Matematici in pillole: André Weil

Il grande matematico francese André Weil (1906-1998), noto per il suoi contributi fondamentali alla Geometria Algebrica e alla Teoria dei Numeri, oltre che per essere uno dei membri fondatori del Gruppo Bourbaki, si trovava in Finlandia allo scoppio della Seconda Guerra Mondiale (settembre 1939), e fu lì coinvolto in una disavventura che solo per una buona dose di fortuna non andò a finire male.

Nel corso di una perquisizione nel suo appartamento di Helsinki, vennero infatti trovate delle lettere del matematico russo  L. Pontryagin e alcune di "N. Bourbaki, generale del principato di Poldavia" (una nazione fittizia inventata dai membri del gruppo). Ciò bastò a farlo scambiare per una spia russa, e il 30 novembre venne imprigionato in attesa di conoscere il suo destino.

Qualche giorno dopo, il capo della Polizia incontrò per caso ad un ricevimento il celebre matematico R. Nevanlinna, e gli disse: "Domani probabilmente fucileremo una spia russa, che afferma di essere un matematico e di conoscerla. In genere non l'avrei disturbata per una tale sciocchezza, ma visto che ci troviamo qui ho pensato che volesse farsi due risate". "Ah, e come dice di chiamarsi?" "André Weil".

Fonte: A. Weil, Souvenirs d'apprendissage, Birkhauser 1991.

A. Weil (fonte Wikipedia)

Dai neutrini agli autovettori, Atto II

''Chi cerca trova, chi ricerca ritrova.''
(E. De Giorgi)

Terry Tao e i suoi coautori hanno completamente riscritto ed ampliato il loro lavoro Eigenvectors from Eigenvalues sul calcolo delle (componenti al quadrato degli) autovettori di una matrice Hermitiana in funzione dei suoi autovalori, aggiungendo un review di oltre 20 dimostrazioni dello stesso risultato che, sotto più o meno mentite spoglie, erano già state pubblicate.

Usando le parole degli autori:

''Despite the simple nature of this identity and the extremely mature state of development of linear algebra, this identity was not widely known until very recently. In this survey we describe the many times that this identity, or variants thereof, have been discovered and rediscovered in the literature (with the earliest precursor we know of appearing in 1934).''

Senza il clamore successivo alla pubblicazione dell'articolo divulgativo di N. Wolchover su Quanta Magazine, questi risultati sarebbero stati probabilmente dimenticati.

La Figura 1 della nuova versione del lavoro mostra il grafo di citazione di tutti questi riferimenti bibliografici, che (come notato appropriatamente nell'articolo) è "very weakly connected": infatti, molti riferimenti iniziali non sono stati successivamente citati da quelli più recenti.

Le ragioni di questo sorprendente fatto non sono completamente chiare, e meritano di essere indagate. Come lo stasso Tao scrive nel suo blog:

''At the end of the paper we speculate on some possible reasons why this identity only achieved a modest amount of recognition and dissemination prior to the November 2019 Quanta article.''

Automorfismi di gruppi simmetrici

Se $G$ è un gruppo, diremo che un automorfismo di $f \colon G \to G$ è interno se esso si ottiene per coniugazione con un elemento fissato di $G$. Gli automorfismi interni formano un sottogruppo $\mathrm{Inn}(G)$ di $\mathrm{Aut}(G)$ che è caratteristico, in particolare normale; pertanto, si può considerare il gruppo quoziente $\mathrm{Out}(G) = \mathrm{Aut}(G)/\mathrm{Inn}(G)$, che è detto gruppo degli automorfismi esterni.

Per $G=S_n$, il gruppo simmetrico su $n$ elementi, sussiste il seguente sorprendente risultato.

• Se $n \neq 6$, allora ogni automorfismo di $S_n$ è interno, in altre parole $\mathrm{Inn}(S_n)=\mathrm{Aut}(S_n)$ e $\mathrm{Out}(S_n)= \{1\}$.
•  $\mathrm{Inn}(S_6)$ ha indice $2$ in $\mathrm{Aut}(S_6)$, dunque $\mathrm{Out}(S_6)=\mathbb{Z}_2$. 

La prima parte di questo teorema si basa su un semplice argomento combinatorio, vedi [Se40]. Per quanto riguarda la seconda parte, la scoperta del fatto che $S_6$ rappresenti un caso eccezionale per il gruppo degli automorfismi è dovuta a O. Hölder [H895]. Oggi sono note varie dimostrazioni, e qui riporteremo quella presentata in [Rot95].

Innanzitutto, si dimostra che esiste un sottogruppo transitivo $K$ di $S_6$ avente ordine $120$ e che non contiene trasposizioni. Ciò segue dal fatto che $S_5$ agisce transitivamente per coniugio sui sei $5$-Sylow di $S_6$, dando un monomorfismo $S_5 \to S_6$. Dunque $K$ è una "copia esotica” di $S_5$ in $S_6$ (si noti che le copie date dalle immersioni naturali fissano un elemento, dunque non sono transitive).

Dopodiché, si fa vedere che $K$ ha esattamente sei coniugati in $S_6$, e che pertanto l’azione di coniugio di $S_6$ sull’insieme $X$ di tali coniugati fornisce un omomorfismo di gruppi $S_6 \to \mathrm{Perm}(X)$; identificando $X$ con l’insieme $\{1, \ldots, 6\}$, ciò dà un omomorfismo
$f \colon  S_6 \to S_6$, che risulta essere un automorfismo.

L’automorfismo $f$ non è interno, dato che non manda trasposizioni in trasposizioni, mentre ogni automorfismo interno preserva la struttura ciclica. Ciò mostra che $\mathrm{Out}(S_6)$ è non banale. La dimostrazione viene quindi conclusa facendo vedere che $f^2$ è interno e che non esistono altri automorfismi non-interni, a meno di composizione con elementi di $\mathrm{Inn}(G)$.

Per ulteriori dettagli, altre costruzioni e riferimenti alla letteratura, il lettore può consultare la corrispondente pagina Wikipedia.


Riferimenti.

[H895] O.  Hölder : Bildung zusammengesetzter Gruppen, Mathematische Annalen 46 (1895).
[Rot95] J. Rotman: An introduction to the theory of groups, Springer 1995.
[Se40]I E. Segal: The automorphisms of the symmetric group, Bull. Amer. Math. Soc. 46 (1940), no. 6.

Pronte le stagioni 1, 1, 2 e 3

Fonte: Carlo Hebdo

Dai neutrini agli autovettori

Ho insegnato Algebra Lineare agli studenti di Matematica per molti anni, e ovviamente il classico Teorema Spettrale per matrici Hermitiane costituiva uno dei risultati fondamentali del mio corso. Eppure, se qualcuno mi avesse detto che è possibile calcolare gli autovettori di una matrice Hermitiana di ordine $n$ conoscendone solo i suoi autovalori e quelli delle sue sottomatrici principali di ordine $n-1$, probabilmente l’avrei guardato come si guarda un folle. Una risultato di questo tipo mi sarebbe sembrato troppo bello per poter essere vero.

Eppure, è vero. Il recente preprint Eigenvectors from Eigenvalues di P. B. Denton, S. J. Parke, T. Tao, X. Zhang fornisce infatti la seguente semplice e inattesa formula per il calcolo (del quadrato del modulo delle componenti) degli autovettori di una matrice Hermitiana in funzione dei soli autovalori.

Teorema. Sia $A$ una matrice Hermitiana $n \times n$ con autovalori $\lambda_i(A)$ e autovettori normalizzati $v_i$. Sia $M_j$ la sottomatrice di $A$ ottenuta rimuovendo la $j$-esima riga e la  $j$-esima colonna. Allora, indicata con ${(v_i)}_j$ le $j$-esima componente di $v_i$, si ha $$\begin{equation} \label{taoetal}|{(v_i)}_j|^2 = \prod_{k=1, \, k \neq i}^n (\lambda_i(A)-\lambda_k(A))=\prod_{k=1}^{n-1} (\lambda_i(A)-\lambda_k(M_j)) \tag{$\heartsuit$}\end{equation}$$

Ancora più incredibile del teorema è la storia della sua scoperta. Denton, Parke e Zhang, infatti, erano giunti a congetturare la formula $\eqref{taoetal}$ studiando un modello matematico che viene dalla Meccanica Quantistica e descrive il comportamento oscillatorio dei neutrini. Convinti che un risultato di questo tipo dovesse essere presente in ogni libro di Algebra Lineare, cercarono quindi un riferimento bibliografico da citare, ma invano. 

Dopo aver anche tentato invano di elaborare essi stessi una dimostrazione, a inizio agosto di quest’anno decisero di contattare T. Tao, vincitore della Medaglia Fields nel 2006 ed esperto internazionale di Teoria dei Numeri e Analisi Armonica. Con loro grande sorpresa, Tao rispose in poche ore, affermando di non aver mai visto niente del genere e fornendo nello stesso tempo tre differenti dimostrazioni dell’identità.

Dopodiché, si sa come vanno oggi queste cose: la notizia di un nuovo risultato per le care, vecchie matrici Hermitiane è diventata virale sui social network, e ha fatto il giro del mondo in poche ore.

Per una descrizione  dettagliata di questa affascinante collaborazione fra matematici e fisici, il lettore può consultare l’articolo ad essa dedicato da N. Wolchover su Quanta Magazine.

T. Tao nel 2006 (fonte Wikipedia)

Matematici in pillole: I.M. Gelfand

Il grande matematico sovietico I.M. Gelfand (1913-2009) organizzò un famoso seminario

alla Moscow State University, che si svolse ininterrottamente dal 1943 al 1989, anno in cui Gelfand si trasferì alla Rutgers University. Il seminario vide la partecipazione di

matematici del calibro di E. Szemerédi, A. Kirillov, E. Frenkel, J. Bernstein, A.Beilinson, ed era famoso, oltre che per l’elevata qualità scientifica, per la modalità padre-padrone con cui veniva gestito da Gelfand.

Esso si svolgeva ogni lunedi nel vasto auditorium al 14mo piano dell’Università, e consisteva di un pre-seminario, che cominciava alle 18, e del seminario vero e proprio, che iniziava verso le 19 e comunque non prima dell’arrivo di Gelfand. Le sedute si protraevano spesso fino alle 22, e terminavano solo perché ad un certo punto arrivava la signora delle pulizie che intimava ai professori di uscire, dato che doveva chiudere a chiave la sala.

Lo stile era fedele al modello russo, con il conferenziere che veniva bombardato senza tregua con domande e osservazioni durante tutta la durata del talk. Se, dopo tre ore, il poveretto dava segnali di cedimento, Gelfand chiedeva ad uno “studente controllore”, da lui personalmente invitato, di spiegare ciò di cui si era discusso. Nel caso malaugurato in cui egli non fosse capace di farlo, la conclusione era invariabilmente che vi era stata poca chiarezza da parte dello speaker, che veniva per questo pubblicamente redarguito.

Fonte:

A. Beilinson: I.M.Gelfand and his seminar -- a presence, arXiv:1505.00710.

Phil Gallis

Su Topolino di questa settimana è presente la storia "Zio Paperone e il cavatappi quadridimensionale", nella quale compare il matematico Phil Gallis (chiaro riferimento alla medaglia Fields Alessio Figalli).

Matematici in pillole: D. Hilbert

Il grande matematico tedesco D. Hilbert (1862-1943) aveva molte passioni, ma la letteratura non rientrava fra queste. Un giorno, gli fu detto che uno studente aveva abbandonato la Matematica per diventare romanziere. Col suo usuale umorismo tagliente, Hilbert replicò: "La cosa non  mi stupisce. Non aveva sufficiente immaginazione per essere un buon matematico".

Una qualità leggendaria di Hilbert era il suo poter immergersi totalmente in un problema, una volta che avesse cominciato a pensarci. C'è un famoso aneddoto a riguardo, forse apocrifo. Durante il periodo in cui Hilbert era ossessionato dall'Ipotesi di Riemann, si presentò da lui uno studente con una dimostrazione. Hilbert fu impressionato dalla profondità dell'argomento, ma trovò un errore che non fu possibile correggere. L'anno dopo lo studente purtroppo morì, e Hilbert chiese alla famiglia di poter tenere un breve discorso commemorativo durante il funerale. Cominciò lamentando la terribile perdita di un giovane così dotato, autore di una dimostrazione ingegnosa, anche se incorretta. Eppure, forse non tutto era perduto e l'argomento del ragazzo poteva essere salvato. "Infatti", continuò pensieroso Hilbert, in piedi sotto la pioggia accanto alla tomba, "si prenda una funzione di variabile complessa..."

Fonte:

C. Reid: Hilbert, pages 175, 163.

La vita violenta di Oswald Teichmüller

I, like everyone else, do not doubt your ability to instruct suitable students of whatever origin in the purely abstract aspects of mathematics. But I know that many academic courses, especially the differential and integral calculus, have at the same time educative value, inducting the pupil not only to a conceptual world but also to a different frame of mind. But since the latter depends very substantially on the racial composition of the individual, it follows that an Aryan student should not be allowed to be trained by a Jewish teacher.

Da una lettera di O. Teichmüller a E. Landau (1933).

Siamo abituati a considerare i matematici come persone razionali e dedite principalmente ai loro studi, ma la storia ci presenta svariati esempi in cui studiosi anche brillanti furono travolti da passioni violente e irrazionali, che oggi giudichiamo indegne. Un caso famoso è quello di O. Teichmüller [1, 2] (1913-1943), famoso per i suoi profondi studi sulle mappe quasi-conformi (che portarono alla teoria che oggi porta il suo nome [3]) e, nello stesso tempo, fanatico adepto del partito nazista.

Teichmüller nacque a Nordhausen, e fece i suoi studi universitari nella prestigiosa sede di Göttingen, dove ebbe come docenti del calibro di R. Courant, G. Herglotz, E. Landau, Otto Neugebauer e H. Weyl. Nel 1931 si iscrisse alle SA, il braccio militare del NSDAP, e in breve tempo divenne uno dei loro membri più attivi e il punti di riferimento del partito nella Facoltà di Scienze. Non è ben chiaro se il fanatismo nazista di Teichmüller fu causa o effetto della sua militanza nelle SA.

Uno degli episodi più famosi in cui venne coinvolto in quel periodo fu il boicottaggio delle lezioni di calcolo differenziale e integrale tenute da E. Landau, che era ebreo (e che infatti poco dopo venne costretto a dimettersi dall’università a causa delle nuove leggi fatte passare da Hitler, che escludevano gli ebrei dagli impieghi pubblici di ogni tipo).

Arrivato in aula per la lezione inaugurale del suo corso, Landau vi trovò un solo studente, dato che gli altri erano stati convinti a restare fuori da Teichmüller e i suoi compagni di partito. Landau convocò Teichmuller nel suo ufficio per parlare della faccenda, e alla fine dell'incontro chiese che il giovane mettesse per iscritto quanto gli aveva detto a voce. Il risultato fu un’incredibile lettera (uno stralcio della quale è citato all’inizio del post) che mostra come anche una mente brillante possa essere vittima di profonde forme di indottrinamento e difendere senza vergogna idee che oggi giudicheremmo inaccettabili.

Il successore di Landau a Göttingen fu H. Hasse, sotto la cui direzione Teichmüller scrisse la sua tesi di dottorato, intitolata Operatoren im Wachsschen Raum. L’argomento era basato su un corso in Teoria degli Operatori tenuto da F. Rellich, ma Teichmüller rifiutò di avere Rellich come supervisore, in quanto questi era stato in precedenza l’assistente di R. Courant, che era ebreo e come tale era scappato dalla Germania negli Stati Uniti nel 1933.

Gli interessi scientifici di Teichmüller cambiarono dopo che ottenne un posto all’Università di Berlino, dove venne influenzato dai lavori in Analisi Complessa di L. Bieberbach (un altro fanatico nazista) e R. Nevanlinna. Nel 1938 difese la sua tesi di Abilitazione Untersuchungen über konforme und quasikonforme Abbildungen, nella quale introduceva gli strumenti matematici sui quali si basa la sua fama: le mappe quasi conformi e lo spazio che porta il suo nome, che oggi sono parte essenziale della teoria analitica degli spazi di moduli di curve.

Dopo lo scoppio della Seconda Guerra Mondiale, Teichmüller venne arruolato nella Wehrmacht e successivamente, dopo la battaglia di Stalingrado, andò a combattere come volontario sul fronte orientale. Venne ucciso in battaglia nel 1943, mentre la sua unità cercava di raggiungere Kharkov.

Molti dei lavori di Teichmüller vennero pubblicati sulla rivista Deutsche Mathematik [4], diretta da Bieberbach e (almeno all’inizio) contenente anche articoli di propaganda per il NSDAP. Per questo motivo essa era presente in poche biblioteche in Europa, e ciò rese per lungo tempo difficile la lettura di Teichmüller in originale. Oggi esiste un Handbook of Teichmuller Theory [5], curato da A. Papadopoulos e pubblicato fra il 2007 e il 2016 dalla European Mathematical Society.

O. Teichmüller (fonte Wikipedia)

Riferimenti.

[1] https://en.wikipedia.org/wiki/Oswald_Teichm%C3%BCller

[2] http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Teichmuller.html
[3] https://en.wikipedia.org/wiki/Teichm%C3%BCller_space

[4] https://en.wikipedia.org/wiki/Deutsche_Mathematik

[5] https://bookstore.ams.org/emsilmtp-11/

Matematici in pillole: G. H. Hardy

Il famoso teorico dei numeri inglese G. H. Hardy (1877-1947) era un ateo convinto. Ciò nonostante, si divertiva molto a "prendere in giro Dio", cosa alquanto strana per un non credente.

Ad esempio, durante un viaggio in Danimarca con mare particolarmente agitato, spedì ad un amico una cartolina, nella quale affermava di avere dimostrato l'Ipotesi di Riemann. Era infatti sicuro che, così facendo, la nave non sarebbe naufragata, in quanto Dio non avrebbe permesso che un ateo come lui potesse avere la stessa fama postuma acquisita da Fermat col suo Ultimo Teorema.

Durante le partite di cricket (sport che adorava) era solito portarsi dietro quello che chiamava il suo "apparato anti-Dio": maglione, ombrello, libri e articoli scientifici da leggere. Secondo il suo ragionamento, siccome Dio lo vedeva convinto che sarebbe piovuto, per fargli dispetto avrebbe fatto splendere il sole. In tal modo, Hardy avrebbe potuto godersi l'incontro sportivo in tutta tranquillità.

Fonte:
http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Hardy.html

$\pi=4$?

Un famoso paradosso geometrico che ogni tanto rispunta fuori sul web è quello mostrato nella figura sottostante. Tramite un ingegnosa “inversione ripetuta degli angoli”, una circonferenza $C$ di diametro unitario viene approssimata uniformemente da una successione di curve poligonali $L_n$ di lunghezza costante $4$. Siccome la lunghezza di $C$ è per definizione uguale a $\pi$, passando al limite si ottiene $\pi=4$.

L’errore in questo ragionamento è piuttosto sottile ed è radicato profondamente nel significato di “lunghezza di una curva parametrizzata”. Il punto cruciale è che il calcolo di tale lunghezza (o, equivalentemente, il calcolo del suo parametro d’arco) coinvolge il calcolo della derivata della funzione parametrizzante, quindi se si vuole passare al limite delle lunghezze in modo corretto bisogna essere sicuri di avere un controllo anche sul limite delle derivate.

Infatti, è un risultato ben noto di Analisi Reale che se si ha una successione $x_n(t)$ di curve parametrizzate che converge ad una curva limite $x(t)$, non è detto che la lunghezza d’arco delle $x_n(t)$ converga alla lunghezza d’arco di $x(t)$.

Più generalmente, può accadere che due funzioni reali $f$, $g$ siano “molto vicine” fra loro su un intervallo compatto $I$, cioè $| f(t)-g(t) | <  \epsilon$ per ogni punto $t \in I$, ma le loro derivate rimangano “distanti”, ossia $|f’(t)-g’(t)| > c$ per una costante $c>0$.

Nel nostro caso, le poligonali $L_n$ approssimano uniformemente la circonferenza $C$ e l’area da esse racchiusa converge alla corrispondente area del cerchio, ma le loro lunghezze non approssimano la lunghezza della circonferenza, per la ragione spiegata sopra. Questo è un esempio del fatto contro-intuitivo (ma vero) che si può approssimare puntualmente una curva chiusa semplice e l'area da essa contenuta, senza necessariamente approssimarne la lunghezza.

Varianti di questo paradosso sono ottenute approssimando la diagonale di una quadrato con una successione di “curve a zig zag”, che forniscono il “valore” $\sqrt{2}=2$ (si tratta del cosiddetto “staircase paradox”).

Per ulteriori commenti e dettagli, il lettore può leggere i due interessanti thread su MathStackExchange [MSE12906] e [MSE43118].

Riferimenti.

[MSE12906] https://math.stackexchange.com/questions/12906/the-staircase-paradox-or-why-pi-ne4

[MSE43118] https://math.stackexchange.com/questions/43118/how-to-convince-a-layperson-that-the-pi-4-proof-is-wrong

Numeri di Fibonacci e potenze perfette

Tutti conoscono la successione di Fibonacci $F_n$, definita per ricorrenza come $$F_0=0, \quad F_1=1, \quad  F_n=F_{n-1}+F_{n-2}$$  e i cui primi termini sono $$0, \,1, \,1, \,2, \,3, \,5, \,8, \,13, \,21, \,34, \,55, \,89, \,144, \ldots$$ Una domanda naturale è quali siano numeri di Fibonacci che siano anche quadrati perfetti, o cubi perfetti o, più generalmente, $n$-esime potenze perfette. Semplici esperimenti al calcolatore suggeriscono la seguente

Congettura: Le sole potenze perfette nella successione di Fibonacci sono 1, 8, 144.

Come spesso accade in Teoria dei Numeri, un enunciato ingannevolmente semplice nasconde un problema molto difficile. Infatti, la Congettura è vera, ma la dimostrazione completa si è avuta solo pochi anni fa, per mezzo di tecniche simili a quelle utilizzate per la dimostrazione dell’Ultimo Teorema di Fermat.

Sembra che il problema sia stata proposto (indipendentemente) da Moser-Carlitz e Rollet nel 1963. Il caso dei quadrati fu risolto (ancora indipendentemente) da Cohn e Wyler nel 1963. Quello per i cubi è invece un risultato della dissertazione dottorale di Finkelstein (1964).

Nei decenni successivi furono proposte varie dimostrazioni per specifici valori di $n$, finché il caso generale venne risolto nel 2006 da Bugeaud, Mignotte and Siksek in un complesso lavoro su Annals of Mathematics [1].

Per ulteriori dettagli, il lettore può consultare il post su MathOverflow [2] e il survey paper [3].

Riferimenti.

[1] Y. Bugeaud, M. Mignotte, S. Siksek: Classical and modular approaches to exponential Diophantine equations. I. Fibonacci and Lucas perfect powers, Annals of Mathematics 163 (2006), 969-1018.

[2] https://mathoverflow.net/questions/1624/is-8-the-largest-cube-in-fibonacci-sequence

[3] V. Andreijc: On Fibonacci powers, Univ. Beograd. Publ. Elektrotehn. Fak., Ser. Math 17 (2006), 38-44.

La congettura di Pólya

Considerato l’insieme $M(n)$ dei numeri naturali minori o uguali a $n$, possiamo considerare la sua partizione formata dai due sottoinsiemi $O(n)$ e $E(n)$, dove $O(n)$ sono gli elementi di $M(n)$ aventi un numero dispari di fattori primi (contati con molteplicità) e $E(n)$  sono quelli aventi un numero pari di fattori primi.

Nel 1919, il matematico ungherese G. Pólya congetturò [1] che $O(n)$ è sempre più numeroso di $E(n)$, ossia che “più della metà” dei numeri naturali possiede un numero dispari di fattori primi distinti. Questa divenne nota come congettura di Pólya [2].

In termini tecnici, la congettura di Polya si può esprimere come $$L(n) = |E(n)|-|O(n)|= \sum_{k=1}^n \lambda(k)  \leq 0,$$ dove $\lambda(k)$  è la funzione di Liouville, che vale $1$ se $k$ ha un numero pari di fattori primi (sempre contati con molteplicità) e $-1$ altrimenti.

La congettura di Pólya è verificata fino a valori di $n$ superiori a $900$ milioni.  Tuttavia, essa venne confutata da C. B. Haselgrove nel 1958 [3], e il primo controesempio esplicito ($n=906180359$, per il quale $L(n)=1$) venne esibito da R. S. Lehman nel 1960 [4]. Oggi si sa che il più piccolo controesempio è $n = 906150257$, come dimostrato da M. Tanaka nel 1980 [5].

Questo è un tipico esempio che mostra come la mera evidenza numerica di un dato risultato aritmetico, anche per numeri che ci sembrano piuttosto grandi, implica ben poco riguardo la sua validità generale.

I primi valori di $n$ per i quali $L(n)=0$ sono $$n=2, \, 4, \, 6, \, 10, \,16, \, 26, \, 40, \, 96, \, 586, \, 906150256, \ldots$$

vedi la successione OEIS A028488. Recentemente, è stato dimostrato che la funzione $L(n)$ cambia segno infinite volte, vedi [6] e [7].

G. Pólya (circa 1973, fonte Wikipedia)

Riferimenti.

[1] G. Pólya: Verschiedene Bemerkungen zur Zahlentheorie, Jahresber. deutschen Math.-Verein. 28 (1919), 31-40.

[2] https://en.wikipedia.org/wiki/P%C3%B3lya_conjecture

[3] C. B. Haselgrove: A Disproof of a Conjecture of Pólya, Mathematika 5 (1958), 141-145.

[4] R. S. Lehman: On Liouville's Function,  Math. Comput. 14 (1960), 311-320.

[5] M. Tanaka: A Numerical Investigation on Cumulative Sum of the Liouville Function,  Tokyo J. Math. 3 (1980), 187-189.

[6] P. Borwein, R. Ferguson, M. J. Mossinghoff: Sign Changes in Sums of the Liouville Function, Mathematics of Computation 77 (2008), no. 263, 1681–1694.

[7] P. Humphries: The distribution of weighted sums of the Liouville function and Pólya’s conjecture, Journal of Number Theory 133 (2013), 545–582.

Occhi azzurri e occhi neri

Non sono un grande fan degli indovinelli logici, ma ogni tanto ne incontro qualcuno che stuzzica la mia curiosità.

In particolare, sono attratto da quelli nei quali vengono proposte due soluzioni, entrambe

apparentemente senza errori, che portano a conclusioni opposte. Trovare la fallacia in una di esse (o in entrambe) permette di analizzare in modo più approfondito alcuni modi di ragionare, la cui correttezza diamo in genere per scontata, e può fornire interessanti riflessioni di tipo epistemologico.

Uno di questo tipo nel quale mi sono imbattuto di recente è il seguente, del quale esistono diverse varianti e che chiamerò qui “Occhi azzurri e occhi neri”.

In una lontana isola vive una popolazione di 200 persone, 100 con gli occhi azzurri e 100 con gli occhi neri. Parlare del colore degli occhi è tabù nell’isola, per cui ognuno conosce il colore degli occhi dei restanti 199 abitanti, ma non quello dei suoi.  In più, se per qualche motivo uno scopre il colore dei propri occhi, la religione dell’isola (che tutti seguono alla lettera) lo costringe a commettere suicidio rituale a mezzogiorno del giorno dopo. Infine, tutti gli abitanti dell’isola sono estremamente logici, nel senso che ogni conclusione che può essere tratta logicamente da alcune premesse diventa immediatamente e automaticamente patrimonio della collettività.  Un giorno, un forestiero con gli occhi azzurri arriva sull’isola e vi resta qualche tempo. Andando via, pronuncia un discorso di ringraziamento di fronte all’intera tribù e, dimenticando il tabù che vi regna, esclama “Che strano vedere qui qualcuno con gli occhi azzurri come me!”

Questa gaffe del forestiero ha conseguenze? Se si, quali?

Soluzione 1. La gaffe non ha nessuna conseguenza. Infatti, ciascuno dei 200 abitanti poteva già vedere intorno a sé persone con gli occhi azzurri (100 o 99, a seconda del colore dei suoi occhi), dunque la frase pronunciata dallo straniero non aggiunge nulla al patrimonio di conoscenza di ciascuno.

 Soluzione 2. 100 giorni dopo la gaffe, tutti gli isolani con gli occhi azzurri commettono  suicidio rituale. Il ragionamento è il seguente. Passo 1. Se vi fosse un solo isolano con gli occhi azzurri, egli vedrebbe intorno a lui solo isolani con gli occhi neri. Dunque la gaffe del forestiero gli farebbe capire immediatamente il colore dei suoi occhi, e il giorno dopo si dovrebbe suicidare. Passo 2. Immaginiamo vi siano esattamente due isolani con gli occhi azzurri, diciamo X e Y. Allora X pensa: se io non ho gli occhi azzurri, segue subito che Y è l’unico con gli occhi azzurri, dunque domani commetterà suicidio (vedi Passo 1). Ovviamente, Y ragiona in modo analogo. Visto che il giorno dopo nessuno si suicida, sia X che Y capiscono di avere gli occhi azzurri, e il giorno dopo ancora si uccidono entrambi.Per induzione, si arriva al Passo 100, cioè alla conclusione che tutti i 100 isolani con gli occhi azzurri si suicideranno dopo 100 giorni (osserviamo che, se per qualche motivo fosse noto a priori che esistono solo due colori di occhi, allora i restanti 100 isolani si suiciderebbero tutti il giorno dopo ancora, ma questo non è rilevante in questa sede).

La soluzione corretta al rompicapo è la Soluzione 2: per quanto apparentemente insignificante, la gaffe dello straniero contiene in realtà una quantità di informazione aggiuntiva sufficiente ad innescare il processo logico-deduttivo che porta, dopo 100 giorni, al suicidio di massa degli isolani con gli occhi azzurri.

La nozione tecnica rilevante qui è quella di “common knowledge” [1]: per determinare il comportamento degli isolani non è importante solo ciò che il singolo individuo conosce degli altri isolani, ma anche ciò che ogni individuo conosce rispetto alla conoscenza altrui.

Siccome che la popolazione sia formata da 200 individui non è ovviamente essenziale, supponiamo in generale che sull’isola vi siano $2n$ persone, $n$ con gli occhi azzurri e $n$ con gli occhi neri. Al giorno $0$, fino al momento immediatamente precedente la gaffe dello straniero, la common knowledge è

$(1)$ ogni isolano sa che vi sono almeno $n-1$ isolani con gli occhi azzurri.

Questa è una situazione di equilibrio, che può durare per sempre dato che, ragionando logicamente a partire da $(1)$, nessuno ha modo di conoscere il colore dei propri occhi.

Subito dopo la gaffe dello straniero, la common knowledge risulta modificata in modo radicale, tanto che tutti gli individui con gli occhi azzurri si suicidano insieme dopo n giorni.

Per comprendere come la gaffe dello straniero modifica la common knowledge, consideriamo il toy model con $n=2$, cioè $2+2$ isolani, e supponiamo che quelli con gli occhi azzurri si chiamino $X$ e $Y$.

Prima del discorso del forestiero, $X$ sa che esistono sull’isola persone con gli occhi azzurri (per via di $(1)$) ma non sa che anche $Y$ lo sa. Analogamente, $Y$ sa che esistono sull’isola persone con gli occhi azzurri, ma non sa che anche $X$ lo sa.

Immediatamente dopo la gaffe del forestiero, la common knowledge di $X$ e $Y$ risulta invece la seguente:

$(1)$ entrambi $X$ e $Y$ sanno che vi è almeno un isolano con gli occhi azzurri

$(2)$ $X$ sa che $Y$ sa che vi è almeno un isolano con gli occhi azzurri, e viceversa.

La modifica della common knowledge data da $(2)$ agisce come detonatore, innescando l’induzione e dunque il suicidio di $X$ e $Y$ dopo 2 giorni.

È importante osservare che $(2)$ non sarebbe possibile senza la gaffe dello straniero, e che è fondamentale che il discorso dello straniero sia pubblico: infatti, se lo straniero si limitasse a pronunciare la sua frase nell’orecchio di ciascun isolano dopo averlo preso in disparte, non accadrebbe nulla, dato che in tal caso non vi sarebbe alcuna variazione nella "conoscenza della conoscenza".

Il caso con $n ≥ 3$ isolani si tratta induttivamente nello stesso modo, con variazioni della common knowledge del tipo “$X$ sa che $Y$ sa che $Z$ sa che vi è almeno un isolano con gli occhi azzurri” e via discorrendo.

Questo interessante e sottile rompicapo è stato analizzato molte volte, dato che si presta a differenti interpretazioni di tipo sia logico che epistemologico. La medaglia Fields T. Tao vi ha dedicato un post [2] nel suo famoso blog, e ulteriori stimolanti discussioni si possono trovare nei thread [3] e [4].

Riferimenti.

[1] https://en.wikipedia.org/wiki/Common_knowledge
[2] https://terrytao.wordpress.com/…/the-blue-eyed-islanders-p…/
[3] https://puzzling.stackexchange.com/…/in-the-100-blue-eyes-p…
[4] https://math.stackexchange.com/…/100-blue-eyed-isla…/490546…

Commuting in Lisbon

Aeroporto di Lisbona: un celebre ritratto di Niels Henrik Abel (1802-1829) sulla coda di un aereo della Norwegian Airlines.

Strade portoghesi

Passeggiare per le strade di Coimbra, sede di una delle più antiche università d'Europa, può riservare piacevoli sorprese.

Lezioni perfette danno risultati perfetti?

Siamo ormai a fine luglio, e chi a settembre insegnerà per la prima volta un nuovo corso
(come nel mio caso) comincia a pensare a che libri di testo adottare e a come strutturare
le lezioni.

Personalmente, ho sempre cercato di adottare un approccio abbastanza rigoroso e lineare alla materia: esempi elementari per motivare le definizioni, lemmi, proposizioni, teoremi, dimostrazioni complete, altri esempi più sofisticati, controesempi che mostrino l'importanza delle ipotesi. E infine, ovviamente, esercizi  da svolgere a casa per consolidare le nozioni apprese in classe.

Probabilmente, cerco di riprodurre in aula il tipo di lezione che piace a me.

In un certo senso, quindi, anch'io tendo a svolgere una sorta di "lezione perfetta", in cui tutti i pezzi si incastrino alla perfezione e che lasci gli studenti sorpresi ed entusiasti, come dopo un bel film. Una lezione nella quale nulla sia lasciato al caso, ogni cosa sia spiegata per filo e per segno,
e che magari si concluda con un bel risultato inaspettato ottenuto come corollario della teoria generale, una specie di colpo di scena finale alla Black Mirror (uno dei miei esempi preferiti è il Teorema di Perron-Frobenius  ricavato come conseguenza del teorema del Punto Fisso di Brouwer).

Tuttavia, a volte mi chiedo se questo sia l'unico approccio possibile, o perfino se sia davvero quello che fornisca i migliori risultati in termini di apprendimento.  In alcuni momenti ho l'impressione che la "lezione perfetta" nel senso di cui sopra sia uno show del docente, e che gli studenti siano dopotutto soggetti passivi ai quali si fornisce del materiale perfettamente pre-digerito, la cui assimilazione è dunque (relativamente) facile ma che, nel lungo periodo, dà loro poche competenze in ambito di problem-solving, per usare una espressione di cui oggi forse si abusa.

E infatti, almeno per quanto riguarda la mia esperienza personale, la parte che gli studenti trovano più difficile non è studiare la teoria, che magari conoscono per filo e per segno, ma svolgere gli esercizi. Forse lezioni troppo chiare e dettagliate li disabituano allo sforzo necessario per comprendere un enunciato e provare a dimostrarlo in autonomia?

Quando ero studente, c'erano docenti che si vantavano addirittura di compiere appositamente degli errori durante la lezione, in modo da testare il senso critico dell'uditorio, costringerlo ad un'attenzione costante ed evitare l'effetto "pappa pronta". Questo tipo di provocazioni mi ha sempre lasciato diffidente, sia perché non mi piace scrivere  enunciati o dimostrazioni sbagliati, neanche per di una buona causa, sia perché dopotutto ritengo di essere pagato per insegnare, non per svolgere esperimenti sociali in aula.

Mi domando però se metodi alternativi alla lezione frontale, tipo le "flipped classroom" che oggi vanno tanto di moda in alcune scuole superiori, possano aiutare in tal senso, e se sia davvero possibile implementarli con successo in un corso universitario di Matematica.

Alla fine,  lezioni perfette danno davvero risultati perfetti, o bisognerebbe cominciare ad approcciarsi alla didattica (anche) in modo diverso?

Campi finiti e somma di quadrati

Una conseguenza del noto teorema di Fermat è che un numero intero può essere rappresentato come somma di due quadrati se e solo se esso è non negativo e non contiene nella sua fattorizzazione alcun primo congruente a $3$ modulo $4$ elevato ad una potenza dispari [1].

Viene dunque naturale chiedersi cosa accade su altri anelli commutativi: ad esempio, su $\mathbb{R}$ un elemento è somma di quadrati se e solo se è non negativo.

Un caso particolarmente interessante è quello dei campi finiti $\mathbb{F}_q$, dove $q$ è la potenza di un primo. In tal caso si ha infatti a disposizione il seguente importante risultato, vedi [2, Chapter I, Corollary 2]:

Teorema 1 (Chevalley). Ogni forma quadratica in tre variabili su un campo finito $\mathbb{F}_q$ ha almeno uno zero non banale. 

In termini geometrici, ciò può esprimersi dicendo che ogni conica proiettiva su $\mathbb{F}_q$ ha un punto razionale (cioè, un punto a coordinate nel campo di definizione) e quindi, tramite proiezione stereografica da tale punto, essa è isomorfa alla retta proiettiva su $\mathbb{F}_q$.

Si noti che vi sono campi infiniti in cui esistono coniche proiettive senza alcun punto razionale; ad esempio la conica $X^2+Y^2 -3Z^2=0$ non ha punti definiti su $\mathbb{Q}$: ciò segue dal fatto che l’equazione diofantea deomogeneizzata $x^2+y^2-3=0$ non ha soluzioni in numeri razionali, vedi ad esempio [3].

Come corollario del Teorema di Chevalley, otteniamo un sorprendente risultato sulla rappresentabilità di ogni elemento di $\mathbb{F}_q$ come somma di quadrati. Nel seguito, diremo che una forma quadratica $Q$ su un $\mathbb{F}_q$-spazio vettoriale $V$ “rappresenta $a \in \mathbb{F}_q$” se esiste un vettore non nullo $v \in V$ tale che $Q(v)=a$.

Teorema 2. Ogni elemento del campo finito $\mathbb{F}_q$ si esprime come somma di due quadrati in $\mathbb{F}_q$.

Dimostrazione. Fissato $a \in \mathbb{F}_q$, si consideri la forma quadratica $X^2+Y^2-aZ^2$. Per il Teorema di Chevalley, essa ha uno zero non banale $(X_0, \, Y_0, \, Z_0)$.

Se $Z_0=0$, allora $Q(X, \, Y)=X^2+Y^2$ ha uno zero non banale $(X_0, \, Y_0)$ e, per risultati generali sulle forme quadratiche che ammettono vettori isotropi non nulli, segue che $Q$ rappresenta ogni elemento di $\mathbb{F}_q$, vedi [2, Chapter IV, Corollary to Proposition 3]. In particolare, essa rappresenta $a$ e  abbiamo finito. Se invece $Z_0 \neq 0$ allora, posto $u=X_0/Z_0$ e $v=Y_0/Z_0$, otteniamo $u^2+v^2=a$ e possiamo di nuovo concludere.

                                                                                                                                                 $\Box$

È interessante notare che è possibile dare una semplice dimostrazione del Teorema 2 che non dipende dal Teorema 1, e che sfrutta invece il seguente argomento combinatorio. 

Se $\mathrm{char}(\mathbb{F}_q)=2$, allora $x^2+y^2=(x+y)^2$, dunque $a$ è somma di quadrati in $\mathbb{F}_2$ se e solo se è esso stesso un quadrato, e ciò è sempre vero dato che in caratteristica $2$ la mappa $x \mapsto x^2$ è l’endomorfismo di Frobenius, che è suriettivo.

Supponiamo allora $\mathrm{char}(\mathbb{F}_q)$ dispari, nel qual caso i quadrati non-nulli di $\mathbb{F}_q$ formano un sottogruppo di indice $2$ del gruppo moltiplicativo $(\mathbb{F}_q)^*$, più precisamente essi sono il nucleo dell'omomorfismo $x \mapsto x^{(q-1)/2}$, che assume valori in $\{1, \, -1\}$, vedi [2, Chapter I, Thm. 4].

Pertanto, il sottoinsieme $S$ di tutti i quadrati di $\mathbb{F}_q$ consiste di $(q+1)/2$ elementi e, quindi, lo stesso vale per il suo traslato $a-S$. Siccome $\mathbb{F}_q$ possiede $q$ elementi, per il principio dei cassetti deve esistere uno di essi contenuto nell’intersezione $S \cap (a-S)$, cioè esistono $x, \, y \in \mathbb{F}_q$ tali che $x^2=a-y^2$, come volevamo.

Il riferimento bibliografico [2] è un grande classico, una lettura obbligata per chiunque sia interessato alla Teoria dei Numeri. Lo stile di J. P. Serre è, come sempre, preciso, conciso, dritto al punto: niente fronzoli, solo splendida Matematica. 

Il titolo originale "Cours d'Arithmétique" viene dal fatto che, in francese, "Arithmétique" vuol dire sia "Aritmetica Elementare" che "Teoria dei Numeri", il che a volte è fonte di equivoci.  Parecchi anni fa ero in metropolitana a Parigi e per qualche motivo lo stavo consultando, quando, ad un certo punto, una vecchina seduta di fianco a me indicò la copertina e, guardandomi fisso, mi disse "C'est très bien que, meme à votre âge, vous souhaitiez apprendre les choses de base!".

Riferimenti.

[1] https://en.wikipedia.org/wiki/Sum_of_two_squares_theorem
[2] J. P. Serre: A course in Arithmetic, GTM 7, Springer 1973
[3] https://math.stackexchange.com/questions/2483195/proof-that-x2-y2-3-has-no-rational-solutions

Terne pitagoriche monocromatiche e meccanizzazione della Matematica

Un famoso problema, posto da R. Graham, chiedeva se sia possibile colorare gli interi positivi con due colori (ad esempio, rosso e blu), in modo tale che non esista alcuna terna pitagorica monocromatica, cioè, nessuna tripla $a, \,b, \, c$ di interi dello stesso colore e tali che $a^2+b^2=c^2$.

Nel 2016, la questione venne risolta in senso negativo da tre informatici, M. Heule, O. Pullman e V. Marek, i quali dimostrarono il seguente risultato [HPM16]:

Teorema. Esiste una bi-colorazione di $\{1, \ldots, 7824\}$ che non contiene nessuna terna pitagorica monocromatica. Invece, non esiste nessuna tale bi-colorazione per $\{1, \ldots, 7825\}$.

La dimostrazione di questo enunciato è stata ottenuta utilizzando in modo essenziale il calcolatore. Più precisamente, i tre autori hanno costruito, per ogni $n$, una formula preposizionale che descrive una bi-colorazione di $\{1, \ldots, n\}$ senza terne pitagoriche monocromatiche. Successivamente, hanno implementato questa formula in un software specificamente progettato per la Logica Matematica (‘’SAT solver’’), cercando soluzioni per specifici valori di $n$.

Per $n=7824$ la ricerca è stata coronata da successo, e il software ha fornito una bi-colorazione esplicita che risolve il problema. Per $n=7825$, invece, nessuna tale colorazione è stata trovata.

Ovviamente, nel caso “negativo”, è rischioso accettare il responso del computer come una dimostrazione rigorosa della non-esistenza di una soluzione. Infatti, bisogna innanzitutto essere sicuri che l’algoritmo sia corretto ed esaustivo e che la macchina funzioni perfettamente; inoltre, molti matematici non sono pronti a considerare come soddisfacente una dimostrazione di impossibilità che non possa essere verificata “a mano’’ (si ricordi il famoso caso del Teorema dei Quattro Colori).

Heule, Pullman e Marek hanno dunque deciso di codificare la dimostrazione per mezzo di un procedimento di “validazione formale del risultato”, che ha prodotto un certificato di 68 gigabyte, che che è stato reso pubblicamente disponibile e contiene abbastanza informazioni per permettere a chiunque (almeno in linea di principio) di riprodurre la dimostrazione.

Questo esempio mostra che siamo arrivati ad un punto nel quale le dimostrazioni “computer assisted” cominciano a diventare essenziali in Matematica, facendoci riconsiderare (almeno in alcuni casi) il nostro concetto di “dimostrazione rigorosa”. Tutto ciò apre scenari affascinanti, e per certi versi inquietanti, sulla “meccanizzazione della Matematica”, che sarebbe troppo lungo considerare qui; il lettore interessato può leggere ad esempio [Av18].

Riferimenti.

[HPM16] M. Heule, O. Pullman e V. Marek: Solving and verifying the Boolean Pythagorean Triples via Cube-an-Conquerer, arXiv:1605.00723.

[AV18] J. Avigad: The Mechanization of Mathematics, Notices AMS 65, number 6 (2018).

Le due culture in Matematica

"I was thinking more of the tendency today for people
to develop whole areas of mathematics on their own,
in a rather abstract fashion. They just go on beavering
away. If you ask what is it all for, what is its signifi-
cance, what does it connect with, you find that they
don't know."
M. F. Atiyah [1]

Ai matematici capita spesso di lamentarsi del fatto che la Matematica (a differenza della Poesia, della Letteratura o della Filosofia) non sia ancora vista come una parte indispensabile del patrimonio culturale collettivo. Dopotutto, quante volte abbiamo incontrato persone, anche molto colte, affermare candidamente con un sorrisetto "eh, io di Matematica non ci capisco proprio nulla"? Eppure, nessuno avrebbe il coraggio di sostituire "Matematica" con "Shakespeare" senza il timore di apparire goffamente ignorante.

È quindi un po' paradossale che anche i matematici, all'interno della loro comunità, tendano a volte a replicare, più o meno inconsapevolmente, atteggiamenti di questo tipo. Capita, ad esempio, che i "theory builders" guardino con sufficienza i "problem solvers", e viceversa. 

Non è raro che, dopo aver studiato per anni il formalismo fortemente astratto della Geometria Algebrica moderna (quello sviluppato da Grothendieck negli EGA, per intenderci), uno si senta autorizzato ad alzare il sopracciglio verso chi si dedica a "semplici" problemi di Combinatoria; allo stesso modo, chi si dedica alla Combinatoria può considerare il Geometra Algebrico à la Grothendieck come uno snob spocchioso che non è in grado neanche di sporcarsi le mani con un semplice problema di colorazione di un grafo.

Ovviamente, il discorso precedente è una iper-semplificazione, dato che molti matematici sviluppano teorie proprio allo scopo di risolvere problemi (il viceversa, tuttavia, è molto meno frequente). A volte però, come acutamente osservato da M. Atiyah nella citazione iniziale, la ricerca dell'astrazione viene fatta per sè, escludendo a priori qualsiasi tentativo di applicazione della teoria o di ibridazione fra le due "culture".

Il risultato è una mancanza di comunicazione all'interno della comunità che, se da una parte rallenta intrinsecamente la ricerca scientifica, dall'altra può avere implicazioni devastanti per la carriera delle persone: non è infrequente che un "theory builder" duro e puro si trovi in una commissione che deve giudicare un candidato "problem solver" o viceversa, con risultati immaginabili in fase di valutazione.

L'argomento è chiaramente troppo vasto per un semplice post; il lettore interessato può trovare una bella analisi nell'articolo di W. T. Gowers The two cultures in mathematics [2], che contiene anche una serie importante di esempi che mostrano come Matematica Discreta e Combinatoria, lungi dall'essere solo una vasta collezione di problemi individuali e di risultati sparsi, contengono al loro interno principi generali di vasta applicabilità, anche se la struttura soggiacente è meno esplicita che nel caso della Geometria Algebrica o dell'Analisi Funzionale.

Esempi illuminanti sono la dimostrazione di P. Erdős del Teorema di Ramsey per mezzo di una "colorazione random" (che, usando le parole di Gowers, "opened the floodgates of probabilistic arguments in combinatorics") e quella di V. Milman del Teorema di Dworesky  per mezzo di un argomento di tipo "concentrazione della misura" che, oltre a dare il via all'analisi geometrica asintotica negli spazi di Banach, si è rivelato fecondo in altre parti della Matematica come l'Analisi Armonica e la Teoria delle PDE. 

L'articolo di Gowers termina con l'auspicio di una maggiore collaborazione fra i matematici appartenenti alle due "culture", pur osservando che "collaboration of this kind would require greater efforts on the part of problem-solvers to learn a bit of theory, and greater sympathy on the part of theoreticians towards mathematicians who do not know what cohomology is".

Magari ha senso concludere questo post come è iniziato, ovvero con una citazione di Atiyah [3]:

"... the ultimate justification for doing mathematics is intimately related with its overall unity. If we grant that, on purely utilitarian grounds, mathematics justifies itself by some of its applications, then the whole of mathematics acquires a rationale provided it remains a connected whole. Any part that drifts away from the main body of the field has then to justify itself in a more direct fashion".

Riferimenti.

[1] An interview with M. Atiyah, The Mathematical Intelligencer 6 (1984), 9-19
https://link.springer.com/content/pdf/10.1007%2FBF03024202.pdf
[2] W. T. Gowers: The two cultures in Mathematics
https://www.dpmms.cam.ac.uk/~wtg10/2cultures.pdf
[3] M. F. Atiyah, Identifying progress in mathematics, ESF conference in Colmar, C.U.P. (1985), 24-41.

La costante di Apéry

È ben noto che i valori della funzione zeta di Riemann calcolati negli interi positivi pari possono essere espressi in termini dei numeri di Bernoulli $B_n$, e più precisamente che vale l'identità
$$\begin{equation*}  \zeta(2n) = (-1)^{n+1} B_{2n} \frac{(2 \pi) ^{2n}}{2 (2n)!}. \end{equation*}$$ Siccome i numeri di Bernoulli sono razionali, segue che i valori $\zeta(2n)$ sono multipli razionali di potenze di $\pi$, in particolare per $n \geq1$ sono tutti numeri trascendenti. I primi valori di $\zeta(2n)$ sono i seguenti:

$\zeta(0) = -1/2$
$\zeta(2) = \pi^2/6$ (un celebre risultato d Eulero noto come identità di Basilea)
$\zeta(4) = \pi^4/90$
$\zeta(6) = \pi^6/945$

e, in generale, gli interi $a_n, \, b_n$ che compaiono nell'identità

$$\begin{equation*} a_n \zeta(2n) = b_n \pi^{2n} \end{equation*}$$ sono rispettivamente gli elementi delle successioni OEIS A002432 e A046988.

Per quanto riguarda i valori $\zeta(2n+1)$ della funzione zeta calcolata negli interi positivi dispari, si sa invece molto di meno. 

Il valore $\zeta(1)$ corrisponde alla somma della serie armonica $$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \ldots,$$ che è divergente, e infatti $\zeta(s)$ ha un polo in $s=1$.  

Il valore successivo $$\zeta(3) = 1 + \frac{1}{2^3} + \frac{1}{3^3} + \frac{1}{4^3} + \ldots \simeq 1.20205$$ è detto costante di Apéry, in onore del matematico francese R. Apéry che nel 1978 ne dimostrò l'irrazionalità [A79]. Dimostrazioni più semplici vennero in seguito proposte da F. Beuker [B79] e W. Zudilin [Z02]. Non è noto al momento se la costante di Apéry sia un numero trascendente. 

Il reciproco $1/\zeta(3) \simeq 0.831912 \ldots$ rappresenta la probabilità che tre numeri "scelti a caso" siano relativamente primi. Curiosamente, il valore $\zeta(3)$ compare anche in Elettrodinamica Quantistica, nel calcolo del momento angolare dell'elettrone.

Non è noto un analogo del Teorema di Apéry per altri valori del tipo $\zeta(2n+1)$, ma si hanno alcuni risultati parziali. Sappiamo ad esempio che infiniti tali valori sono irrazionali [R00], e che almeno uno fra $\zeta(5)$, $\zeta(7)$, $\zeta(9)$, $\zeta(11)$ deve essere irrazionale [Z01]. 

Riferimenti.

[A79] R. Apéry: Irrationalité de $\zeta(2)$ et $\zeta(3)$, Astérisque 61: 11–13 (1979).
[B79] F. Beuker: A note on the irrationality of $\zeta(2)$ et $\zeta(3)$, Bull. London Math. Soc. 11 (3) (1979), 268–272.
[Z02] W. Zudilin: An elementary proof of Apéry's theorem, arXiv:math/0202159 (2002).
[R00] T. Rivoal: La fonction zêta de Riemann prend une infinité de valeurs irrationnelles aux entiers impairs, Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I, 331 (4) (2000): 267–270.
[Z01] W. Zudilin: One of the numbers $\zeta(5), \, \zeta(7), \, \zeta(9), \, \zeta(11)$ must be irrational, Russ. Math. Surv., 56 (4) (2001), 774–776.

La misura del mondo

Fra i romanzi che hanno fra i protagonisti un grande matematico, merita un posto a parte  "La misura del mondo" (il titolo originale è "Die Vermessung der Welt")  del giovane scrittore tedesco D. Kehlmann (1975). Pubblicato nel 2005 e diventato un immediato bestseller, ha fatto guadagnare al suo autore paragoni con Nabokov e Proust, per la complessità dell'intreccio e la sapiente e allo stesso tempo leggera descrizione dei personaggi.

A "misurare il mondo" sono due famosi scienziati tedeschi, il matematico C. F. Gauss e l'esploratore A. von Humboldt, accomunati da grandi affinità ma anche separati da profonde differenze. Ad un certo punto si incontreranno a Berlino per un congresso scientifico (con gioia di von Humboldt e fastidio di Gauss, che detesta viaggiare), e ciò finirà per segnare profondamente entrambi.

Gauss, nato in estrema povertà, mostra il suo immenso genio fin dall'infanzia, arrivando a scrivere le sue Disquisitiones Arithmeticae (che gli daranno fama imperitura) poco più che ventenne. Il "principe dei matematici" passa quasi tutta la sua vita a Gottinga, ossessionato dal ricordo della prima moglie Johanna morta di parto (che tuttavia aveva abbandonato nel letto nuziale per appuntare su un pezzo di carta la formula dei minimi quadrati) e amareggiato per l'ottusità e la lentezza di pensiero che riscontra negli altri individui, compresi la seconda moglie Minna e il figlio Eugene, trattati ai limiti del disprezzo. Nell'ultima parte della sua vita si appassiona al problema del magnetismo terrestre, anche per via degli scambi epistolari con il giovane fisico W. E. Weber, che proprio grazie a Gauss ottiene (appena ventisettenne) una cattedra a Gottinga.

Von Humboldt nasce invece nobile, e viene allevato con l'idea della futura grandezza sin dalla più tenera età. Ossessionato dall'idea di viaggiare, abbandona una promettente carriera diplomatica in Prussia e si lancia nell'esplorazione dell'Amazzonia, mappando il canale naturale fra l'Orenoco e il Rio delle Amazzoni, sfidando zanzare, rapide e cannibali, scalando vulcani, scoprendo miniere e ignorando completamente i rapporti con l'altro sesso. Nell'ultima parte della sua vita si entusiasma per un viaggio di esplorazione in Siberia organizzato per lui dallo Zar di Russia, ma il confronto con i viaggi compiuti da giovane, quando era in salute, libero e sconosciuto, si rivela impietoso.

Gauss vede poco con i suoi occhi, ma molto con la sua mente. Al contrario, von Humboldt non capisce una parola di Matematica, ma viaggia in lungo e in largo per ottenere in prima persona quante più informazioni possibili sul mondo reale.

Entrambi i personaggi sono sostanzialmente dei solitari, chiusi nella realtà che si sono costruiti e infastiditi dalla fama crescente che accompagna le loro scoperte. Nonostante le loro enormi differenze, di nascita come di carattere, sia Gauss che von Humboldt sono tormentati dalla medesima ossessione: ciascuno nel proprio ambito, acquisire un'enorme mole di conoscenza.

Copertina dell'edizione italiana (fonte: Amazon.it)

L'irrazionalità di $\pi$

È ben noto che $\pi$ è un numero irrazionale, ossia che non può essere scritto come quoziente di due interi. 

La prima dimostrazione di questo fatto fu data da J. H. Lambert nel 1761, per mezzo di uno sviluppo in frazione continua della funzione tangente. 

Un argomento differente venne fornito nel 1873 da C. Hermite, il quale fece vedere che $\pi^2$ è irrazionale utilizzando un ingegnoso argomento per assurdo basato sul calcolo integrale e sulla caratterizzazione di $\pi$ come la più piccola soluzione positiva dell'equazione $\cos \frac{x}{2}=0$. 

Oggi esistono decine di dimostrazioni dell'irrazionalità di $\pi$, alcune delle quali accessibili anche agli studenti degli ultimi anni di scuola superiore. Una delle più semplici è probabilmente la seguente, dovuta a I. Niven [N47].

Teorema. Il numero $\pi$ è irrazionale.

Dimostrazione. Supponiamo per assurdo che $\pi=a/b$, con $a$, $b$ interi positivi. Preso un arbitrario numero naturale $n,$ consideriamo i seguenti polinomi:
$$\begin{equation*} \begin{split} f(x) & = \frac{x^n(a-bx)^n}{n!} \\ F(x) & = f(x)-f^{(2)}(x)+f^{(4)}(x)- \cdots +(-1)^nf^{(2n)}(x). \end{split} \end{equation*}$$ Un semplice calcolo mostra che $f(x)$ e tutte le sue derivate $f^{(j)}(x)$ assumono valori interi in $x=0$; inoltre, lo stesso vale per $x=\pi=a/b$, dato che $f(x)=f(a/b-x)$.

Dalle formule elementari di derivazione otteniamo
$$\begin{equation*} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}[F'(x) \sin x - F(x) \cos x] = F''(x) \sin x + F(x) \sin x = f(x) \sin x, \end{equation*}$$ da cui, per il Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale,
$$\begin{equation} \label{eq:calcolo} \int_0^{\pi} f(x) \sin x \, \mathrm{d}x = \left[F'(x) \sin x - F(x) \cos x \right]_0^{\pi} = F(\pi)+F(0). \tag{$\heartsuit$} \end{equation}$$ Per quanto visto, la quantità $F(\pi)+F(0)$ è un intero, dato che lo sono tutte le quantità $f^{(j)}(0)$ e $f^{(j)}(\pi)$.

D'altra parte, per $0 <x <\pi$ abbiamo
$$\begin{equation*} 0 < f(x) \sin x < \frac{{\pi}^n a^n}{n!}. \end{equation*}$$ Ciò implica che, per $n$ sufficientemente grande, la funzione $f(x) \sin x$ è positiva ma arbitrariamente piccola in $(0, \, \pi)$, e quindi lo stesso è vero per il corrispondente integrale definito.

Allora si può scegliere $n$ in modo tale che il membro a sinistra di $\eqref{eq:calcolo}$ sia strettamente compreso fra $0$ e $1$, contraddizione. $\square$

I. Niven (fonte Wikipedia)

Riferimenti.

[N47] I. Niven: A simple proof that π is irrational, Bull. Amer. Math. Soc. 53  (1947).

Fattoriali e potenze perfette

Domanda. È possibile che il fattoriale $n!$ di un intero $n \geq 2$ sia una $k$-esima potenza perfetta, ossia un intero della forma $m^k$, con $k \geq 2$?

Usando il Postulato di Bertrand (o Teorema di Chebyshev), non è difficile dimostrare che la risposta è negativa.

Proposizione. Se $n \geq 2$, allora $n!$ non è una $k$-esima potenza perfetta.

Dimostrazione. Gli interi $2!=2$ e $3!=6$ non sono potenze perfette. Se $n≥4$, allora per il Postulato di Bertrand esiste un primo $p$ tale che $$\frac{n}{2} < p < n.$$ Siccome $p<n$, sicuramente $p$ divide $n!$. D'altra parte, il più piccolo multiplo non banale di $p$ è $2p$, che per ipotesi è maggiore di $n$ e quindi non compare nella produttoria che definisce $n!$. Ciò mostra che $p^2$ non divide $n!$, quindi $p^k$ non divide $n!$, il che implica che quest'ultimo non può essere una $k$-esima potenza perfetta.

                                                                                                                                                $\square$

Una dimostrazione del medesimo risultato che, invece del Postulato di Bertrand, usa la formula di De Polignac-Legendre (che fornisce la massima potenza con cui un primo $p$ divide $n!$) è proposta in [MSE31973].

Nel 1975, P. Erdős e J. L. Selfridge raffinarono l'argomento usato sopra e provarono che nessun prodotto di due o più interi consecutivi può essere una potenza perfetta. Il lettore interessato può consultare l'articolo originale [ES75] .

Un giovane P. Erdős (fonte: Guggenheim fundation)

Riferimenti.

[ES75] P. Erdős and J. L. Selfridge: The product of consecutive integers is never a power, Illinois J. Math. 19, Issue 2 (1975), 292-301.
[MSE31973] https://math.stackexchange.com/questions/31973/n-is-never-a-perfect-square-if-n-geq2-is-there-a-proof-of-this-that-doesn

Numeri di Liouville

Un numero reale si dice trascendente (su $\mathbb{Q}$) se non è radice di una equazione polinomiale a coefficienti interi. La precedente definizione implica che ogni numero trascendente è irrazionale (ma ovviamente non vale il viceversa, si pensi a $\sqrt{2}$) e che  l'insieme dei numeri algebrici (cioè, non trascendenti) è numerabile.

Pertanto, siccome l'insieme dei numeri reali ha cardinalità strettamente maggiore del numerabile, segue che "quasi tutti" i numeri reali sono trascendenti. Tuttavia, questo tipo di argomento nulla ci dice sulla trascendenza di uno specifico numero reale, che può essere molto difficile da dimostrare. Ad esempio, si sa che $\pi$ ed $e$ sono entrambi trascendenti, ma non è al momento noto se la loro somma $\pi+e$ lo sia.

Storicamente, i primi esempi espliciti di numeri trascendenti vennero forniti a metà dell'800 da J. Liouville, come conseguenza dei suoi importanti studi sull'approssimazione diofantea dei numeri irrazionali. Più precisamente, Liouville dimostrò nel 1844 il seguente fondamentale risultato:

Teorema. Supponiamo che $x$ sia un numero irrazionale tale che, per ogni intero positivo $n$, esistano interi $p$ e $q$, con $q>1$, tali che $$\left|x-\frac{p}{q}\right| < \frac{1}{q^n}.$$ Allora $x$ è trascendente.

 Un esempio di numero reale che verifica le ipotesi del Teorema è la cosiddetta costante di Liouville
$$L= \sum_{n\geq 1} 10^{-n!},$$ ossia, in notazione decimale, $$L= 0.110001000000000000000001 \ldots,$$ dove la cifra $1$ compare nei posti decimali corrispondenti ai fattoriali degli interi.

I numeri reali che verificano le condizioni del Teorema vengono oggi chiamati numeri di Liouville; si noti che la diseguaglianza che li caratterizza ci dice che un numero trascendente di Liouville può essere approssimato "estremamente bene" da una successione di numeri razionali.

È attualmente noto che l'insieme $L$ dei numeri di Liouville è non-numerabile,  denso in $\mathbb{R}$ e di misura di Lebesgue $0$. Ciò implica che "quasi tutti" i numeri trascendenti non sono numeri di Liouville. Ciò nonostante, un risultato di P. Erdős fa vedere che ogni numero reale non nullo pu essere scritto come somma e come prodotto di due numeri di Liouville [E62].  Un esempio notevole di numero trascendente che non è di Liouville è $\pi$, come dimostrato da Mahler nel 1953 [M53].

Per maggiori informazioni sui numeri di Liouville (e più in generale sui numeri trascendenti) il lettore può consultare la monografia [MR14].

J. Liouville (fonte Wikipedia)

Riferimenti.

[E62]  P. Erdős:  Representations of real numbers as sums and products of Liouville numbers, Mich. Math. J. 9, 59-60 (1962)

[M53] K. Mahler: On the Approximation of $\pi$, Nederl. Akad. Wetensch. Proc. Ser. A. 56/Indagationes Math. 15, 30-42, 1953.

[MR14] M. R. Murty, P. Rath: Transcendental Numbers, Springer 2014

Numeri perfetti

Un numero naturale si dice perfetto se è uguale alla somma dei suoi divisori escluso il numero stesso. Ad esempio, $6$, $28$, $496$ sono numeri perfetti, dato che

$6 = 1+2+3$

$28 = 1+2+4+7+14$
$496 = 1+2+4+8+16+31+62+124+248.$

La prima definizione nota di numero perfetto si trova nel Libro VII degli Elementi di Euclide, dove viene dimostrato che, se $p$ è un numero primo tale che $2^p-1$ sia ancora primo, allora $2^{p-1}(2^p-1)$ è un numero perfetto. Ad esempio, prendendo $p=2, \, 3, \, 5$ si ottengono i tre numeri perfetti $6, \, 28, \,496$ considerati sopra. 

I primi di tale tipo sono detti primi di Mersenne (successione OEIS A000668), e al momento non si sa se ne esistano in numero infinito. Sono noti 51 primi di Mersenne, il più grande dei quali è $2^{82589933} − 1$, scoperto a dicembre 2018, che ha $24862048$ cifre decimali. 

Due millenni dopo Euclide, Eulero dimostrò che, viceversa, ogni numero perfetto pari è della forma $2^{p-1}(2^p-1)$, dove $p$ è un primo di Mersenne. Pertanto, vi è una corrispondenza biunivoca fra numeri perfetti pari e numeri primi di Mersenne; in particolare, non è noto se esistano infiniti numeri perfetti pari.

L'esistenza di numeri perfetti dispari è uno dei problemi aperti più famosi e difficili in Teoria dei Numeri, per il quale si hanno solo alcuni risultati parziali. Ad esempio, si sa che un ipotetico numero perfetto dispari deve essere maggiore di $10^{1500}$, possedere almeno 10 fattori primi distinti e che i suoi due più grandi fattori primi devono essere maggiori di $10^8$ e $10^4$, rispettivamente. Tali restrizioni rendono praticamente impossibile la ricerca di un numero perfetto dispari per "brute force", almeno con i calcolatori elettronici attualmente disponibili.

Il teorico dei numeri statunitense C. Pomerance, basandosi su un argomento di tipo euristico, è giunto alla conclusione che i numeri perfetti dispari "non dovrebbero esistere". Maggiori informazioni sul suo argomento probabilistico (e in generale sul problema dell'esistenza di numeri perfetti dispari) possono essere trovati nel sito web  http://oddperfect.org/