Snobbishness

It is the snobbishness of the young to suppose that a theorem is trivial because the proof is trivial.

Attributed to John Henry Constantine Whitehead (1904-1960).

I numeri tribonacci

La successione definita per ricorrenza da $$T_n=T_{n-1}+T_{n-2}+T_{n-3},$$

in cui ogni termine è la somma dei tre precedenti, è detta successione dei numeri tribonacci. 

Ponendo $T_1=T_2=0, \, T_3=1$, i primi termini sono $$0, \, 0, \, 1, \, 1, \, 2, \, 4, \, 7, \, 13, \, 24, \, 44, \, 81, \, 149, \, 274, \, 504, \, 927, \, 1705, \, 3136, \ldots$$

vedi [1].  Il nome "tribonacci" (chiaramente ispirato da "Fibonacci") fu suggerito da Mark Feinberg , che studiò la successione in [2], dimostrando che il rapporto $T_n/T_{n-1}$ converge a $$\frac{\sqrt[3]{17+3\sqrt{33}} - \sqrt[3]{-17+3\sqrt{33}} - 1}{3}=0.5436890126 \ldots,$$ l'unica radice reale dell'equazione $x^3+x^2+x-1=0$. 

La brillante carriera matematica di Feinberg, che all'epoca aveva appena 14 anni, fu purtroppo interrotta quattro anni dopo da un tragico incidente in motocicletta.

In modo analogo è possibile definire i numeri tetranacci, pentanacci e così via; il lettore interessato può trovare maggiori informazioni in [3].

Riferimenti.

[1] https://oeis.org/A000073

[2] M. Feinberg: Fibonacci-Tribonacci, Fibonacci Quarterly 1, 71–74 (1963). 

[3] https://en.wikipedia.org/wiki/Generalizations_of_Fibonacci_numbers

Domino e scacchiere

Consideriamo una scacchiera quadrata $8 \times 8$. Se eliminiamo due caselle dello stesso colore, allora un semplice argomento di parità mostra che non è possibile coprire la parte rimasta con pedine del domino: basta infatti osservare che ogni pedina copre una casella bianca e una nera, mentre la scacchiera mutilata ha $30$ caselle di un colore e $32$ dell'altro.

Cosa accade se eliminiamo due caselle di colore diverso? La risposta è che possiamo sempre coprire la parte rimanente con pedine del domino, qualunque siano le caselle rimosse.

Una splendida "dimostrazione senza parole" è quella illustrata in figura e tratta da [1, p. 67]: si supponga che A, B siano le caselle rimosse e si dispongano le pedine lungo la serpentina delimitata dalle linee nere. 

Domanda: esiste una dimostrazione di questo fatto che non utilizzi la figura?

Riferimenti.

[1] R. Honsberger: Mathematical Gems 1, Dolciani Mathematical Expositions 1, 1974. 

The Feynman algorithm for problem solving

1. Write down the problem.
2. Think real hard.
3. Write down the solution.

Attributed to Murray Gell-Mann.

Source: http://wiki.c2.com/?FeynmanAlgorithm

Il survival bias

Il survival bias è un errore logico che si commette nel momento in cui, esaminando i dati riguardanti un determinato processo di selezione (in senso ampio) ci si concentra su quelli riguardanti persone o cose che hanno superato il processo, trascurando l'analisi dei casi di insuccesso.

Tale errore può essere notato di frequente nelle discussioni sui social network riguardo la pericolosità di una certa malattia (come il morbillo o l'influenza), ritenuta dalla maggior parte dei commentatori innocua in quanto da loro superata senza danni rilevanti. Il problema sta, evidentemente, nel fatto che coloro che sono purtroppo deceduti a causa di essa non hanno la possibilità di contribuire con la loro voce al dibattito. 

Il survival bias, a parte il suo intrinseco interesse in quanto fallacia logica, ha conseguenze potenzialmente molto dannose in ambito scolastico o accademico, sia per quanto riguarda il processo di formazione che quello di reclutamento. Esempi tipici sono i seguenti.

• Una certa scuola/università X annovera, fra i suoi diplomati/laureati, un alto numero di individui che raggiungono posizioni di prestigio in ambito lavorativo. Pertanto, si sarebbe tentati di dedurre che X è un'istituzione di eccellenza. Tuttavia, questa deduzione si basa esclusivamente sull'analisi delle carriere di coloro che hanno avuto successo, ignorando quelle di coloro che hanno fallito. Altre spiegazioni sono in realtà possibili: magari X è una istituzione molto numerosa, e quindi statisticamente ci saranno parecchi studenti brillanti; oppure è una istituzione molto costosa, alla quale riescono ad accedere solo studenti socialmente privilegiati, e quindi aventi già in partenza migliori possibilità di successo. Nulla si può concludere senza analizzare le carriere di tutti gli studenti, compresi coloro che non sono riusciti a diplomarsi/laurearsi.
• Una certa branca Y della disciplina X ha molto più successo delle altre, e coloro che la studiano ricoprono posizioni di prestigio in ambito accademico, e hanno a disposizione fondi di ricerca e posti da bandire. Si sarebbe tentati di concludere che Y è, fra tutte, la branca di X scientificamente più rilevante e meritevole di essere finanziata e studiata ma, di nuovo, questa deduzione non tiene conto di coloro che studiano una branca differente Z, magari ugualmente valida ma che non riesce ad emergere in quanto marginalizzata dallo strapotere di Y. Di fatto, giudicare Y migliore di Z solo perché è mainstream e ha più visibilità, senza entrare nel merito dei risultati raggiunti, può alla lunga appiattire pericolosamente il dibattito scientifico nell'ambito della disciplina X.

Un aneddoto, molto citato in Ricerca Operativa, che mostra come il survivor bias possa portare a deduzioni apparentemente ineccepibili, ma in realtà totalmente errate, è quello legato alla figura. Si tratta di un aereo statunitense della Seconda Guerra Mondiale, dove i segni in rosso indicano in quali punti la fusoliera e le ali risultavano danneggiate dall'artiglieria nemica quando l'aereo rientrava alla base per riparazioni. 

Come proteggere maggiormente gli aerei? Ingenuamente, si sarebbe tentati di rafforzare le zone dove c'è maggiore concentrazione di punti rossi; tuttavia, come fece notare il gruppo di ricerca guidato dal matematico Abraham Wald, la strategia ottimale è fare esattamente l'opposto. 

Infatti, gli aerei colpiti nelle zone senza punti rossi, al contrario degli altri, non erano riusciti a rientrare, in quanto un danno in quelle zone era troppo grave e causava l'abbattimento del velivolo. Paradossalmente, le aree rosse erano addirittura quelle meno problematiche, dato che un areo colpito solo lì aveva buone possibilità di riportare il pilota alla base.

La dimostrazione di Apostol dell'irrazionalità di $\sqrt{2}$

Tutti conoscono la classica dimostrazione dell'irrazionalità di $\sqrt{2}$ basata sul principio della fattorizzazione unica degli interi. 

Meno nota è invece la seguente dimostrazione geometrica, che procede per assurdo tramite un argomento di discesa infinita. In [1], tale dimostrazione è attribuita a Tom M. Apostol.

Si consideri un triangolo rettangolo isoscele come in figura, e si tracci la circonferenza di centro il vertice in alto e raggio il cateto verticale. Allora i tre segmenti marcati con doppio trattino hanno eguale lunghezza (si noti che due di essi sono segmenti di tangente condotti dallo stesso punto alla circonferenza), in particolare il triangolo piccolo è anche esso rettangolo isoscele.

Se il triangolo di partenza avesse tutti e tre i lati di misura intera, lo stesso sarebbe vero per il triangolo piccolo, in quanto sia il suo cateto che la sua ipotenusa sarebbero differenza di due segmenti avente misura intera.

Possiamo ora ripetere il procedimento per il triangolo piccolo e così via. Considerando le ipotenuse (o i cateti) dei triangoli così costruiti, otteniamo una successione strettamente decrescente e infinita di interi positivi, contraddizione.

Riferimenti

[1] Answer by Hans-Peter Stricker to MO8846, see 
https://mathoverflow.net/questions/8846/proofs-without-words

A vintage Möbius strip

Q: Why did the chicken cross the Möbius strip?
A: To get to the same side!
(old math joke)

In 1865, August Ferdinand Möbius published his paper "Über die Bestimmung des Inhaltes eines Polyëders" ("On the determination of the interior of some Polyhedra"), in which he introduced the one-sided surface that nowadays is called, after him, "Möbius strip".

In the picture, we can see the description of the surface originally given by Möbius: it is the usual identification space of the rectangle that one studies in the first Topology course.

References

A. F. Möbius: Über die Bestimmung des Inhaltes eines Polyëders, Berichte über die Verhandlungen der Königlich Sächsischen Gesellschaft der Wissenschaften, Mathematisch-physikalische Klasse, Bd. 17, p. 31-68, 1865.

http://sites.mathdoc.fr/cgi-bin/oeitem?id=OE_MOBIUS__2_473_0