Occhi azzurri e occhi neri

Non sono un grande fan degli indovinelli logici, ma ogni tanto ne incontro qualcuno che stuzzica la mia curiosità.

In particolare, sono attratto da quelli nei quali vengono proposte due soluzioni, entrambe

apparentemente senza errori, che portano a conclusioni opposte. Trovare la fallacia in una di esse (o in entrambe) permette di analizzare in modo più approfondito alcuni modi di ragionare, la cui correttezza diamo in genere per scontata, e può fornire interessanti riflessioni di tipo epistemologico.

Uno di questo tipo nel quale mi sono imbattuto di recente è il seguente, del quale esistono diverse varianti e che chiamerò qui “Occhi azzurri e occhi neri”.

In una lontana isola vive una popolazione di 200 persone, 100 con gli occhi azzurri e 100 con gli occhi neri. Parlare del colore degli occhi è tabù nell’isola, per cui ognuno conosce il colore degli occhi dei restanti 199 abitanti, ma non quello dei suoi.  In più, se per qualche motivo uno scopre il colore dei propri occhi, la religione dell’isola (che tutti seguono alla lettera) lo costringe a commettere suicidio rituale a mezzogiorno del giorno dopo. Infine, tutti gli abitanti dell’isola sono estremamente logici, nel senso che ogni conclusione che può essere tratta logicamente da alcune premesse diventa immediatamente e automaticamente patrimonio della collettività.  Un giorno, un forestiero con gli occhi azzurri arriva sull’isola e vi resta qualche tempo. Andando via, pronuncia un discorso di ringraziamento di fronte all’intera tribù e, dimenticando il tabù che vi regna, esclama “Che strano vedere qui qualcuno con gli occhi azzurri come me!”

Questa gaffe del forestiero ha conseguenze? Se si, quali?

Soluzione 1. La gaffe non ha nessuna conseguenza. Infatti, ciascuno dei 200 abitanti poteva già vedere intorno a sé persone con gli occhi azzurri (100 o 99, a seconda del colore dei suoi occhi), dunque la frase pronunciata dallo straniero non aggiunge nulla al patrimonio di conoscenza di ciascuno.

 Soluzione 2. 100 giorni dopo la gaffe, tutti gli isolani con gli occhi azzurri commettono  suicidio rituale. Il ragionamento è il seguente. Passo 1. Se vi fosse un solo isolano con gli occhi azzurri, egli vedrebbe intorno a lui solo isolani con gli occhi neri. Dunque la gaffe del forestiero gli farebbe capire immediatamente il colore dei suoi occhi, e il giorno dopo si dovrebbe suicidare. Passo 2. Immaginiamo vi siano esattamente due isolani con gli occhi azzurri, diciamo X e Y. Allora X pensa: se io non ho gli occhi azzurri, segue subito che Y è l’unico con gli occhi azzurri, dunque domani commetterà suicidio (vedi Passo 1). Ovviamente, Y ragiona in modo analogo. Visto che il giorno dopo nessuno si suicida, sia X che Y capiscono di avere gli occhi azzurri, e il giorno dopo ancora si uccidono entrambi.Per induzione, si arriva al Passo 100, cioè alla conclusione che tutti i 100 isolani con gli occhi azzurri si suicideranno dopo 100 giorni (osserviamo che, se per qualche motivo fosse noto a priori che esistono solo due colori di occhi, allora i restanti 100 isolani si suiciderebbero tutti il giorno dopo ancora, ma questo non è rilevante in questa sede).

La soluzione corretta al rompicapo è la Soluzione 2: per quanto apparentemente insignificante, la gaffe dello straniero contiene in realtà una quantità di informazione aggiuntiva sufficiente ad innescare il processo logico-deduttivo che porta, dopo 100 giorni, al suicidio di massa degli isolani con gli occhi azzurri.

La nozione tecnica rilevante qui è quella di “common knowledge” [1]: per determinare il comportamento degli isolani non è importante solo ciò che il singolo individuo conosce degli altri isolani, ma anche ciò che ogni individuo conosce rispetto alla conoscenza altrui.

Siccome che la popolazione sia formata da 200 individui non è ovviamente essenziale, supponiamo in generale che sull’isola vi siano $2n$ persone, $n$ con gli occhi azzurri e $n$ con gli occhi neri. Al giorno $0$, fino al momento immediatamente precedente la gaffe dello straniero, la common knowledge è

$(1)$ ogni isolano sa che vi sono almeno $n-1$ isolani con gli occhi azzurri.

Questa è una situazione di equilibrio, che può durare per sempre dato che, ragionando logicamente a partire da $(1)$, nessuno ha modo di conoscere il colore dei propri occhi.

Subito dopo la gaffe dello straniero, la common knowledge risulta modificata in modo radicale, tanto che tutti gli individui con gli occhi azzurri si suicidano insieme dopo n giorni.

Per comprendere come la gaffe dello straniero modifica la common knowledge, consideriamo il toy model con $n=2$, cioè $2+2$ isolani, e supponiamo che quelli con gli occhi azzurri si chiamino $X$ e $Y$.

Prima del discorso del forestiero, $X$ sa che esistono sull’isola persone con gli occhi azzurri (per via di $(1)$) ma non sa che anche $Y$ lo sa. Analogamente, $Y$ sa che esistono sull’isola persone con gli occhi azzurri, ma non sa che anche $X$ lo sa.

Immediatamente dopo la gaffe del forestiero, la common knowledge di $X$ e $Y$ risulta invece la seguente:

$(1)$ entrambi $X$ e $Y$ sanno che vi è almeno un isolano con gli occhi azzurri

$(2)$ $X$ sa che $Y$ sa che vi è almeno un isolano con gli occhi azzurri, e viceversa.

La modifica della common knowledge data da $(2)$ agisce come detonatore, innescando l’induzione e dunque il suicidio di $X$ e $Y$ dopo 2 giorni.

È importante osservare che $(2)$ non sarebbe possibile senza la gaffe dello straniero, e che è fondamentale che il discorso dello straniero sia pubblico: infatti, se lo straniero si limitasse a pronunciare la sua frase nell’orecchio di ciascun isolano dopo averlo preso in disparte, non accadrebbe nulla, dato che in tal caso non vi sarebbe alcuna variazione nella "conoscenza della conoscenza".

Il caso con $n ≥ 3$ isolani si tratta induttivamente nello stesso modo, con variazioni della common knowledge del tipo “$X$ sa che $Y$ sa che $Z$ sa che vi è almeno un isolano con gli occhi azzurri” e via discorrendo.

Questo interessante e sottile rompicapo è stato analizzato molte volte, dato che si presta a differenti interpretazioni di tipo sia logico che epistemologico. La medaglia Fields T. Tao vi ha dedicato un post [2] nel suo famoso blog, e ulteriori stimolanti discussioni si possono trovare nei thread [3] e [4].

Riferimenti.

[1] https://en.wikipedia.org/wiki/Common_knowledge
[2] https://terrytao.wordpress.com/…/the-blue-eyed-islanders-p…/
[3] https://puzzling.stackexchange.com/…/in-the-100-blue-eyes-p…
[4] https://math.stackexchange.com/…/100-blue-eyed-isla…/490546…

Commuting in Lisbon

Aeroporto di Lisbona: un celebre ritratto di Niels Henrik Abel (1802-1829) sulla coda di un aereo della Norwegian Airlines.

Strade portoghesi

Passeggiare per le strade di Coimbra, sede di una delle più antiche università d'Europa, può riservare piacevoli sorprese.

Lezioni perfette danno risultati perfetti?

Siamo ormai a fine luglio, e chi a settembre insegnerà per la prima volta un nuovo corso
(come nel mio caso) comincia a pensare a che libri di testo adottare e a come strutturare
le lezioni.

Personalmente, ho sempre cercato di adottare un approccio abbastanza rigoroso e lineare alla materia: esempi elementari per motivare le definizioni, lemmi, proposizioni, teoremi, dimostrazioni complete, altri esempi più sofisticati, controesempi che mostrino l'importanza delle ipotesi. E infine, ovviamente, esercizi  da svolgere a casa per consolidare le nozioni apprese in classe.

Probabilmente, cerco di riprodurre in aula il tipo di lezione che piace a me.

In un certo senso, quindi, anch'io tendo a svolgere una sorta di "lezione perfetta", in cui tutti i pezzi si incastrino alla perfezione e che lasci gli studenti sorpresi ed entusiasti, come dopo un bel film. Una lezione nella quale nulla sia lasciato al caso, ogni cosa sia spiegata per filo e per segno,
e che magari si concluda con un bel risultato inaspettato ottenuto come corollario della teoria generale, una specie di colpo di scena finale alla Black Mirror (uno dei miei esempi preferiti è il Teorema di Perron-Frobenius  ricavato come conseguenza del teorema del Punto Fisso di Brouwer).

Tuttavia, a volte mi chiedo se questo sia l'unico approccio possibile, o perfino se sia davvero quello che fornisca i migliori risultati in termini di apprendimento.  In alcuni momenti ho l'impressione che la "lezione perfetta" nel senso di cui sopra sia uno show del docente, e che gli studenti siano dopotutto soggetti passivi ai quali si fornisce del materiale perfettamente pre-digerito, la cui assimilazione è dunque (relativamente) facile ma che, nel lungo periodo, dà loro poche competenze in ambito di problem-solving, per usare una espressione di cui oggi forse si abusa.

E infatti, almeno per quanto riguarda la mia esperienza personale, la parte che gli studenti trovano più difficile non è studiare la teoria, che magari conoscono per filo e per segno, ma svolgere gli esercizi. Forse lezioni troppo chiare e dettagliate li disabituano allo sforzo necessario per comprendere un enunciato e provare a dimostrarlo in autonomia?

Quando ero studente, c'erano docenti che si vantavano addirittura di compiere appositamente degli errori durante la lezione, in modo da testare il senso critico dell'uditorio, costringerlo ad un'attenzione costante ed evitare l'effetto "pappa pronta". Questo tipo di provocazioni mi ha sempre lasciato diffidente, sia perché non mi piace scrivere  enunciati o dimostrazioni sbagliati, neanche per di una buona causa, sia perché dopotutto ritengo di essere pagato per insegnare, non per svolgere esperimenti sociali in aula.

Mi domando però se metodi alternativi alla lezione frontale, tipo le "flipped classroom" che oggi vanno tanto di moda in alcune scuole superiori, possano aiutare in tal senso, e se sia davvero possibile implementarli con successo in un corso universitario di Matematica.

Alla fine,  lezioni perfette danno davvero risultati perfetti, o bisognerebbe cominciare ad approcciarsi alla didattica (anche) in modo diverso?

Campi finiti e somma di quadrati

Una conseguenza del noto teorema di Fermat è che un numero intero può essere rappresentato come somma di due quadrati se e solo se esso è non negativo e non contiene nella sua fattorizzazione alcun primo congruente a $3$ modulo $4$ elevato ad una potenza dispari [1].

Viene dunque naturale chiedersi cosa accade su altri anelli commutativi: ad esempio, su $\mathbb{R}$ un elemento è somma di quadrati se e solo se è non negativo.

Un caso particolarmente interessante è quello dei campi finiti $\mathbb{F}_q$, dove $q$ è la potenza di un primo. In tal caso si ha infatti a disposizione il seguente importante risultato, vedi [2, Chapter I, Corollary 2]:

Teorema 1 (Chevalley). Ogni forma quadratica in tre variabili su un campo finito $\mathbb{F}_q$ ha almeno uno zero non banale. 

In termini geometrici, ciò può esprimersi dicendo che ogni conica proiettiva su $\mathbb{F}_q$ ha un punto razionale (cioè, un punto a coordinate nel campo di definizione) e quindi, tramite proiezione stereografica da tale punto, essa è isomorfa alla retta proiettiva su $\mathbb{F}_q$.

Si noti che vi sono campi infiniti in cui esistono coniche proiettive senza alcun punto razionale; ad esempio la conica $X^2+Y^2 -3Z^2=0$ non ha punti definiti su $\mathbb{Q}$: ciò segue dal fatto che l’equazione diofantea deomogeneizzata $x^2+y^2-3=0$ non ha soluzioni in numeri razionali, vedi ad esempio [3].

Come corollario del Teorema di Chevalley, otteniamo un sorprendente risultato sulla rappresentabilità di ogni elemento di $\mathbb{F}_q$ come somma di quadrati. Nel seguito, diremo che una forma quadratica $Q$ su un $\mathbb{F}_q$-spazio vettoriale $V$ “rappresenta $a \in \mathbb{F}_q$” se esiste un vettore non nullo $v \in V$ tale che $Q(v)=a$.

Teorema 2. Ogni elemento del campo finito $\mathbb{F}_q$ si esprime come somma di due quadrati in $\mathbb{F}_q$.

Dimostrazione. Fissato $a \in \mathbb{F}_q$, si consideri la forma quadratica $X^2+Y^2-aZ^2$. Per il Teorema di Chevalley, essa ha uno zero non banale $(X_0, \, Y_0, \, Z_0)$.

Se $Z_0=0$, allora $Q(X, \, Y)=X^2+Y^2$ ha uno zero non banale $(X_0, \, Y_0)$ e, per risultati generali sulle forme quadratiche che ammettono vettori isotropi non nulli, segue che $Q$ rappresenta ogni elemento di $\mathbb{F}_q$, vedi [2, Chapter IV, Corollary to Proposition 3]. In particolare, essa rappresenta $a$ e  abbiamo finito. Se invece $Z_0 \neq 0$ allora, posto $u=X_0/Z_0$ e $v=Y_0/Z_0$, otteniamo $u^2+v^2=a$ e possiamo di nuovo concludere.

                                                                                                                                                 $\Box$

È interessante notare che è possibile dare una semplice dimostrazione del Teorema 2 che non dipende dal Teorema 1, e che sfrutta invece il seguente argomento combinatorio. 

Se $\mathrm{char}(\mathbb{F}_q)=2$, allora $x^2+y^2=(x+y)^2$, dunque $a$ è somma di quadrati in $\mathbb{F}_2$ se e solo se è esso stesso un quadrato, e ciò è sempre vero dato che in caratteristica $2$ la mappa $x \mapsto x^2$ è l’endomorfismo di Frobenius, che è suriettivo.

Supponiamo allora $\mathrm{char}(\mathbb{F}_q)$ dispari, nel qual caso i quadrati non-nulli di $\mathbb{F}_q$ formano un sottogruppo di indice $2$ del gruppo moltiplicativo $(\mathbb{F}_q)^*$, più precisamente essi sono il nucleo dell'omomorfismo $x \mapsto x^{(q-1)/2}$, che assume valori in $\{1, \, -1\}$, vedi [2, Chapter I, Thm. 4].

Pertanto, il sottoinsieme $S$ di tutti i quadrati di $\mathbb{F}_q$ consiste di $(q+1)/2$ elementi e, quindi, lo stesso vale per il suo traslato $a-S$. Siccome $\mathbb{F}_q$ possiede $q$ elementi, per il principio dei cassetti deve esistere uno di essi contenuto nell’intersezione $S \cap (a-S)$, cioè esistono $x, \, y \in \mathbb{F}_q$ tali che $x^2=a-y^2$, come volevamo.

Il riferimento bibliografico [2] è un grande classico, una lettura obbligata per chiunque sia interessato alla Teoria dei Numeri. Lo stile di J. P. Serre è, come sempre, preciso, conciso, dritto al punto: niente fronzoli, solo splendida Matematica. 

Il titolo originale "Cours d'Arithmétique" viene dal fatto che, in francese, "Arithmétique" vuol dire sia "Aritmetica Elementare" che "Teoria dei Numeri", il che a volte è fonte di equivoci.  Parecchi anni fa ero in metropolitana a Parigi e per qualche motivo lo stavo consultando, quando, ad un certo punto, una vecchina seduta di fianco a me indicò la copertina e, guardandomi fisso, mi disse "C'est très bien que, meme à votre âge, vous souhaitiez apprendre les choses de base!".

Riferimenti.

[1] https://en.wikipedia.org/wiki/Sum_of_two_squares_theorem
[2] J. P. Serre: A course in Arithmetic, GTM 7, Springer 1973
[3] https://math.stackexchange.com/questions/2483195/proof-that-x2-y2-3-has-no-rational-solutions

Terne pitagoriche monocromatiche e meccanizzazione della Matematica

Un famoso problema, posto da R. Graham, chiedeva se sia possibile colorare gli interi positivi con due colori (ad esempio, rosso e blu), in modo tale che non esista alcuna terna pitagorica monocromatica, cioè, nessuna tripla $a, \,b, \, c$ di interi dello stesso colore e tali che $a^2+b^2=c^2$.

Nel 2016, la questione venne risolta in senso negativo da tre informatici, M. Heule, O. Pullman e V. Marek, i quali dimostrarono il seguente risultato [HPM16]:

Teorema. Esiste una bi-colorazione di $\{1, \ldots, 7824\}$ che non contiene nessuna terna pitagorica monocromatica. Invece, non esiste nessuna tale bi-colorazione per $\{1, \ldots, 7825\}$.

La dimostrazione di questo enunciato è stata ottenuta utilizzando in modo essenziale il calcolatore. Più precisamente, i tre autori hanno costruito, per ogni $n$, una formula preposizionale che descrive una bi-colorazione di $\{1, \ldots, n\}$ senza terne pitagoriche monocromatiche. Successivamente, hanno implementato questa formula in un software specificamente progettato per la Logica Matematica (‘’SAT solver’’), cercando soluzioni per specifici valori di $n$.

Per $n=7824$ la ricerca è stata coronata da successo, e il software ha fornito una bi-colorazione esplicita che risolve il problema. Per $n=7825$, invece, nessuna tale colorazione è stata trovata.

Ovviamente, nel caso “negativo”, è rischioso accettare il responso del computer come una dimostrazione rigorosa della non-esistenza di una soluzione. Infatti, bisogna innanzitutto essere sicuri che l’algoritmo sia corretto ed esaustivo e che la macchina funzioni perfettamente; inoltre, molti matematici non sono pronti a considerare come soddisfacente una dimostrazione di impossibilità che non possa essere verificata “a mano’’ (si ricordi il famoso caso del Teorema dei Quattro Colori).

Heule, Pullman e Marek hanno dunque deciso di codificare la dimostrazione per mezzo di un procedimento di “validazione formale del risultato”, che ha prodotto un certificato di 68 gigabyte, che che è stato reso pubblicamente disponibile e contiene abbastanza informazioni per permettere a chiunque (almeno in linea di principio) di riprodurre la dimostrazione.

Questo esempio mostra che siamo arrivati ad un punto nel quale le dimostrazioni “computer assisted” cominciano a diventare essenziali in Matematica, facendoci riconsiderare (almeno in alcuni casi) il nostro concetto di “dimostrazione rigorosa”. Tutto ciò apre scenari affascinanti, e per certi versi inquietanti, sulla “meccanizzazione della Matematica”, che sarebbe troppo lungo considerare qui; il lettore interessato può leggere ad esempio [Av18].

Riferimenti.

[HPM16] M. Heule, O. Pullman e V. Marek: Solving and verifying the Boolean Pythagorean Triples via Cube-an-Conquerer, arXiv:1605.00723.

[AV18] J. Avigad: The Mechanization of Mathematics, Notices AMS 65, number 6 (2018).

Le due culture in Matematica

"I was thinking more of the tendency today for people
to develop whole areas of mathematics on their own,
in a rather abstract fashion. They just go on beavering
away. If you ask what is it all for, what is its signifi-
cance, what does it connect with, you find that they
don't know."
M. F. Atiyah [1]

Ai matematici capita spesso di lamentarsi del fatto che la Matematica (a differenza della Poesia, della Letteratura o della Filosofia) non sia ancora vista come una parte indispensabile del patrimonio culturale collettivo. Dopotutto, quante volte abbiamo incontrato persone, anche molto colte, affermare candidamente con un sorrisetto "eh, io di Matematica non ci capisco proprio nulla"? Eppure, nessuno avrebbe il coraggio di sostituire "Matematica" con "Shakespeare" senza il timore di apparire goffamente ignorante.

È quindi un po' paradossale che anche i matematici, all'interno della loro comunità, tendano a volte a replicare, più o meno inconsapevolmente, atteggiamenti di questo tipo. Capita, ad esempio, che i "theory builders" guardino con sufficienza i "problem solvers", e viceversa. 

Non è raro che, dopo aver studiato per anni il formalismo fortemente astratto della Geometria Algebrica moderna (quello sviluppato da Grothendieck negli EGA, per intenderci), uno si senta autorizzato ad alzare il sopracciglio verso chi si dedica a "semplici" problemi di Combinatoria; allo stesso modo, chi si dedica alla Combinatoria può considerare il Geometra Algebrico à la Grothendieck come uno snob spocchioso che non è in grado neanche di sporcarsi le mani con un semplice problema di colorazione di un grafo.

Ovviamente, il discorso precedente è una iper-semplificazione, dato che molti matematici sviluppano teorie proprio allo scopo di risolvere problemi (il viceversa, tuttavia, è molto meno frequente). A volte però, come acutamente osservato da M. Atiyah nella citazione iniziale, la ricerca dell'astrazione viene fatta per sè, escludendo a priori qualsiasi tentativo di applicazione della teoria o di ibridazione fra le due "culture".

Il risultato è una mancanza di comunicazione all'interno della comunità che, se da una parte rallenta intrinsecamente la ricerca scientifica, dall'altra può avere implicazioni devastanti per la carriera delle persone: non è infrequente che un "theory builder" duro e puro si trovi in una commissione che deve giudicare un candidato "problem solver" o viceversa, con risultati immaginabili in fase di valutazione.

L'argomento è chiaramente troppo vasto per un semplice post; il lettore interessato può trovare una bella analisi nell'articolo di W. T. Gowers The two cultures in mathematics [2], che contiene anche una serie importante di esempi che mostrano come Matematica Discreta e Combinatoria, lungi dall'essere solo una vasta collezione di problemi individuali e di risultati sparsi, contengono al loro interno principi generali di vasta applicabilità, anche se la struttura soggiacente è meno esplicita che nel caso della Geometria Algebrica o dell'Analisi Funzionale.

Esempi illuminanti sono la dimostrazione di P. Erdős del Teorema di Ramsey per mezzo di una "colorazione random" (che, usando le parole di Gowers, "opened the floodgates of probabilistic arguments in combinatorics") e quella di V. Milman del Teorema di Dworesky  per mezzo di un argomento di tipo "concentrazione della misura" che, oltre a dare il via all'analisi geometrica asintotica negli spazi di Banach, si è rivelato fecondo in altre parti della Matematica come l'Analisi Armonica e la Teoria delle PDE. 

L'articolo di Gowers termina con l'auspicio di una maggiore collaborazione fra i matematici appartenenti alle due "culture", pur osservando che "collaboration of this kind would require greater efforts on the part of problem-solvers to learn a bit of theory, and greater sympathy on the part of theoreticians towards mathematicians who do not know what cohomology is".

Magari ha senso concludere questo post come è iniziato, ovvero con una citazione di Atiyah [3]:

"... the ultimate justification for doing mathematics is intimately related with its overall unity. If we grant that, on purely utilitarian grounds, mathematics justifies itself by some of its applications, then the whole of mathematics acquires a rationale provided it remains a connected whole. Any part that drifts away from the main body of the field has then to justify itself in a more direct fashion".

Riferimenti.

[1] An interview with M. Atiyah, The Mathematical Intelligencer 6 (1984), 9-19
https://link.springer.com/content/pdf/10.1007%2FBF03024202.pdf
[2] W. T. Gowers: The two cultures in Mathematics
https://www.dpmms.cam.ac.uk/~wtg10/2cultures.pdf
[3] M. F. Atiyah, Identifying progress in mathematics, ESF conference in Colmar, C.U.P. (1985), 24-41.

La costante di Apéry

È ben noto che i valori della funzione zeta di Riemann calcolati negli interi positivi pari possono essere espressi in termini dei numeri di Bernoulli $B_n$, e più precisamente che vale l'identità
\begin{equation*}
 \zeta(2n) = (-1)^{n+1} B_{2n} \frac{(2 \pi) ^{2n}}{2 (2n)!}.
\end{equation*} Siccome i numeri di Bernoulli sono razionali, segue che i valori $\zeta(2n)$ sono multipli razionali di potenze di $\pi$, in particolare per $n \geq1$ sono tutti numeri trascendenti. I primi valori di $\zeta(2n)$ sono i seguenti:

$\zeta(0) = -1/2$
$\zeta(2) = \pi^2/6$ (un celebre risultato d Eulero noto come identità di Basilea)
$\zeta(4) = \pi^4/90$
$\zeta(6) = \pi^6/945$

e, in generale, gli interi $a_n, \, b_n$ che compaiono nell'identità

\begin{equation*}
a_n \zeta(2n) = b_n \pi^{2n}
\end{equation*} sono rispettivamente gli elementi delle successioni OEIS A002432 e A046988.

Per quanto riguarda i valori $\zeta(2n+1)$ della funzione zeta calcolata negli interi positivi dispari, si sa invece molto di meno. 

Il valore $\zeta(1)$ corrisponde alla somma della serie armonica $$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \ldots,$$ che è divergente, e infatti $\zeta(s)$ ha un polo in $s=1$.  

Il valore successivo $$\zeta(3) = 1 + \frac{1}{2^3} + \frac{1}{3^3} + \frac{1}{4^3} + \ldots \simeq 1.20205 $$ è detto costante di Apéry, in onore del matematico francese R. Apéry che nel 1978 ne dimostrò l'irrazionalità [A79]. Dimostrazioni più semplici vennero in seguito proposte da F. Beuker [B79] e W. Zudilin [Z02]. Non è noto al momento se la costante di Apéry sia un numero trascendente. 

Il reciproco $1/\zeta(3) \simeq 0.831912 \ldots$ rappresenta la probabilità che tre numeri "scelti a caso" siano relativamente primi. Curiosamente, il valore $\zeta(3)$ compare anche in Elettrodinamica Quantistica, nel calcolo del momento angolare dell'elettrone.

Non è noto un analogo del Teorema di Apéry per altri valori del tipo $\zeta(2n+1)$, ma si hanno alcuni risultati parziali. Sappiamo ad esempio che infiniti tali valori sono irrazionali [R00], e che almeno uno fra $\zeta(5)$, $\zeta(7)$, $\zeta(9)$, $\zeta(11)$ deve essere irrazionale [Z01]. 

Riferimenti.

[A79] R. Apéry: Irrationalité de $\zeta(2)$ et $\zeta(3)$, Astérisque 61: 11–13 (1979).
[B79] F. Beuker: A note on the irrationality of $\zeta(2)$ et $\zeta(3)$, Bull. London Math. Soc. 11 (3) (1979), 268–272.
[Z02] W. Zudilin: An elementary proof of Apéry's theorem, arXiv:math/0202159 (2002).
[R00] T. Rivoal: La fonction zêta de Riemann prend une infinité de valeurs irrationnelles aux entiers impairs, Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I, 331 (4) (2000): 267–270.
[Z01] W. Zudilin: One of the numbers $\zeta(5), \, \zeta(7), \, \zeta(9), \, \zeta(11)$ must be irrational, Russ. Math. Surv., 56 (4) (2001), 774–776.

La misura del mondo

Fra i romanzi che hanno fra i protagonisti un grande matematico, merita un posto a parte  "La misura del mondo" (il titolo originale è "Die Vermessung der Welt")  del giovane scrittore tedesco D. Kehlmann (1975). Pubblicato nel 2005 e diventato un immediato bestseller, ha fatto guadagnare al suo autore paragoni con Nabokov e Proust, per la complessità dell'intreccio e la sapiente e allo stesso tempo leggera descrizione dei personaggi.

A "misurare il mondo" sono due famosi scienziati tedeschi, il matematico C. F. Gauss e l'esploratore A. von Humboldt, accomunati da grandi affinità ma anche separati da profonde differenze. Ad un certo punto si incontreranno a Berlino per un congresso scientifico (con gioia di von Humboldt e fastidio di Gauss, che detesta viaggiare), e ciò finirà per segnare profondamente entrambi.

Gauss, nato in estrema povertà, mostra il suo immenso genio fin dall'infanzia, arrivando a scrivere le sue Disquisitiones Arithmeticae (che gli daranno fama imperitura) poco più che ventenne. Il "principe dei matematici" passa quasi tutta la sua vita a Gottinga, ossessionato dal ricordo della prima moglie Johanna morta di parto (che tuttavia aveva abbandonato nel letto nuziale per appuntare su un pezzo di carta la formula dei minimi quadrati) e amareggiato per l'ottusità e la lentezza di pensiero che riscontra negli altri individui, compresi la seconda moglie Minna e il figlio Eugene, trattati ai limiti del disprezzo. Nell'ultima parte della sua vita si appassiona al problema del magnetismo terrestre, anche per via degli scambi epistolari con il giovane fisico W. E. Weber, che proprio grazie a Gauss ottiene (appena ventisettenne) una cattedra a Gottinga.

Von Humboldt nasce invece nobile, e viene allevato con l'idea della futura grandezza sin dalla più tenera età. Ossessionato dall'idea di viaggiare, abbandona una promettente carriera diplomatica in Prussia e si lancia nell'esplorazione dell'Amazzonia, mappando il canale naturale fra l'Orenoco e il Rio delle Amazzoni, sfidando zanzare, rapide e cannibali, scalando vulcani, scoprendo miniere e ignorando completamente i rapporti con l'altro sesso. Nell'ultima parte della sua vita si entusiasma per un viaggio di esplorazione in Siberia organizzato per lui dallo Zar di Russia, ma il confronto con i viaggi compiuti da giovane, quando era in salute, libero e sconosciuto, si rivela impietoso.

Gauss vede poco con i suoi occhi, ma molto con la sua mente. Al contrario, von Humboldt non capisce una parola di Matematica, ma viaggia in lungo e in largo per ottenere in prima persona quante più informazioni possibili sul mondo reale.

Entrambi i personaggi sono sostanzialmente dei solitari, chiusi nella realtà che si sono costruiti e infastiditi dalla fama crescente che accompagna le loro scoperte. Nonostante le loro enormi differenze, di nascita come di carattere, sia Gauss che von Humboldt sono tormentati dalla medesima ossessione: ciascuno nel proprio ambito, acquisire un'enorme mole di conoscenza.

Copertina dell'edizione italiana (fonte: Amazon.it)

L'irrazionalità di $\pi$

È ben noto che $\pi$ è un numero irrazionale, ossia che non può essere scritto come quoziente di due interi. 

La prima dimostrazione di questo fatto fu data da J. H. Lambert nel 1761, per mezzo di uno sviluppo in frazione continua della funzione tangente. 

Un argomento differente venne fornito nel 1873 da C. Hermite, il quale fece vedere che $\pi^2$ è irrazionale utilizzando un ingegnoso argomento per assurdo basato sul calcolo integrale e sulla caratterizzazione di $\pi$ come la più piccola soluzione positiva dell'equazione $\cos \frac{x}{2}=0$. 

Oggi esistono decine di dimostrazioni dell'irrazionalità di $\pi$, alcune delle quali accessibili anche agli studenti degli ultimi anni di scuola superiore. Una delle più semplici è probabilmente la seguente, dovuta a I. Niven [N47].

Teorema. Il numero $\pi$ è irrazionale.

Dimostrazione. Supponiamo per assurdo che $\pi=a/b$, con $a$, $b$ interi positivi. Preso un arbitrario numero naturale $n,$ consideriamo i seguenti polinomi:
\begin{equation*}
\begin{split}
f(x) & = \frac{x^n(a-bx)^n}{n!} \\
F(x) & = f(x)-f^{(2)}(x)+f^{(4)}(x)- \cdots +(-1)^nf^{(2n)}(x).
\end{split}
\end{equation*} Un semplice calcolo mostra che $f(x)$ e tutte le sue derivate $f^{(j)}(x)$ assumono valori interi in $x=0$; inoltre, lo stesso vale per $x=\pi=a/b$, dato che $f(x)=f(a/b-x)$.

Dalle formule elementari di derivazione otteniamo
\begin{equation*}
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}[F'(x) \sin x - F(x) \cos x] = F''(x) \sin x + F(x) \sin x = f(x) \sin x,
\end{equation*} da cui, per il Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale,
\begin{equation} \label{eq:calcolo}
\int_0^{\pi} f(x) \sin x \, \mathrm{d}x = \left[F'(x) \sin x - F(x) \cos x \right]_0^{\pi} = F(\pi)+F(0). \tag{$\heartsuit$}
\end{equation} Per quanto visto, la quantità $F(\pi)+F(0)$ è un intero, dato che lo sono tutte le quantità $f^{(j)}(0)$ e $f^{(j)}(\pi)$.

D'altra parte, per $0 <x <\pi$ abbiamo
\begin{equation*}
0 < f(x) \sin x < \frac{{\pi}^n a^n}{n!}.
\end{equation*} Ciò implica che, per $n$ sufficientemente grande, la funzione $f(x) \sin x$ è positiva ma arbitrariamente piccola in $(0, \, \pi)$, e quindi lo stesso è vero per il corrispondente integrale definito.

Allora si può scegliere $n$ in modo tale che il membro a sinistra di $\eqref{eq:calcolo}$ sia strettamente compreso fra $0$ e $1$, contraddizione. $\square$

I. Niven (fonte Wikipedia)

Riferimenti.

[N47] I. Niven: A simple proof that π is irrational, Bull. Amer. Math. Soc. 53  (1947).

Fattoriali e potenze perfette

Domanda. È possibile che il fattoriale $n!$ di un intero $n \geq 2$ sia una $k$-esima potenza perfetta, ossia un intero della forma $m^k$, con $k \geq 2$?

Usando il Postulato di Bertrand (o Teorema di Chebyshev), non è difficile dimostrare che la risposta è negativa.

Proposizione. Se $n \geq 2$, allora $n!$ non è una $k$-esima potenza perfetta.

Dimostrazione. Gli interi $2!=2$ e $3!=6$ non sono potenze perfette. Se $n≥4$, allora per il Postulato di Bertrand esiste un primo $p$ tale che $$\frac{n}{2} < p < n.$$ Siccome $p<n$, sicuramente $p$ divide $n!$. D'altra parte, il più piccolo multiplo non banale di $p$ è $2p$, che per ipotesi è maggiore di $n$ e quindi non compare nella produttoria che definisce $n!$. Ciò mostra che $p^2$ non divide $n!$, quindi $p^k$ non divide $n!$, il che implica che quest'ultimo non può essere una $k$-esima potenza perfetta.

                                                                                                                                                $\square$

Una dimostrazione del medesimo risultato che, invece del Postulato di Bertrand, usa la formula di De Polignac-Legendre (che fornisce la massima potenza con cui un primo $p$ divide $n!$) è proposta in [MSE31973].

Nel 1975, P. Erdős e J. L. Selfridge raffinarono l'argomento usato sopra e provarono che nessun prodotto di due o più interi consecutivi può essere una potenza perfetta. Il lettore interessato può consultare l'articolo originale [ES75] .

Un giovane P. Erdős (fonte: Guggenheim fundation)

Riferimenti.

[ES75] P. Erdős and J. L. Selfridge: The product of consecutive integers is never a power, Illinois J. Math. 19, Issue 2 (1975), 292-301.
[MSE31973] https://math.stackexchange.com/questions/31973/n-is-never-a-perfect-square-if-n-geq2-is-there-a-proof-of-this-that-doesn

Numeri di Liouville

Un numero reale si dice trascendente (su $\mathbb{Q}$) se non è radice di una equazione polinomiale a coefficienti interi. La precedente definizione implica che ogni numero trascendente è irrazionale (ma ovviamente non vale il viceversa, si pensi a $\sqrt{2}$) e che  l'insieme dei numeri algebrici (cioè, non trascendenti) è numerabile.

Pertanto, siccome l'insieme dei numeri reali ha cardinalità strettamente maggiore del numerabile, segue che "quasi tutti" i numeri reali sono trascendenti. Tuttavia, questo tipo di argomento nulla ci dice sulla trascendenza di uno specifico numero reale, che può essere molto difficile da dimostrare. Ad esempio, si sa che $\pi$ ed $e$ sono entrambi trascendenti, ma non è al momento noto se la loro somma $\pi+e$ lo sia.

Storicamente, i primi esempi espliciti di numeri trascendenti vennero forniti a metà dell'800 da J. Liouville, come conseguenza dei suoi importanti studi sull'approssimazione diofantea dei numeri irrazionali. Più precisamente, Liouville dimostrò nel 1844 il seguente fondamentale risultato:

Teorema. Supponiamo che $x$ sia un numero irrazionale tale che, per ogni intero positivo $n$, esistano interi $p$ e $q$, con $q>1$, tali che $$\left|x-\frac{p}{q}\right| < \frac{1}{q^n}.$$Allora $x$ è trascendente.

 Un esempio di numero reale che verifica le ipotesi del Teorema è la cosiddetta costante di Liouville
$$L= \sum_{n\geq 1} 10^{-n!},$$ ossia, in notazione decimale, $$L= 0.110001000000000000000001 \ldots, $$ dove la cifra $1$ compare nei posti decimali corrispondenti ai fattoriali degli interi.

I numeri reali che verificano le condizioni del Teorema vengono oggi chiamati numeri di Liouville; si noti che la diseguaglianza che li caratterizza ci dice che un numero trascendente di Liouville può essere approssimato "estremamente bene" da una successione di numeri razionali.

È attualmente noto che l'insieme $L$ dei numeri di Liouville è non-numerabile,  denso in $\mathbb{R}$ e di misura di Lebesgue $0$. Ciò implica che "quasi tutti" i numeri trascendenti non sono numeri di Liouville. Ciò nonostante, un risultato di P. Erdős fa vedere che ogni numero reale non nullo pu essere scritto come somma e come prodotto di due numeri di Liouville [E62].  Un esempio notevole di numero trascendente che non è di Liouville è $\pi$, come dimostrato da Mahler nel 1953 [M53].

Per maggiori informazioni sui numeri di Liouville (e più in generale sui numeri trascendenti) il lettore può consultare la monografia [MR14].

J. Liouville (fonte Wikipedia)

Riferimenti.

[E62]  P. Erdős:  Representations of real numbers as sums and products of Liouville numbers, Mich. Math. J. 9, 59-60 (1962)

[M53] K. Mahler: On the Approximation of $\pi$, Nederl. Akad. Wetensch. Proc. Ser. A. 56/Indagationes Math. 15, 30-42, 1953.

[MR14] M. R. Murty, P. Rath: Transcendental Numbers, Springer 2014

Numeri perfetti

Un numero naturale si dice perfetto se è uguale alla somma dei suoi divisori escluso il numero stesso. Ad esempio, $6$, $28$, $496$ sono numeri perfetti, dato che

$6 = 1+2+3$

$28 = 1+2+4+7+14$
$496 = 1+2+4+8+16+31+62+124+248.$

La prima definizione nota di numero perfetto si trova nel Libro VII degli Elementi di Euclide, dove viene dimostrato che, se $p$ è un numero primo tale che $2^p-1$ sia ancora primo, allora $2^{p-1}(2^p-1)$ è un numero perfetto. Ad esempio, prendendo $p=2, \, 3, \, 5$ si ottengono i tre numeri perfetti $6, \, 28, \,496$ considerati sopra. 

I primi di tale tipo sono detti primi di Mersenne (successione OEIS A000668), e al momento non si sa se ne esistano in numero infinito. Sono noti 51 primi di Mersenne, il più grande dei quali è $2^{82589933} − 1$, scoperto a dicembre 2018, che ha $24862048$ cifre decimali. 

Due millenni dopo Euclide, Eulero dimostrò che, viceversa, ogni numero perfetto pari è della forma $2^{p-1}(2^p-1)$, dove $p$ è un primo di Mersenne. Pertanto, vi è una corrispondenza biunivoca fra numeri perfetti pari e numeri primi di Mersenne; in particolare, non è noto se esistano infiniti numeri perfetti pari.

L'esistenza di numeri perfetti dispari è uno dei problemi aperti più famosi e difficili in Teoria dei Numeri, per il quale si hanno solo alcuni risultati parziali. Ad esempio, si sa che un ipotetico numero perfetto dispari deve essere maggiore di $10^{1500}$, possedere almeno 10 fattori primi distinti e che i suoi due più grandi fattori primi devono essere maggiori di $10^8$ e $10^4$, rispettivamente. Tali restrizioni rendono praticamente impossibile la ricerca di un numero perfetto dispari per "brute force", almeno con i calcolatori elettronici attualmente disponibili.

Il teorico dei numeri statunitense C. Pomerance, basandosi su un argomento di tipo euristico, è giunto alla conclusione che i numeri perfetti dispari "non dovrebbero esistere". Maggiori informazioni sul suo argomento probabilistico (e in generale sul problema dell'esistenza di numeri perfetti dispari) possono essere trovati nel sito web  http://oddperfect.org/

Il Problema di Waring

Nel 1770 J. L. Lagrange dimostrò che ogni numero naturale è somma di al più quattro quadrati. Nello stesso anno, motivato da questo risultato, E. Waring propose quello che sarebbe poi diventato noto come

Problema di Waring. Dato un intero positivo $k$, esiste un (minimo) numero $g(k)$ tale che ogni numero naturale $n$ si scriva come somma di al più $g(k)$ potenze $k$-esime?

Banalmente $g(1)=1$, mentre il risultato di Lagrange, insieme al fatto che esistono numeri naturali che non si scrivono come somma di tre quadrati (ad esempio $7$), implica $g(2)=4$.

Nel 1909, D. Hilbert dimostrò [H09] che la risposta al Teorema di Waring è affermativa, ma le sue tecniche non erano costruttive, pertanto non davano indicazioni su come determinare esplicitamente i valore di $g(k)$ in funzione di $k$. Alcuni di tali valori vennero in seguito ricavati da differenti autori utilizzando metodi ad hoc:

• $g(3)=9$ ($n=23$ è il minimo intero positivo che non è somma di $8$ cubi), vedi [W09, K12]
• $g(4)=19$ ($n=79$ è il minimo intero positivo che non è somma di $18$ quarte potenze)
• $g(5)=37$
• $g(6)=73$, vedi [P40].

I valori attualmente conosciuti per $g(k)$ sono tabulati nella successione OEIS A002804, i cui primi termini sono $$1, 4, 9, 19, 37, 73, 143, 279, 548, 1079, 2132, 4223, 8384, 16673, 33203, 66190, 132055.$$ Una quantità correlata a $g(k)$ è $G(k)$, definito come il minimo intero tale che ogni numero naturale $n$ sufficientemente grande si possa esprimere come somma di al più $G(k)$ potenze $k$-esime. Ovviamente, si ha $G(k) \leq g(k)$ per ogni $k$, e l'eguaglianza vale se e solo se esistono infiniti numeri naturali che non si esprimono come somma di $g(k)-1$ potenze $k$-esime.

Siccome nessun intero congruente a $7 $ (modulo $8$) può essere rappresentato come somma di tre quadrati, si ha $G(2)=g(2)=4$. Il problema della determinazione di $G(k)$ è più difficile del corrispondente problema per $g(k)$, e infatti i valori di $G(k)$ per $k \geq 3$ non sono noti (eccetto $G(4)=16$, vedi [D39]), tuttavia si hanno a disposizione alcune stime. Ad esempio, si sa che $4 \leq  G(3) \leq 7 $.

In generale, usando il cosiddetto metodo del cerchio di Hardy e Littlewood, Vinogradov ha dimostrato il bound superiore $$G(k) \leq  k(3 \log k + 11).$$ Per ulteriori dettagli sull'argomento, il lettore può consultare il survey [VW02].

E. Waring (fonte Wikipedia) 

Riferimenti.

[D39] H. Davenport: On Waring's Problem for Fourth Powers, Ann. Math. 40 (1939), 731-747
[H09] D. Hilbert: Beweis für die Darstellbarkeit der ganzen Zahlen durch eine feste Anzahl $n$-ter Potenzen (Waringsches Problem),  Mathematische Annalen  67 (3) (1909), 281–300.
[W09] A. Wieferich: Beweis des Satzes, daß sich eine jede ganze Zahl als Summe von höchstens neun positiven Kuben darstellen läßt,  Mathematische Annalen 66 (1) (1909), 95–101.
[K12] A. Kempner: Bemerkungen zum Waringschen Problem, Mathematische Annalen 72 (3) (1912), 387–399.
[P40] S. S. Pillai: On Waring's problem $g(6)=73$, Proc. Indian Acad. Sci. 12 (1940), 30–40.
[VW02] R.C. Vaughan, T. Wooley: Waring Problem: a survey, in  Number Theory for the Millennium. III. Natick, MA: A. K. Peters. pp. 301–340. ISBN 978-1-56881-152-9.

Il Problema delle Otto Regine

È tempo di Natale, le famiglie si riuniscono e dai cassetti vengono tirate fuori le scatole con i giochi. Giochi elettronici, di ruolo, di carte e, ovviamente, giochi da scacchiera. Fra questi ultimi, gli scacchi sono sicuramente fra quelli che hanno dato vita al maggior numero di rompicapo matematici. Uno dei più celebri è il

Problema delle Regine. Data una scacchiera $n \times n$, qual è il massimo numero di regine che possono essere poste su di essa, in modo tale che nessuna attacchi le rimanenti?

Siccome ogni regina può muoversi in orizzontale, verticale e diagonale, il problema è equivalente a quello di disporre il massimo numero di pedine sulla scacchiera, in maniera tale che non ve ne siano due sulla stessa riga, colonna o diagonale. Da ciò segue che il massimo numero di regine non può superare $n$, e non è difficile dimostrare che su ogni scacchiera di ordine almeno $4$ esiste almeno una soluzione con esattamente $n$ regine.

Molto più difficile è il problema di descrivere tutte le soluzioni o, almeno, un insieme completo di soluzioni a meno di rotazioni e riflessioni (le cosiddette "soluzioni fondamentali"). Per la scacchiera $4 \times 4$ vi è una sola soluzione fondamentale, per quella $5 \times 5$ ve ne sono due, e di nuovo solo una per quella $6 \times 6$. Il numero di soluzioni fondamentali per la scacchiera $7 \times 7$ è sei, quella classica $8 \times 8$ ne possiede dodici, quella $9 \times 9$ quarantasei e quella $10 \times 10$ novantadue.

Il numero totale di soluzioni al variare di $n$ è tabulato nella sequenza OEIS A000170, mentre quello di soluzioni fondamentali è tabulato nella sequenza OEIS A002562. Al momento, non esiste una formula chiusa per il numero di soluzioni in funzione di $n$, tuttavia sono stati pubblicati algoritmi di tipo "bit vector encoding" per produrre tutte le soluzioni [3].

Il problema originale, per la scacchiera 8x8, fu formulato da M. Bezzel nella rivista berlinese Schachzeitung nel 1848, e le $12$ soluzioni fondamentali vennero pubblicate per la prima volta da F. Nauck nella rivista di Lipsia Illustrierte Zeitung (1850). La prima dimostrazione che esse esauriscono tutte le possibilità, basata sulla teoria dei determinanti, fu data da J. W. Glaisher nel 1874. Vi è esattamente una soluzione fondamentale in cui non esistono tre regine allineate, quella indicata col numero (10) in [1].

Le 12 soluzioni fondamentali sulla scacchiera $8 \times 8$ (fonte: Wolfram MathWorld)

Per maggiori notizie sul Problema delle Otto Regine, e sui problemi correlati in cui le regine sono sostituite con altri pezzi degli scacchi, il lettore può consultare [2].

Nota computazionale. Nella pagina Wikipedia [1] si può trovare il seguente script in Pascal per determinare una soluzione al Problema delle Otto Regine:

program eightqueen1(output);
 
var i : integer; q : boolean;
    a : array[ 1 .. 8] of boolean;
    b : array[ 2 .. 16] of boolean;
    c : array[ -7 .. 7] of boolean;
    x : array[ 1 .. 8] of integer;
 
procedure try( i : integer; var q : boolean);
    var j : integer;
    begin 
    j := 0;
    repeat 
        j := j + 1; 
        q := false;
        if a[ j] and b[ i + j] and c[ i - j] then
            begin 
            x[ i    ] := j;
            a[ j    ] := false; 
            b[ i + j] := false; 
            c[ i - j] := false;
            if i < 8 then
                begin
                try( i + 1, q);
                if not q then
                    begin 
                    a[ j] := true; 
                    b[ i + j] := true; 
                    c[ i - j] := true;
                    end
                end 
            else 
                q := true
            end
    until q or (j = 8);
    end;
 
begin
for i :=  1 to  8 do a[ i] := true;
for i :=  2 to 16 do b[ i] := true;
for i := -7 to  7 do c[ i] := true;
try( 1, q);
if q then
    for i := 1 to 8 do write( x[ i]:4);
writeln
end.

Riferimenti.

[1] https://en.wikipedia.org/wiki/Eight_queens_puzzlehttps://en.wikipedia.org/wiki/Eight_queens_puzzle
[2] M. Gardner: Enigmi e giochi matematici, Vol. 4.
[3] Z. Qiu: Bit-vector encoding of $n$-queen problem. ACM SIGPLAN Notices. 37 (2) (2002), 68-70. 

Il porisma di Steiner

In geometria, il termine porisma viene spesso utilizzato per indicare una configurazione di oggetti che in generale non esiste e che tuttavia, non appena esiste, esiste in un’infinità di casi.  Uno dei porismi più famosi è quello che prende il nome dal matematico svizzero  J. Steiner (1796-1863), e che riguarda catene di circonferenze tangenti fra loro e a due circonferenze date. L’enunciato preciso è il seguente:

Porisma di Steiner. Siano $A$ e $B$ due circonferenze disgiunte nel piano, con $A$ interna a $B$. Supponiamo  che esista una catena di circonferenze $C_1, \ldots, C_n$, aventi le seguenti proprietà:

1. Ogni circonferenza $C_i$ è tangente alla precedente e alla successiva, e inoltre $C_n$ è tangente a $C_1$ (in altre parole, la catena è chiusa); 
2. Ogni $C_i$ è tangente sia ad $A$ che a $B$. 

Allora esistono infinite catene siffatte, tutte ottenibili da una fissata per mezzo di rotazioni. Inoltre, ogni circonferenza $C$, tangente sia ad $A$ che a $B$, è membro di una tale catena.

Una catena di circonferenza che verifica i punti (1) e (2) sopra è detta catena (chiusa) di Steiner. Dunque il Porisma di Steiner può essere anche enunciato dicendo che, se $A$ e $B$ ammettono una catena di Steiner formata da $n$ elementi, allora ne ammettono infinite.

Catene di Steiner (fonte Wikipedia)

Una bella dimostrazioni di questo sorprendente risultato è contenuta nel Capitolo 6 del libro di H. S. M. Coxeter [C89]. L’idea è quella di considerare una particolare inversione del piano, che trasformi le due circonferenze $A$ e $B$ in due circonferenze concentriche $A’$, $B’$. Siccome una tale inversione manda circonferenze tangenti in circonferenze tangenti, è ora sufficiente dimostrare l’enunciato per  $A’$, $B’$, nel qual caso è ovvio.

Si noti che questo argomento permette anche di dedurre che i punti di tangenza delle circonferenze della catena giacciono a loro volta su una circonferenza. Inoltre, un semplice calcolo mostra che i centri delle circonferenze della catena giacciono su un’ellisse, avente per fuochi i centri di $A$ e $B$.

Nel caso degenere in cui le circonferenze $A$, $B$ sono tangenti internamente in un punto $p$, è possibile considerare una particolare inversione che manda $p$ all’infinito, trasformando $A$ e $B$ in due rette parallele. La stessa dimostrazione di prima mostra che in tal caso esistono infinite catene di Steiner per $A$ e $B$, ciascuna delle quali formata a sua volta da un numero infinito di circonferenze (il cui raggio tende a zero man mano che esse si avvicinano a $p$). Questa situazione è trattata in dettaglio nel Capitolo 3 di [N97].

Riferimenti.

[C89] H. S. M. Coxeter: Introduction to Geometry, 2nd edition, Wiley and Sons 1989
[N97]  T. Needham: Visual Complex Analysis, Clarendon Press 1997.

Il teorema di Sylvester-Gallai

Nel 1944, il matematico ungherese T. Gallai pubblicò una dimostrazione del seguente
risultato, rispondendo in tal modo ad un quesito posto nel 1883 da J. J. Sylvester:

Teorema. Consideriamo un insieme finito di punti di $\mathbb{R}^2$ tali che una retta passante per due qualsiasi di essi ne contenga un terzo. Allora tutti i punti sono allineati.

In altre parole, dato un insieme di punti non tutti allineati nel piano reale, esiste almeno una retta che contiene esattamente due di essi. Osserviamo che il teorema sussiste anche nel piano proiettivo $\mathbb{RP}^2$, dato che una configurazione finita di punti in tale piano può essere trasformata in una configurazione nel piano euclideo senza cambiare l'insieme delle rette che li congiungono, semplicemente scegliendo come retta all'infinito una retta che non contenga nessuno dei punti.

Oggi sono note molte dimostrazioni differenti del Teorema di Sylvester-Gallai. Una discussione di quella originale di Gallai può trovarsi in [BM90], mentre nella corrispondente pagina Wikipedia ne sono riportate altre due.

La prima, dovuta a L. M. Kelly, è di carattere geometrico elementare, e utilizza un argomento per assurdo basato sull'esistenza di una coppia (retta congiungente due punti, terzo punto) tale che gli elementi della coppia abbiano distanza minima fra tutte le possibili coppie di tale tipo.

La seconda, dovuta a E. Melchior, utilizza la teoria delle dualità, considerando la configurazione di rette in $(\mathbb{RP}^2)^*$, duale della data configurazione di punti in $\mathbb{RP}^2$, e mostrando  con un delicato argomento topologico che, se tali rette non passano tutte per un punto, allora esiste almeno un punto di $(\mathbb{RP}^2)^*$ per il quale passano esattamente due di esse.

È importante notare che il teorema di Silvester-Gallai non può essere generalizzato al piano

complesso $\mathbb{C}^2$ o, equivalentemente, al piano proiettivo $\mathbb{CP}^2$. Infatti, per un ben noto risultato di geometria algebrica elementare, i 9 punti di flesso di una cubica piana liscia $C_3$ in $\mathbb{CP}^2$ (ossia, di una curva definita da un'equazione omogenea di terzo grado $F(x, \, y, \, z)=0$) hanno la proprietà che la retta passante per due qualsiasi di essi ne contiene anche un terzo. Ciò è un'immediata conseguenza del fatto che i 9 punti di flesso di $C_3$ corrispondono esattamente ai punti di 3-torsione nella legge di gruppo sulla curva (definita da "tre punti hanno somma nulla se e solo se essi sono allineati").

Tali 9 punti di flesso, insieme alle 12 rette che li congiungono,  formano la cosiddetta configurazione di Hesse, indicata anche con il simbolo $9_4 12_3$, dato che vi sono 3 punti su ogni retta e 4 rette per ogni punto. Dal teorema di Sylvester-Gallai segue che la configurazione di Hesse non può essere realizzata su $\mathbb{R}$, cioè che i 9 flessi di una cubica liscia non possono avere tutti coordinate reali.

La configurazione di Hesse (fonte Wikipedia)

Riferimenti.

[BM90] P. Borwein, W. O. J. Moser: A survey of Sylvester's problem and its  generalizations, Aequationes mathematicae 40 (1), 111-135 (1990)

L'equazione funzionale di Cauchy

Problema. Supponiamo di avere una funzione $f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tale che $f(x+y)=f(x)+f(y)$ per ogni $x, \, y \in \mathbb{R}$. È vero che  $f$ è una funzione lineare, ossia della forma $f(x)= kx$ per un fissato $k \in \mathbb{R}$?

L’equazione funzionale

\begin{equation} \label{eq:Cauchy}
f(x+y)=f(x)+f(y)\tag{$*$}
\end{equation} è detta equazione funzionale di Cauchy. È facile rendersi conto che, se $f \colon \mathbb{Z}  \to  \mathbb{Z}$ verifica $(*)$, allora $f$ è lineare sugli interi. Infatti si ha

\begin{equation*}
f(2)=f(1+1)=f(1)+f(1)=f(1) \cdot 2,
\end{equation*} da cui, iterando, si ottiene $f(n)=f(1) \cdot n$, cioè $f(n)=kn$ con $k=f(1)$. Una semplice variante di questo argomento mostra che, se $f \colon \mathbb{Q}  \to \mathbb{Q}$ soddisfa l'equazione funzionale di Cauchy, allora $f$ è lineare sui razionali.

Quando invece si considerano funzioni $f  \colon \mathbb{R}  \to \mathbb{R}$, la natura delle soluzioni cambia radicalmente. Nel 1821, A. L. Cauchy dimostrò, nel suo seminale Cours d’Analyse, che ogni funzione reale che soddisfi $(*)$ e che sia anche continua è necessariamente lineare. Successivamente, nel 1875, G. Darboux provò che, per garantire la linearità, è sufficiente la continuità di $f$ in un solo punto [D75], e cinque anni dopo fece vedere che basta supporre che esista un intervallo nel quale $f$ sia monotona [D80].

La questione venne completamente risolta nel 1905 da G. Hamel [H05], dal cui lavoro risultò che la generica soluzione dell’equazione funzionale di Cauchy su $\mathbb{R}$ è una funzione patologica, cioè non lineare. Il procedimento di Hamel per ricavare le sue soluzioni patologiche era non costruttivo, e faceva uso di quella che oggi viene chiamata una base di Hamel di $\mathbb{R}$ come $\mathbb{Q}$-spazio vettoriale, la cui esistenza è equivalente all’assioma di scelta.

G. Hamel (fonte: Berliner Mathematische Gesellschaft)

Per quanto detto sopra, ogni soluzione patologica dell’equazione funzionale di Cauchy è necessariamente discontinua in ogni punto e non-monotona in ogni intervallo. Si può anche far vedere che ogni tale funzione è non-misurabile secondo Lebesgue. Per maggiori particolari sull’equazione funzionale di Cauchy e sulle proprietà delle sue soluzioni patologiche, il lettore può consultare [MSE423492].


Riferimenti.

[D75] G. Darboux: Sur la composition des forces en statique, Bulletin des Sciences Mathématiques et Astronomiques 9 (1875), 281-299.
[D80] G. Darboux: Sur le théorème fondamental de la Géométrie projective, Mathematische Annalen 17 (1880), 55-61.
[H05] G. Hamel: Eine Basis aller Zahlen und die unstetigen Lösungen der Funktionalgleichung $f(x+y)=f(x)+f(y)$, Mathematische Annalen 60 (1905), 459-462.
[MSE423492] https://math.stackexchange.com/questions/423492/overview-of-basic-facts-about-cauchy-functional-equation

Il progetto Polymath

La visione usuale che il profano ha del matematico è quella di un genio solitario che lavora duramente, e possibilmente nell’isolamento più totale, per trovare la soluzione a qualche problema enormemente difficile.

Sebbene ciò sia ancora vero in alcuni casi (si pensi alla storia della soluzione dell’Ultimo Problema di Fermat da parte di A. Wiles), in realtà i matematici moderni tendono sempre più spesso a collaborare fra loro, in modo da beneficiare ciascuno delle competenze e abilità degli altri. Tuttavia, il numero di persone che lavorano insieme ad un singolo progetto è in genere piuttosto basso, tre-quattro al massimo, nulla in confronto alle decine o addirittura centinaia di persone che possono firmare un lavoro di Medicina o di Fisica delle particelle.

Un’eccezione a questa regola è fornita dal Progetto Polymath, lanciato nel 2009 (quasi come esperimento sociale) dal matematico britannico T. Gowers, Medaglia Fields nel 1998, in un famoso post sul suo blog, dal titolo “Is massively collaborative mathematics possible?"

T. Gowers (fonte: Wikipedia)

Gowers si domandava se fosse possibile attaccare problemi matematici irrisolti per mezzo di uno sforzo collaborativo da attuare su una piattaforma virtuale, ed arrivare in tal modo ad una soluzione che fosse la sintesi del lavoro di un grande numero di persone.

Le 225 risposte al post segnarono la nascita di Polymath, che fino ad oggi ha dato vita a 16 progetti. Fra questi, i seguenti si sono rivelati particolarmente fruttuosi:

• Polymath 1, avente lo scopo di trovare una formula combinatoria per la densità nel teorema di Hales-Jewett. Il progetto ha visto la collaborazione di 40 persone, che hanno pubblicato due lavori sotto lo pseudonimo collettivo D.H.J. Polymath. 
• Polymath 5, avente lo scopo di risolvere il problema della discrepanza di Erdős. Il progetto non raggiunse il suo scopo; tuttavia, poco tempo dopo, T. Tao trovò una soluzione, basandosi anche su alcuni risultati parziali di Polymath 5. 
• Polymath 8, avente lo scopo di migliorare il bound di Y. Zhang sui primi a distanza limitata. Il progetto fu un successo, riuscendo ad abbassare il valore iniziale di circa 6 milioni ottenuto da Zhang fino a 4680. Successivamente, una ramificazione del progetto (Polymath8b) utilizzò delle nuove tecniche introdotte da J. Maynard per arrivare fino a 246. Questi risultati sono stati pubblicati in due articoli, il primo in Algebra e Number Theory e il secondo in  Research in Matematical Sciences, ancora una volta sotto lo pseudonimo D.H.J. Polymath. 

Nel 2016 è anche nato uno spin-off di Polymath chiamato Crowdmath, rivolto agli studenti delle scuole superiori e dei primi anni di università.

Curve che riempiono il quadrato

Alla fine dell'800, il sorprendente risultato di G. Cantor, secondo cui l'intervallo unitario $I=[0, \, 1]$
può essere messo in corrispondenza biunivoca con il quadrato $Q=I \times I$, aveva spinto i matematici a domandarsi se fosse possibile realizzare una corrispondenza biettiva e continua fra $I$ e $Q$.

La risposta risultò essere negativa: in termini moderni, siccome $I$ è uno spazio compatto e $Q$ è uno spazio di Hausdorff, per risultati standard di topologia generale una tale mappa dovrebbe essere
un omeomorfismo, il che è assurdo dato che $I$ può essere disconnesso togliendo un punto, mentre $Q$ non ha questa proprietà. 

Tuttavia, nel 1890, il matematico italiano G. Peano dimostrò il seguente sorprendente 

risultato [Pe890]:

Teorema. Esiste un'applicazione suriettiva e continua $\alpha \colon  I \to Q$.

In altre parole, Peano aveva scoperto l'esistenza di una curva continua che riempie tutto il quadrato, e che oggi viene appunto detta curva di Peano. Si tratta di un oggetto inaspettato, data l'idea intuitiva che in genere si possiede di "curva". Si noti che, per quanto osservato prima, la curva di Peano deve necessariamente auto-intersecarsi, dato che se $\alpha$ fosse iniettiva allora sarebbe un omeomorfismo. 

G. Peano (fonte Wikipedia)

La costruzione di Peano è basata su un procedimento di espansione ternaria dei numeri reali; leggendo l'articolo originale, però, ci si rende conto che l'autore aveva ben presente la costruzione della sua curva come limite uniforme di curve lineari a tratti. Questa idea venne esplicitata l'anno dopo da D. Hilbert, il cui lavoro [Hilb891] contiene il disegno delle successive iterazioni che convergono ad una curva che riempie il quadrato, una variante della curva di Peano oggi nota come curva di Hilbert.

Le prime sei iterazioni nella costruzione della curva di Hilbert (fonte Wikipedia).

Lievi modifiche delle costruzioni di Peano e Hilbert permettono di costruire curve continue che riempiono tutto l'ipercubo $n$-dimensionale $I^n$, ed anche curve (senza estremi) che riempiono lo spazio euclideo $n$-dimensionale $\mathbb{R}^n$. Per tali motivi si parla talvolta di  space-filling curves.

Oggi sono noti molti esempi di curve siffatte (curva di Sierpinski, curva di Moore, curva di Lebesgue). Sono tutti esempi di curve frattali, quindi non regolari. Infatti, dal lemma di Sard segue  che non può esistere una space-filling curve ovunque differenziabile. Si noti tuttavia che, mentre le curve di Peano e Hilbert non sono differenziabili in alcun punto, nell'esempio di Lebesgue si ha differenziabilità quasi ovunque.

L'esistenza di curve che riempiono il quadrato fa sorgere in modo naturale la seguente domanda:
è possibile caratterizzare gli spazi topologici che sono immagine continua dell'intervallo unitario $I$?
La risposta è affermativa, ed è fornita dal celebre

Teorema di Hahn–Mazurkiewicz. Uno spazio topologico $X$ è immagine continua di $I$ se e solo se $X$ compatto, connesso, localmente connesso e $2$-numerabile.

Infine, è anche possibile costruire curve continue e iniettive (ma non suriettive) $\alpha \colon I \to  Q$ la cui immagine ha area positiva: sono le cosiddette curve di Osgood.

Per maggiori dettagli sull'argomento di questo post, il lettore può consultare la monografia dedicata [Sa94].

Riferimenti:

[Pe890] G. Peano: Sur une courbe, qui remplit toute une aire plane,
Mathematische Annalen 36 (1) (1890), 157–160, doi:10.1007/BF01199438
[Hilb891] D. Hilbert: Ueber die stetige Abbildung einer Line auf ein Flächenstück,
Mathematische Annalen 38 (3) (1891): 459–460, doi:10.1007/BF01199431
[Sa94] H. Sagan: Space-Filling Curves, Universitext, Springer-Verlag (1994).