Una conseguenza del noto
teorema di Fermat è che un numero intero può essere rappresentato come somma di due quadrati se e solo se esso è non negativo e non contiene nella sua fattorizzazione alcun primo congruente a $3$ modulo $4$ elevato ad una potenza dispari
[1].
Viene dunque naturale chiedersi cosa accade su altri anelli commutativi: ad esempio, su $\mathbb{R}$ un elemento è somma di quadrati se e solo se è non negativo.
Un caso particolarmente interessante è quello dei campi finiti $\mathbb{F}_q$, dove $q$ è la potenza di un primo. In tal caso si ha infatti a disposizione il seguente importante risultato, vedi
[2, Chapter I, Corollary 2
]:
Teorema 1 (Chevalley). Ogni forma quadratica in tre variabili su un campo finito $\mathbb{F}_q$ ha almeno uno zero non banale.
In termini geometrici, ciò può esprimersi dicendo che ogni conica proiettiva su $\mathbb{F}_q$ ha un punto razionale (cioè, un punto a coordinate nel campo di definizione) e quindi, tramite proiezione stereografica da tale punto, essa è isomorfa alla retta proiettiva su $\mathbb{F}_q$.
Si noti che vi sono campi infiniti in cui esistono coniche proiettive senza alcun punto razionale; ad esempio la conica $X^2+Y^2 -3Z^2=0$ non ha punti definiti su $\mathbb{Q}$: ciò segue dal fatto che l’equazione diofantea deomogeneizzata $x^2+y^2-3=0$ non ha soluzioni in numeri razionali, vedi ad esempio
[3].
Come corollario del Teorema di Chevalley, otteniamo un sorprendente risultato sulla rappresentabilità di
ogni elemento di $\mathbb{F}_q$ come somma di quadrati. Nel seguito, diremo che una forma quadratica $Q$ su un $\mathbb{F}_q$-spazio vettoriale $V$ “rappresenta $a \in \mathbb{F}_q$” se esiste un vettore non nullo $v \in V$ tale che $Q(v)=a$.
Teorema 2. Ogni elemento del campo finito $\mathbb{F}_q$ si esprime come somma di due quadrati in $\mathbb{F}_q$.
Dimostrazione. Fissato $a \in \mathbb{F}_q$, si consideri la forma quadratica $X^2+Y^2-aZ^2$. Per il Teorema di Chevalley, essa ha uno zero non banale $(X_0, \, Y_0, \, Z_0)$.
Se $Z_0=0$, allora $Q(X, \, Y)=X^2+Y^2$ ha uno zero non banale $(X_0, \, Y_0)$ e, per risultati generali sulle forme quadratiche che ammettono vettori isotropi non nulli, segue che $Q$ rappresenta ogni elemento di $\mathbb{F}_q$, vedi
[2, Chapter IV, Corollary to Proposition 3
]. In particolare, essa rappresenta $a$ e abbiamo finito. Se invece $Z_0 \neq 0$ allora, posto $u=X_0/Z_0$ e $v=Y_0/Z_0$, otteniamo $u^2+v^2=a$ e possiamo di nuovo concludere.
$\Box$
È interessante notare che è possibile dare una semplice dimostrazione del Teorema 2 che non dipende dal Teorema 1, e che sfrutta invece il seguente argomento combinatorio.
Se $\mathrm{char}(\mathbb{F}_q)=2$, allora $x^2+y^2=(x+y)^2$, dunque $a$ è somma di quadrati in $\mathbb{F}_2$ se e solo se è esso stesso un quadrato, e ciò è sempre vero dato che in caratteristica $2$ la mappa $x \mapsto x^2$ è l’endomorfismo di Frobenius, che è suriettivo.
Supponiamo allora $\mathrm{char}(\mathbb{F}_q)$ dispari, nel qual caso i quadrati non-nulli di $\mathbb{F}_q$ formano un sottogruppo di indice $2$ del gruppo moltiplicativo $(\mathbb{F}_q)^*$, più precisamente essi sono il nucleo dell'omomorfismo $x \mapsto x^{(q-1)/2}$, che assume valori in $\{1, \, -1\}$, vedi
[2, Chapter I, Thm. 4
].
Pertanto, il sottoinsieme $S$ di tutti i quadrati di $\mathbb{F}_q$ consiste di $(q+1)/2$ elementi e, quindi, lo stesso vale per il suo traslato $a-S$. Siccome $\mathbb{F}_q$ possiede $q$ elementi, per il principio dei cassetti deve esistere uno di essi contenuto nell’intersezione $S \cap (a-S)$, cioè esistono $x, \, y \in \mathbb{F}_q$ tali che $x^2=a-y^2$, come volevamo.
Il riferimento bibliografico [2] è un grande classico, una lettura obbligata per chiunque sia interessato alla Teoria dei Numeri. Lo stile di J. P. Serre è, come sempre, preciso, conciso, dritto al punto: niente fronzoli, solo splendida Matematica.
Il titolo originale "Cours d'Arithmétique" viene dal fatto che, in francese, "Arithmétique" vuol dire sia "Aritmetica Elementare" che "Teoria dei Numeri", il che a volte è fonte di equivoci. Parecchi anni fa ero in metropolitana a Parigi e per qualche motivo lo stavo consultando, quando, ad un certo punto, una vecchina seduta di fianco a me indicò la copertina e, guardandomi fisso, mi disse "C'est très bien que, meme à votre âge, vous souhaitiez apprendre les choses de base!".
Riferimenti.
[1] https://en.wikipedia.org/wiki/Sum_of_two_squares_theorem[2] J. P. Serre: A course in Arithmetic, GTM
7, Springer 1973
[3] https://math.stackexchange.com/questions/2483195/proof-that-x2-y2-3-has-no-rational-solutions
