Souvenirs d'apprendissage

Come fare appassionare i giovani alla Matematica, materia che ha la fama (e non completamente a torto) di essere ostica, difficile? Si tratta chiaramente di una domanda senza una risposta univoca, dato che il talento matematico è con ogni probabilità una combinazione di abilità innata ed educazione ricevuta.

Molti matematici di successo hanno provato a spiegare, nella loro autobiografia scientifica, il primo approccio avuto con la materia. Si possono ricordare qui "I want to be a mathematician" di P. Halmos, "Ricordi d'apprendistato" di A. Weil, "Avventure di un matematico" di S. Ulam, "Il teorema vivente" di C. Villani, "Amore e matematica" di E. Frenkel.

Dato l'interesse del loro contenuto, ciascuno di questi libri meriterebbe un post a parte. In ognuno di essi, tuttavia, è presente ad un certo punto un episodio rivelatore, un'epifania riguardo la bellezza e potenza della Matematica, spesso indotta da un docente o da una lettura. Nel libro di Frenkel, ad esempio, l'autore narra della propria frustrazione nel cercare di capire da adolescente la teoria dell'"ottuplice via" di M. Gell-Mann (cioè, la cromodinamica quantistica) sui libri di fisica, e della gioia e sorpresa che provò il giorno in cui si rese conto (grazie ad un libro prestatogli da un professore di Matematica amico di suo padre) che tutto derivava in modo chiaro ed elegante dalla teoria delle rappresentazioni del gruppo di Lie $SU(3)$.

Personalmente, non ricordo di essere stato indirizzato verso i miei studi di Matematica da qualcuno. Di fatto, non trovavo entusiasmante nessuno dei miei professori di scuola media o superiore, e nessuno nella mia famiglia era particolarmente interessato alla disciplina. Tuttavia, nella libreria di mio zio, a casa di mia nonna materna, c'era questo libro "Enigmi e Giochi Matematici" di M. Gardner (solo il Volume 4, chissà perché) e per qualche motivo che ora non saprei dire cominciai a leggerlo, passandovi sopra ore intere. Potevo avere 11-12 anni e, per dirla con i Massimo Volume, "penso che in quel periodo la mia vita fosse tutta lì".

C'erano articoli sul paradosso dell'impiccagione imprevedibile, sul numero e, sui sezionamenti geometrici, sulle spirali, su Flatland, sulla curve ad ampiezza costante, sui giochi d'azzardo, sulle figure auto-similari, di cui ovviamente capivo ben poco. Ma erano scritti in un linguaggio chiaro e coinvolgente, che ammaliava il lettore e non lo lasciava più, lasciandogli intravvedere chissà quali territori meravigliosi da esplorare.

Per molto tempo fui anche convinto che Gardner fosse un matematico professionista, all'epoca non c'era Wikipedia a fornire ogni biografia con un click. Solo molti anni dopo, e con mia grande sorpresa, scoprì che era un abilissimo giornalista scientifico e divulgatore, con una preparazione non specialistica nella materia.

M. Gardner (fonte Wikipedia)

$n$-ple diofantee

Una $n$-pla diofantea è un insieme di $n$ numeri naturali tali che il prodotto di due distinti di essi più $1$ sia un quadrato. La prima quadrupla diofantea $\{1, \, 3,\, 8,\, 120\}$ venne trovata da Fermat. Infatti, abbiamo
\begin{equation*}
\begin{split}
1 \times 3+1 &= 2^2, \quad 1\times 8+1=3^2, \quad 1 \times 120+1 = 11^2, \\
3 \times 8+1 & = 5^2,  \quad 3 \times 120+1= 19^2, \quad 8 \times 120+1 = 31^2.
\end{split}
\end{equation*} La domanda che sorge naturale è quanto lunga possa essere una tale $n$-pla. È noto che vi sono famiglie infinite di quadruple diofantee, alcune delle quali possono essere parametrizzate usando polinomi oppure numeri di Fibonacci. Ad esempio, per ogni numero naturale $k$ si possono considerare le quadruple
\begin{equation*}
\begin{split}
& \{k, \; k+2, \; 4k+4, \; 16k^3+48k^2+44k+12\}, \\
& \{F_{k}, \; F_{k+2}, \; F_{k+4}, \; 4F_{2k+1}F_{2k+2}F_{2k+3} \}.
\end{split}
\end{equation*} Si sa inoltre che ogni tripla diofantea $\{a, \, b, \, c\}$ può essere estesa ad una quadrupla diofantea $\{a, \, b, \, c, \, d\}$. Infatti, ponendo $$ab+1=r^2, \quad ac+1=s^2, \quad bc+1=t^2,$$ basta prendere $d=a+b+c+2abc+2rst$. Non è noto al momento se tutte le quadruple diofantee siano di questa forma.

Un altro problema aperto è l'esistenza di quintuple diofantee. Nel 1969 Baker e Davenport dimostrarono che la quadrupla di Fermat $\{1, \, 3, \, 8, \, 120\}$ non può essere estesa ad una quintupla, e nel 2004 è stato dimostrato che non esistono sestuple diofantee, e che esistono al più un numero finito di quintuple.

L'idea per dimostrare la finitezza delle quintuple diofantee è di ricondursi ad un sistema di due equazioni di Pell, la cui soluzione è ottenuta per mezzo di frazioni continue. Applicando le stime di Baker sui logaritmi di numeri algebrici e alcuni risultati di Petho sui sistemi di congruenze si ottiene un upper bound per il numero delle soluzioni comuni alle due equazioni, e dunque per il numero delle quintuple.

Una generalizzazione delle $n$-ple diofantee è data dalla $n$-ple diofantee razionali, in cui i numeri, invece di essere interi, sono razionali. La prima quadrupla razionale venne considerata dallo stesso Diofanto: $$\{1/16, \, 33/16, \, 17/4, \, 105/16\},$$ e successivamente Eulero trovò famiglie infinite di esse. Circa due secoli dopo, Gibbs (1999) fornì il primo esempio di sestupla razionale $$\{11/192, \, 35/192, \, 155/27, \, 512/27, \, 1235/48, \, 180873/16 \}.$$ Nel 2016, A. Dujella e i suoi collaboratori costruirono famiglie infinite di sestuple razionali, mentre il problema dell'esistenza di una $7$-pla razionale è ancora aperto.

Si rimanda il lettore all'articolo di Dujella citato in bibliografia per maggiori dettagli sull'argomento, e in particolare su come il problema di determinare $n$-ple diofantee razionali possa essere ricondotto ad un problema che riguarda la determinazione di punti razionali su curve ellittiche.

Riferimenti:

A. Dujella: What is...a Diophantine m-tuple? Notices AMS 63 (7), 772–774 (2016)

Quadrati magici

Pochi temi di matematica ricreativa sono noti nella cultura popolare al pari dei quadrati magici. Come tutti sanno, un quadrato magico di ordine $n$ consiste nel disporre i numeri da $1$ a $n^2$ in una griglia quadrata $n \times n$, in modo tale che la somma dei numeri su ogni riga, colonna e diagonale del quadrato sia costante. Un semplice calcolo mostra che tale costante, detta costante magica del quadrato, è $(n^3+n)/2$.

Esistono quadrati magici di ogni ordine maggiore di $2$. Inoltre, dato un quadrato magico, è possibile crearne altri $7$ facendo agire su di esso il gruppo di simmetrie del quadrato, cioè il gruppo diedrale di ordine $8$, e due quadrati magici ottenuti in tal modo (cioè tali che si possa passare dall'uno all'altro per mezzo di una successione finita di rotazioni e riflessioni) sono considerati equivalenti.

Il numero di quadrati magici di ordine n, escludendo rotazioni e riflessioni, cresce rapidamente con l'ordine: per $n = 3, \, 4, \, 5$ si hanno $1, \, 880, \, 275305224$ quadrati magici distinti. Il numero preciso di quadrati magici di ordine 6 non è noto, ma è stimato essere dell'ordine di $1.8 \times 10^{19}$.

Lo studio dei quadrati magici si perde nella notte dei tempi. L'unico quadrato magico di ordine $3$ era già noto ai cinesi nel $600$ A.C., e da essi chiamato lo-shu. Esso è legato a molte leggende, ed è tradizionalmente usato come amuleto. Analogamente, quadrati magici di ordine 4 erano già noti ad arabi e indiani (uno di essi è ad esempio raffigurato nel tempio di Parshvanath) ma la rappresentazione più famosa di un tale quadrato, almeno nell'ambito dell'arte occidentale, è probabilmente quella contenuta nell'incisione Melencholia I di A. Dürer (1514).

Melencholia I

Si tratta di un'opera dal ricco simbolismo, mai completamente spiegato, anche se la maggior parte degli storici dell'arte vede in essa l'allegoria dello stato d'animo depresso del pensatore incapace di passare all'azione. Ciò è in accordo con gli strumenti scientifici e di carpenteria che giacciono inutilizzati ai piedi della figura meditabonda, mentre una sfera e un tetraedro (curiosamente troncato) sembrano suggerire che ogni applicazione pratica si fonda su una base matematica.

Il quadrato magico rappresentato in Melancholia I ha una simmetria aggiuntiva, in quanto ogni numero sommato al numero simmetricamente opposto rispetto al centro dà $17$. Un metodo incredibilmente semplice per scrivere un quadrato magico di questo tipo è il seguente: si scrivano in ordine i numeri da $1$ a $16$ in una griglia quadrata, e poi si invertano le due diagonali rispetto al centro. Il quadrato di Dürer è costruito in questo modo, con in più lo scambio delle due colonne intermedie in modo che al centro del lato in basso del quadrato si legga $1514$, l'anno in cui l'incisione fu realizzata.

Un tipo di quadrato magico ancora più stupefacente di quello simmetrico è il quadrato magico "diabolico", ("panmagic square", in inglese) ossia quello che è magico anche rispetto alle "diagonali spezzate", cioè le diagonali "ricostruibili" accostando due quadrati identici uno rispetto all'altro: per dare un'idea, nel caso di ordine $4$ le celle $2$, $12$, $15$, $5$ formano una diagonale spezzata. I quadrati magici diabolici esistono per tutti i valori di $n$ superiori a $3$, salvo che per quelli divisibili per $2$ ma non per $4$. Ad esempio, non ve n'è nessuno di ordine $6$.

Il numero di quadrati magici diabolici di un dato ordine è molto più basso di quello complessivo di tutti i quadrati magici: ad esempio, a meno di rotazioni e riflessioni vi sono solo $48$ quadrati diabolici di ordine $4$ e $3600$ di ordine $5$ (sequenza OEIS A027567).

Riferimenti:

[1] M.Gardner: Enigmi e Giochi Matematici, vol. 2
[2] https://en.wikipedia.org/wiki/Magic_square

Geometria tropicale

La cosiddetta Geometria Tropicale è una branca della geometria relativamente recente, così chiamata in nome dello scienziato brasiliano Imra Simpson, che lavorò a San Paolo e cominciò a per primo a lavorare sull'argomento, motivato da problemi di Informatica.

Lo scopo principale della Geometria Tropicale è quello di trasformare problemi di Geometria Algebrica in problemi di Geometria Combinatoria, attraverso un provedimento detto "tropicalizzazione" che associa ad una varietà algebrica definita su $\mathbb{C}$ un complesso poliedrale reale, che codifica alcune (ma non tutte) le proprietà della varietà complessa di partenza.

Più precisamente, si può pensare alla Geometria Tropicale come ad una Geometria Algebrica sul cosiddetto "semi-anello tropicale", che è definito come l'insieme $\mathbb{R} \cup \{\infty\}$ con le due operazioni seguenti:
\begin{equation*}
\begin{split}
a \oplus b & = \min(a, \, b)\\
a \otimes b & = a + b.
\end{split}
\end{equation*} In tal modo si possono introdurre i corrispettivi tropicali di molte costruzioni classiche, e parlare di polinomi tropicali, ipersuperfici tropicali e varietà tropicali. Ad esempio, si verifica che il "luogo di zeri" di un polinomio tropicale è un oggetto lineare a tratti, che ha la struttura di un complesso poliedrale su $\mathbb{R}$.

Si dimostra inoltre che non tutti i complessi poliedrali su $\mathbb{R}$ si possono ottenere in tal modo, ma solo quelli che soddisfano alcune condizioni aggiuntive: infatti, le varietà tropicali sono esattamente i complessi poliedrali pesati, interi e bilanciati.

Il vantaggio della Geometria Tropicale è che si possono ridurre difficili problemi geometrico-algebrici a problemi di tipo combinatorio, che (almeno in linea di principio) possono essere risolti per mezzo di un calcolatore. Uno dei primi importanti risultati in Geometria Algebrica ottenuto con metodi tropicali è il Teorema di Mikhalkin (2005) che permette di calcolare il numero di curve algebriche di grado $d$ e genere $g$ passanti per $3d-1+g$ punti generali del piano contando (con opportuna molteplicità) il numero di corrispondenti curve tropicali.

Un altro (equivalente) approccio alla Geometria Tropicale è quello sviluppato da Kapranov, e che utilizza la teoria delle valutazioni. L'esempio da avere in mente è quello di una varietà algebrica $X$ contenuta nel toro $n$-dimensionale $(\mathbb{C}^*)^n$, e di cui si considera l'immagine $X_t$ tramite la mappa logaritmica
\begin{equation*}
\begin{split}
 \mathrm{Log}_t: (\mathbb{C}^*)^n & \to  \mathbb{R}^n \\
 (z_1, \ldots, z_n) & \mapsto  (\log_t(|z1|),...,\log_t(|zn|)).
\end{split}
\end{equation*} Il sottoinsieme $X_t$ di $\mathbb{R}^n$ viene chiamato un'ameba (il nome deriva dal fatto che quando $n=2$ la sua forma è tipicamente quella di un oggetto dendroide). Passando al limite di Hausdorff delle amebe $X_t$ per $t→ = \infty$ si ottiene un complesso poliedrale reale.

Ameba associata al polinomio $3z^2+5zw+w^3+1$.

Questa costruzione può essere generalizzata prendendo al posto di $\mathbb{C}$ un qualsiasi campo $\mathbb{K}$ con una valutazione non-archimedea, e considerando sottovarietà $X$ di $(\mathbb{K}^*)^n$ date dal luogo di zeri di un sistema di polinomi di Laurent nelle coordinate $x_1, \ldots, x_n$. In questo modo è possibile parlare di tropicalizzazioni di varietà algebriche definite su $\mathbb{K}$, e utilizzare i metodi della Geometria Tropicale per studiare ad esempio problemi che nascono nella teoria degli spazi di Berkovich (una generalizzazione degli spazi analitici nel contesto dei campi non archimedei).

Riferimenti:

N. Katz:What is...Tropical Geometry? Notices AMS 64 (4), 2017.

Il 17-mo Problema di Hilbert

Consideriamo un polinomio $f(x_1, \ldots, x_n)$ a coefficienti reali in $n $ indeterminate, ossia un elemento dell'anello $\mathbb{R}[x_1, \ldots, x_n]$. Esso è detto "semi-definito positivo'' se $f(a_1, \ldots, a_n) \geq 0$ per ogni scelta di numeri reali $a_1, \ldots, a_n$.

Un esempio immediato di polinomio semi-definito positivo è un polinomio che si esprime come somma di quadrati di polinomi, ossia un polinomio $f$ della forma $$f=(f_1)^2+ \ldots +(f_k)^2.$$ È naturale chiedersi se questa sia la sola possibilità, e infatti tale domanda è (quasi) il contenuto del 17-mo problema presentato da Hilbert al Congresso Internazionale di Parigi.

(Hilbert, 1900): E' vero che ogni polinomio semi-definito positivo in $\mathbb{R}[x_1, \ldots, x_n]$ è somma di quadrati in $\mathbb{R}(x_1, \ldots, x_n)$?

Si noti che l'enunciato richiede che il polinomio sia somma di quadrati di funzioni razionali, e non, come sembrerebbe più naturale, di quadrati di polinomi. Il motivo è che, già nel 1888, Hilbert era stato in grado di dimostrare che, sostituendo il campo delle funzioni razionali $\mathbb{R}(x_1, \ldots, x_n)$ con l'anello polinomiale $\mathbb{R}[x_1, \ldots, x_n]$, la risposta al problema è necessariamente negativa. Tuttavia, la dimostrazione di Hilbert era puramente esistenziale, e non forniva alcun controesempio esplicito.

Il primo controesempio di tale tipo venne infatti fornito da Motzkin (e riconosciuto come tale da Taussky-Todd) più di 80 anni dopo:

(Motzkin, Taussky-Todd 1967): Il polinomio
$$1+x_1^2 x_2^4+ x_1^4 x_2^2-3x_1^2 x_2^2$$ è semi-definito positivo, ma non può essere scritto come somma di quadrati di polinomi in $\mathbb{R}[x_1, \, x_2]$.

Riguardo il 17-mo Problema di Hilbert, la questione è stata risolta in senso positivo da E. Artin:

(Artin, 1927): Ogni polinomio semi-definito positivo in $\mathbb{R}[x_1, \ldots, x_n]$ è somma di quadrati in $\mathbb{R}(x_1, \ldots, x_n)$.

La dimostrazione originale di Artin è basata sulla teoria dei campi ordinati da lui sviluppata insieme a Schreier. Successivamente, usando tecniche completamente differenti, Pfister fu in grado di dimostrare un risultato più forte che fornisce anche un limite superiore al numero di funzioni razionali necessarie per scrivere f come somma di quadrati:

(Pfister, 1967): Ogni polinomio semi-definito positivo in $\mathbb{R}[x_1, \ldots, x_n]$è somma di al più $2^n$ quadrati in $\mathbb{R}(x_1, \ldots, x_n)$.

Ci si può chiedere se il limite superiore di Pfister è ottimale, ossia se per ogni $n$ esiste un polinomio semi-definito positivo che non si può scrivere come somma di quadrati di $2^n-1$ funzioni razionali. Si sa che la risposta è affermativa quando $n=1$ (dato che $1+x_1^2$ non è un quadrato) e per $n=2$ (infatti, si dimostra che il polinomio di Motskin non è somma di tre quadrati in $\mathbb{R}[x_1, \, x_2]$).
Per $n \geq 3$, invece, il problema è completamente aperto.

Una chiara e dettagliata introduzione al 17-mo problema di Hilbert può trovarsi nell'ottimo survey di O. Benoist "Writing Positive Polynomials as Sums of (Few) Squares", che è stato fonte di ispirazione per questo post.