorsiva raggiunge $9232$ prima di scendere fino ad $1$:
\begin{equation*}
\begin{split}
& 27, 82, 41, 124, 62, 31, 94, 47, 142, 71, \\
& 214, 107, 322, 161, 484, 242, 121, 364, 182, 91, \\
& 274, 137, 412, 206, 103, 310, 155, 466, 233, 700, \\
& 350, 175, 526, 263, 790, 395, 1186, 593, 1780, 890, \\
& 445, 1336, 668, 334, 167, 502, 251, 754, 377, 1132, \\
& 566, 283, 850, 425, 1276, 638, 319, 958, 479, 1438, \\
& 719, 2158, 1079, 3238, 1619, 4858, 2429, 7288, 3644, \\
& 1822, 911, 2734, 1367, 4102, 2051, 6154, 3077, 9232, 4616,  \\
& 2308, 1154, 577, 1732, 866, 433, 1300, 650, 325, 976, 488, \\
& 244, 122, 61, 184, 92, 46, 23, 70, 35, 106, \\
& 53, 160, 80, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1.
\end{split}
\end{equation*} In generale, il numero di iterazioni necessarie affinché partendo dall'intero positivo $n$ si raggiunga $1$ viene chiamato il "tempo d'arresto di $n$". Pertanto la congettura può essere riformulata dicendo che ogni intero positivo ha un tempo d'arresto finito. I tempi d'arresto dei primi numeri naturali sono tabulati nella successione OEIS A006577:
\begin{equation*}
\begin{split}
& 0, 1, 7, 2, 5, 8, 16, 3, 19, 6, 14, 9, 9, 17, 17, 4, 12, \\
&20, 20, 7, 7, 15, 15, 10, 23, 10, 111, 18, 18, 18, 106, \\
& 5, 26, 13, 13, 21, 21, 21, 34, 8, 109, 8, 29, 16, 16, \ldots
\end{split}
\end{equation*} Nonostante essa possa essere facilmente spiegata a qualsiasi bambino delle scuole elementari, la Congettura di Collatz risulta essere un problema straordinariamente arduo, tant'è che lo stesso P. Erdos affermò che "la Matematica attuale, semplicemente, non è ancora pronta per esso".

Le verifiche sperimentali con l'uso del calcolatore mostrano che essa è vera fino a $n=86 \times 2^{70}$; ovviamente, questo non basta per dedurre che essa è vera per ogni valore di $n$, dato che potrebbe esistere un controesempio il cui ordine di grandezza è inaccessibile agli attuali metodi computazionali.

Un intero $n$ potrebbe fornire un controesempio alla congettura di Collatz in due circostanze: se la successione per ricorrenza definita a partire da $n$ diverge all'infinito, oppure se essa entra in un ciclo diverso dal ciclo banale $(4, \, 2, \, 1)$. Come detto, al momento non si sa se ciò possa accadere; tuttavia, grazie al lavoro di vari autori (Steiner, Simons, de Weger, ...) è stato possibile escludere rigorosamente l'esistenza di cicli non banali di lunghezza fino a $68$.

Inoltre, si sa che per "molti" interi positivi l'iterazione effettivamente termina ad $1$. Più precisamente, Krasikov e Lagarias hanno dimostrato nel 2003 che il numero di interi nell'intervallo $[1, \, x]$ aventi tempo d'arresto finito è almeno proporzionale a $x^{0.84}$.

Serie divergenti: la serie di Grandi

Les séries divergentes sont en général quelque chose de bien fatal et c’est une honte qu’on ose y fonder aucune démonstration.
(N. H. Abel)

Una serie numerica si dice "divergente" se non è convergente, ossia se la successione delle sue somme parziali non ammette limite finito. Come si evince dalla frase di N. H. Abel citata sopra (tratta da una lettera del 1826 al suo insegnante Holmboe) i matematici del passato vedevano le serie divergenti come oggetti infidi e pericolosi che era saggio evitare, in quanto fonte infinita di contraddizioni e paradossi.

Un esempio classico è la ben nota Serie di Grandi $$1-1+1-1+1-1+1-1 \ldots,$$ la cui successione delle somme parziali è $$1, \, 0, \, 1, \, 0, \, 1, \, 0, \, 1, \ldots$$ e la cui "somma" generò infinite (e spesso accese) controversie nel periodo precedente la sistematizzazione rigorosa dell'Analisi Matematica.

Infatti, alcuni raggruppavano la serie nel modo seguente: $$(1-1)+(1-1)+(1-1)+ \ldots$$ ottenendo come risultato $0$, altri preferivano invece scrivere $$1+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+ \ldots$$ ottendendo come risultato $1$.

Nel suo libro "Quadratura circula et hyperbolae per infinitas hyperbolas geometrice exhibita" (1703), nel quale la serie venne considerata per la prima volta in modo sistematico, Grandi interpretò questi due risultati contraddittori in chiave religiosa, sostenendo che, se da $0$ si può ottenere $1$, allora anche la creazione del mondo dal nulla è perfettamente plausibile. Più prosaicamente, aveva scoperto che la proprietà associativa dell'addizione non si estende in modo naturale alle somme infinite.

Altri ancora chiamavano $S$ il valore della somma, e scrivevano $$1-S = 1-(1-1+1-1+ \ldots) = S,$$ottenendo in tal modo il valore $S=1/2$.

I sostenitori della risposta $1/2$ osservavano che la serie di Grandi si ottiene ponendo $x= -1$ nella somma della serie geometrica $$\frac{1}{(1-x)}= 1+x+x^2+x^3+x^4+ \ldots$$ Siccome la relazione precedente vale per ogni $x$ con $|x|<1$, per "continuità" essi deducevano che doveva valere anche per $x= -1$, valore per il quale il membro di sinistra è ancora definito. Lo stesso Leibniz commise questo errore, il che mostra quanto potessero essere nebulosi, anche per le migliori menti del periodo, concetti considerati oggi standard come il "raggio di convergenza" e il "prolungamento analitico" di una serie di potenze.

La risposta $1/2$ venne giustificata euristicamente (anche dalla stesso Grandi) osservando che, se un bene materiale viene passato fra due eredi ad intervalli regolari di tempo, allora ciascuno dei due può dire di possederne la metà. Di nuovo, Grandi interpretò la cosa in termini di creazione del cosmo dal nulla (si vede che era un soggetto che gli stava a cuore).

Come osservato opportunamente da G. Hardy, le controversie sulla somma della Serie di Grandi (e su quella delle serie divergenti in generale) terminarono nel momento in cui i matematici smisero di chiedersi "cosa fosse" la somma della serie, e incominciarono a domandarsi "come definirla".  A tale scopo, vennero sviluppati vari metodi per dare un significato al concetto di "somma di una serie divergente", e fu finalmente chiaro che metodi di sommazione differenti possono dare valori differenti.

Siccome le somme parziali della Serie di Grandi sono alternativamente 0 e 1, la serie non ha somma nel senso usuale del termine. Tuttavia, si può ad esempio considerare la somma di Cesàro (1890), nella quale al posto della successione delle somme parziali usuali si prende quella delle loro medie aritmetiche.

Per la serie di Grandi, tali medie aritmetiche sono $$1, \,1/2, \,2/3, \,2/4, \,3/5, \,3/6,\, 4/7, \,4/8, \ldots$$ e questa successione converge ad $1/2$. Dunque la somma di Cesàro della serie di Grandi (o, equivalentemente, della successione $1, \, 0, \,1, \, 0,\, 1,\, 0, \ldots$) è effettivamente $1/2$.

D'altra parte, anche il metodo di raggruppamento dei termini, che fornisce 0 e 1 come "valori", ha un'interpretazione moderna e corretta in termini di "Eilenberg–Mazur swindle", una costruzione usata in Algebra e Topologia Geometrica.

I teologi à la Grandi possono tirare un sospiro di sollievo.