La costante di Apéry

È ben noto che i valori della funzione zeta di Riemann calcolati negli interi positivi pari possono essere espressi in termini dei numeri di Bernoulli $B_n$, e più precisamente che vale l'identità
\begin{equation*}
 \zeta(2n) = (-1)^{n+1} B_{2n} \frac{(2 \pi) ^{2n}}{2 (2n)!}.
\end{equation*} Siccome i numeri di Bernoulli sono razionali, segue che i valori $\zeta(2n)$ sono multipli razionali di potenze di $\pi$, in particolare per $n \geq1$ sono tutti numeri trascendenti. I primi valori di $\zeta(2n)$ sono i seguenti:

$\zeta(0) = -1/2$
$\zeta(2) = \pi^2/6$ (un celebre risultato d Eulero noto come identità di Basilea)
$\zeta(4) = \pi^4/90$
$\zeta(6) = \pi^6/945$

e, in generale, gli interi $a_n, \, b_n$ che compaiono nell'identità

\begin{equation*}
a_n \zeta(2n) = b_n \pi^{2n}
\end{equation*} sono rispettivamente gli elementi delle successioni OEIS A002432 e A046988.

Per quanto riguarda i valori $\zeta(2n+1)$ della funzione zeta calcolata negli interi positivi dispari, si sa invece molto di meno. 

Il valore $\zeta(1)$ corrisponde alla somma della serie armonica $$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \ldots,$$ che è divergente, e infatti $\zeta(s)$ ha un polo in $s=1$.  

Il valore successivo $$\zeta(3) = 1 + \frac{1}{2^3} + \frac{1}{3^3} + \frac{1}{4^3} + \ldots \simeq 1.20205 $$ è detto costante di Apéry, in onore del matematico francese R. Apéry che nel 1978 ne dimostrò l'irrazionalità [A79]. Dimostrazioni più semplici vennero in seguito proposte da F. Beuker [B79] e W. Zudilin [Z02]. Non è noto al momento se la costante di Apéry sia un numero trascendente. 

Il reciproco $1/\zeta(3) \simeq 0.831912 \ldots$ rappresenta la probabilità che tre numeri "scelti a caso" siano relativamente primi. Curiosamente, il valore $\zeta(3)$ compare anche in Elettrodinamica Quantistica, nel calcolo del momento angolare dell'elettrone.

Non è noto un analogo del Teorema di Apéry per altri valori del tipo $\zeta(2n+1)$, ma si hanno alcuni risultati parziali. Sappiamo ad esempio che infiniti tali valori sono irrazionali [R00], e che almeno uno fra $\zeta(5)$, $\zeta(7)$, $\zeta(9)$, $\zeta(11)$ deve essere irrazionale [Z01]. 

Riferimenti.

[A79] R. Apéry: Irrationalité de $\zeta(2)$ et $\zeta(3)$, Astérisque 61: 11–13 (1979).
[B79] F. Beuker: A note on the irrationality of $\zeta(2)$ et $\zeta(3)$, Bull. London Math. Soc. 11 (3) (1979), 268–272.
[Z02] W. Zudilin: An elementary proof of Apéry's theorem, arXiv:math/0202159 (2002).
[R00] T. Rivoal: La fonction zêta de Riemann prend une infinité de valeurs irrationnelles aux entiers impairs, Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I, 331 (4) (2000): 267–270.
[Z01] W. Zudilin: One of the numbers $\zeta(5), \, \zeta(7), \, \zeta(9), \, \zeta(11)$ must be irrational, Russ. Math. Surv., 56 (4) (2001), 774–776.

La misura del mondo

Fra i romanzi che hanno fra i protagonisti un grande matematico, merita un posto a parte  "La misura del mondo" (il titolo originale è "Die Vermessung der Welt")  del giovane scrittore tedesco D. Kehlmann (1975). Pubblicato nel 2005 e diventato un immediato bestseller, ha fatto guadagnare al suo autore paragoni con Nabokov e Proust, per la complessità dell'intreccio e la sapiente e allo stesso tempo leggera descrizione dei personaggi.

A "misurare il mondo" sono due famosi scienziati tedeschi, il matematico C. F. Gauss e l'esploratore A. von Humboldt, accomunati da grandi affinità ma anche separati da profonde differenze. Ad un certo punto si incontreranno a Berlino per un congresso scientifico (con gioia di von Humboldt e fastidio di Gauss, che detesta viaggiare), e ciò finirà per segnare profondamente entrambi.

Gauss, nato in estrema povertà, mostra il suo immenso genio fin dall'infanzia, arrivando a scrivere le sue Disquisitiones Arithmeticae (che gli daranno fama imperitura) poco più che ventenne. Il "principe dei matematici" passa quasi tutta la sua vita a Gottinga, ossessionato dal ricordo della prima moglie Johanna morta di parto (che tuttavia aveva abbandonato nel letto nuziale per appuntare su un pezzo di carta la formula dei minimi quadrati) e amareggiato per l'ottusità e la lentezza di pensiero che riscontra negli altri individui, compresi la seconda moglie Minna e il figlio Eugene, trattati ai limiti del disprezzo. Nell'ultima parte della sua vita si appassiona al problema del magnetismo terrestre, anche per via degli scambi epistolari con il giovane fisico W. E. Weber, che proprio grazie a Gauss ottiene (appena ventisettenne) una cattedra a Gottinga.

Von Humboldt nasce invece nobile, e viene allevato con l'idea della futura grandezza sin dalla più tenera età. Ossessionato dall'idea di viaggiare, abbandona una promettente carriera diplomatica in Prussia e si lancia nell'esplorazione dell'Amazzonia, mappando il canale naturale fra l'Orenoco e il Rio delle Amazzoni, sfidando zanzare, rapide e cannibali, scalando vulcani, scoprendo miniere e ignorando completamente i rapporti con l'altro sesso. Nell'ultima parte della sua vita si entusiasma per un viaggio di esplorazione in Siberia organizzato per lui dallo Zar di Russia, ma il confronto con i viaggi compiuti da giovane, quando era in salute, libero e sconosciuto, si rivela impietoso.

Gauss vede poco con i suoi occhi, ma molto con la sua mente. Al contrario, von Humboldt non capisce una parola di Matematica, ma viaggia in lungo e in largo per ottenere in prima persona quante più informazioni possibili sul mondo reale.

Entrambi i personaggi sono sostanzialmente dei solitari, chiusi nella realtà che si sono costruiti e infastiditi dalla fama crescente che accompagna le loro scoperte. Nonostante le loro enormi differenze, di nascita come di carattere, sia Gauss che von Humboldt sono tormentati dalla medesima ossessione: ciascuno nel proprio ambito, acquisire un'enorme mole di conoscenza.

Copertina dell'edizione italiana (fonte: Amazon.it)

L'irrazionalità di $\pi$

È ben noto che $\pi$ è un numero irrazionale, ossia che non può essere scritto come quoziente di due interi. 

La prima dimostrazione di questo fatto fu data da J. H. Lambert nel 1761, per mezzo di uno sviluppo in frazione continua della funzione tangente. 

Un argomento differente venne fornito nel 1873 da C. Hermite, il quale fece vedere che $\pi^2$ è irrazionale utilizzando un ingegnoso argomento per assurdo basato sul calcolo integrale e sulla caratterizzazione di $\pi$ come la più piccola soluzione positiva dell'equazione $\cos \frac{x}{2}=0$. 

Oggi esistono decine di dimostrazioni dell'irrazionalità di $\pi$, alcune delle quali accessibili anche agli studenti degli ultimi anni di scuola superiore. Una delle più semplici è probabilmente la seguente, dovuta a I. Niven [N47].

Teorema. Il numero $\pi$ è irrazionale.

Dimostrazione. Supponiamo per assurdo che $\pi=a/b$, con $a$, $b$ interi positivi. Preso un arbitrario numero naturale $n,$ consideriamo i seguenti polinomi:
\begin{equation*}
\begin{split}
f(x) & = \frac{x^n(a-bx)^n}{n!} \\
F(x) & = f(x)-f^{(2)}(x)+f^{(4)}(x)- \cdots +(-1)^nf^{(2n)}(x).
\end{split}
\end{equation*} Un semplice calcolo mostra che $f(x)$ e tutte le sue derivate $f^{(j)}(x)$ assumono valori interi in $x=0$; inoltre, lo stesso vale per $x=\pi=a/b$, dato che $f(x)=f(a/b-x)$.

Dalle formule elementari di derivazione otteniamo
\begin{equation*}
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}[F'(x) \sin x - F(x) \cos x] = F''(x) \sin x + F(x) \sin x = f(x) \sin x,
\end{equation*} da cui, per il Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale,
\begin{equation} \label{eq:calcolo}
\int_0^{\pi} f(x) \sin x \, \mathrm{d}x = \left[F'(x) \sin x - F(x) \cos x \right]_0^{\pi} = F(\pi)+F(0). \tag{$\heartsuit$}
\end{equation} Per quanto visto, la quantità $F(\pi)+F(0)$ è un intero, dato che lo sono tutte le quantità $f^{(j)}(0)$ e $f^{(j)}(\pi)$.

D'altra parte, per $0 <x <\pi$ abbiamo
\begin{equation*}
0 < f(x) \sin x < \frac{{\pi}^n a^n}{n!}.
\end{equation*} Ciò implica che, per $n$ sufficientemente grande, la funzione $f(x) \sin x$ è positiva ma arbitrariamente piccola in $(0, \, \pi)$, e quindi lo stesso è vero per il corrispondente integrale definito.

Allora si può scegliere $n$ in modo tale che il membro a sinistra di $\eqref{eq:calcolo}$ sia strettamente compreso fra $0$ e $1$, contraddizione. $\square$

I. Niven (fonte Wikipedia)

Riferimenti.

[N47] I. Niven: A simple proof that π is irrational, Bull. Amer. Math. Soc. 53  (1947).

Fattoriali e potenze perfette

Domanda. È possibile che il fattoriale $n!$ di un intero $n \geq 2$ sia una $k$-esima potenza perfetta, ossia un intero della forma $m^k$, con $k \geq 2$?

Usando il Postulato di Bertrand (o Teorema di Chebyshev), non è difficile dimostrare che la risposta è negativa.

Proposizione. Se $n \geq 2$, allora $n!$ non è una $k$-esima potenza perfetta.

Dimostrazione. Gli interi $2!=2$ e $3!=6$ non sono potenze perfette. Se $n≥4$, allora per il Postulato di Bertrand esiste un primo $p$ tale che $$\frac{n}{2} < p < n.$$ Siccome $p<n$, sicuramente $p$ divide $n!$. D'altra parte, il più piccolo multiplo non banale di $p$ è $2p$, che per ipotesi è maggiore di $n$ e quindi non compare nella produttoria che definisce $n!$. Ciò mostra che $p^2$ non divide $n!$, quindi $p^k$ non divide $n!$, il che implica che quest'ultimo non può essere una $k$-esima potenza perfetta.

                                                                                                                                                $\square$

Una dimostrazione del medesimo risultato che, invece del Postulato di Bertrand, usa la formula di De Polignac-Legendre (che fornisce la massima potenza con cui un primo $p$ divide $n!$) è proposta in [MSE31973].

Nel 1975, P. Erdős e J. L. Selfridge raffinarono l'argomento usato sopra e provarono che nessun prodotto di due o più interi consecutivi può essere una potenza perfetta. Il lettore interessato può consultare l'articolo originale [ES75] .

Un giovane P. Erdős (fonte: Guggenheim fundation)

Riferimenti.

[ES75] P. Erdős and J. L. Selfridge: The product of consecutive integers is never a power, Illinois J. Math. 19, Issue 2 (1975), 292-301.
[MSE31973] https://math.stackexchange.com/questions/31973/n-is-never-a-perfect-square-if-n-geq2-is-there-a-proof-of-this-that-doesn

Numeri di Liouville

Un numero reale si dice trascendente (su $\mathbb{Q}$) se non è radice di una equazione polinomiale a coefficienti interi. La precedente definizione implica che ogni numero trascendente è irrazionale (ma ovviamente non vale il viceversa, si pensi a $\sqrt{2}$) e che  l'insieme dei numeri algebrici (cioè, non trascendenti) è numerabile.

Pertanto, siccome l'insieme dei numeri reali ha cardinalità strettamente maggiore del numerabile, segue che "quasi tutti" i numeri reali sono trascendenti. Tuttavia, questo tipo di argomento nulla ci dice sulla trascendenza di uno specifico numero reale, che può essere molto difficile da dimostrare. Ad esempio, si sa che $\pi$ ed $e$ sono entrambi trascendenti, ma non è al momento noto se la loro somma $\pi+e$ lo sia.

Storicamente, i primi esempi espliciti di numeri trascendenti vennero forniti a metà dell'800 da J. Liouville, come conseguenza dei suoi importanti studi sull'approssimazione diofantea dei numeri irrazionali. Più precisamente, Liouville dimostrò nel 1844 il seguente fondamentale risultato:

Teorema. Supponiamo che $x$ sia un numero irrazionale tale che, per ogni intero positivo $n$, esistano interi $p$ e $q$, con $q>1$, tali che $$\left|x-\frac{p}{q}\right| < \frac{1}{q^n}.$$Allora $x$ è trascendente.

 Un esempio di numero reale che verifica le ipotesi del Teorema è la cosiddetta costante di Liouville
$$L= \sum_{n\geq 1} 10^{-n!},$$ ossia, in notazione decimale, $$L= 0.110001000000000000000001 \ldots, $$ dove la cifra $1$ compare nei posti decimali corrispondenti ai fattoriali degli interi.

I numeri reali che verificano le condizioni del Teorema vengono oggi chiamati numeri di Liouville; si noti che la diseguaglianza che li caratterizza ci dice che un numero trascendente di Liouville può essere approssimato "estremamente bene" da una successione di numeri razionali.

È attualmente noto che l'insieme $L$ dei numeri di Liouville è non-numerabile,  denso in $\mathbb{R}$ e di misura di Lebesgue $0$. Ciò implica che "quasi tutti" i numeri trascendenti non sono numeri di Liouville. Ciò nonostante, un risultato di P. Erdős fa vedere che ogni numero reale non nullo pu essere scritto come somma e come prodotto di due numeri di Liouville [E62].  Un esempio notevole di numero trascendente che non è di Liouville è $\pi$, come dimostrato da Mahler nel 1953 [M53].

Per maggiori informazioni sui numeri di Liouville (e più in generale sui numeri trascendenti) il lettore può consultare la monografia [MR14].

J. Liouville (fonte Wikipedia)

Riferimenti.

[E62]  P. Erdős:  Representations of real numbers as sums and products of Liouville numbers, Mich. Math. J. 9, 59-60 (1962)

[M53] K. Mahler: On the Approximation of $\pi$, Nederl. Akad. Wetensch. Proc. Ser. A. 56/Indagationes Math. 15, 30-42, 1953.

[MR14] M. R. Murty, P. Rath: Transcendental Numbers, Springer 2014

Numeri perfetti

Un numero naturale si dice perfetto se è uguale alla somma dei suoi divisori escluso il numero stesso. Ad esempio, $6$, $28$, $496$ sono numeri perfetti, dato che

$6 = 1+2+3$

$28 = 1+2+4+7+14$
$496 = 1+2+4+8+16+31+62+124+248.$

La prima definizione nota di numero perfetto si trova nel Libro VII degli Elementi di Euclide, dove viene dimostrato che, se $p$ è un numero primo tale che $2^p-1$ sia ancora primo, allora $2^{p-1}(2^p-1)$ è un numero perfetto. Ad esempio, prendendo $p=2, \, 3, \, 5$ si ottengono i tre numeri perfetti $6, \, 28, \,496$ considerati sopra. 

I primi di tale tipo sono detti primi di Mersenne (successione OEIS A000668), e al momento non si sa se ne esistano in numero infinito. Sono noti 51 primi di Mersenne, il più grande dei quali è $2^{82589933} − 1$, scoperto a dicembre 2018, che ha $24862048$ cifre decimali. 

Due millenni dopo Euclide, Eulero dimostrò che, viceversa, ogni numero perfetto pari è della forma $2^{p-1}(2^p-1)$, dove $p$ è un primo di Mersenne. Pertanto, vi è una corrispondenza biunivoca fra numeri perfetti pari e numeri primi di Mersenne; in particolare, non è noto se esistano infiniti numeri perfetti pari.

L'esistenza di numeri perfetti dispari è uno dei problemi aperti più famosi e difficili in Teoria dei Numeri, per il quale si hanno solo alcuni risultati parziali. Ad esempio, si sa che un ipotetico numero perfetto dispari deve essere maggiore di $10^{1500}$, possedere almeno 10 fattori primi distinti e che i suoi due più grandi fattori primi devono essere maggiori di $10^8$ e $10^4$, rispettivamente. Tali restrizioni rendono praticamente impossibile la ricerca di un numero perfetto dispari per "brute force", almeno con i calcolatori elettronici attualmente disponibili.

Il teorico dei numeri statunitense C. Pomerance, basandosi su un argomento di tipo euristico, è giunto alla conclusione che i numeri perfetti dispari "non dovrebbero esistere". Maggiori informazioni sul suo argomento probabilistico (e in generale sul problema dell'esistenza di numeri perfetti dispari) possono essere trovati nel sito web  http://oddperfect.org/

Il Problema di Waring

Nel 1770 J. L. Lagrange dimostrò che ogni numero naturale è somma di al più quattro quadrati. Nello stesso anno, motivato da questo risultato, E. Waring propose quello che sarebbe poi diventato noto come

Problema di Waring. Dato un intero positivo $k$, esiste un (minimo) numero $g(k)$ tale che ogni numero naturale $n$ si scriva come somma di al più $g(k)$ potenze $k$-esime?

Banalmente $g(1)=1$, mentre il risultato di Lagrange, insieme al fatto che esistono numeri naturali che non si scrivono come somma di tre quadrati (ad esempio $7$), implica $g(2)=4$.

Nel 1909, D. Hilbert dimostrò [H09] che la risposta al Teorema di Waring è affermativa, ma le sue tecniche non erano costruttive, pertanto non davano indicazioni su come determinare esplicitamente i valore di $g(k)$ in funzione di $k$. Alcuni di tali valori vennero in seguito ricavati da differenti autori utilizzando metodi ad hoc:

• $g(3)=9$ ($n=23$ è il minimo intero positivo che non è somma di $8$ cubi), vedi [W09, K12]
• $g(4)=19$ ($n=79$ è il minimo intero positivo che non è somma di $18$ quarte potenze)
• $g(5)=37$
• $g(6)=73$, vedi [P40].

I valori attualmente conosciuti per $g(k)$ sono tabulati nella successione OEIS A002804, i cui primi termini sono $$1, 4, 9, 19, 37, 73, 143, 279, 548, 1079, 2132, 4223, 8384, 16673, 33203, 66190, 132055.$$ Una quantità correlata a $g(k)$ è $G(k)$, definito come il minimo intero tale che ogni numero naturale $n$ sufficientemente grande si possa esprimere come somma di al più $G(k)$ potenze $k$-esime. Ovviamente, si ha $G(k) \leq g(k)$ per ogni $k$, e l'eguaglianza vale se e solo se esistono infiniti numeri naturali che non si esprimono come somma di $g(k)-1$ potenze $k$-esime.

Siccome nessun intero congruente a $7 $ (modulo $8$) può essere rappresentato come somma di tre quadrati, si ha $G(2)=g(2)=4$. Il problema della determinazione di $G(k)$ è più difficile del corrispondente problema per $g(k)$, e infatti i valori di $G(k)$ per $k \geq 3$ non sono noti (eccetto $G(4)=16$, vedi [D39]), tuttavia si hanno a disposizione alcune stime. Ad esempio, si sa che $4 \leq  G(3) \leq 7 $.

In generale, usando il cosiddetto metodo del cerchio di Hardy e Littlewood, Vinogradov ha dimostrato il bound superiore $$G(k) \leq  k(3 \log k + 11).$$ Per ulteriori dettagli sull'argomento, il lettore può consultare il survey [VW02].

E. Waring (fonte Wikipedia) 

Riferimenti.

[D39] H. Davenport: On Waring's Problem for Fourth Powers, Ann. Math. 40 (1939), 731-747
[H09] D. Hilbert: Beweis für die Darstellbarkeit der ganzen Zahlen durch eine feste Anzahl $n$-ter Potenzen (Waringsches Problem),  Mathematische Annalen  67 (3) (1909), 281–300.
[W09] A. Wieferich: Beweis des Satzes, daß sich eine jede ganze Zahl als Summe von höchstens neun positiven Kuben darstellen läßt,  Mathematische Annalen 66 (1) (1909), 95–101.
[K12] A. Kempner: Bemerkungen zum Waringschen Problem, Mathematische Annalen 72 (3) (1912), 387–399.
[P40] S. S. Pillai: On Waring's problem $g(6)=73$, Proc. Indian Acad. Sci. 12 (1940), 30–40.
[VW02] R.C. Vaughan, T. Wooley: Waring Problem: a survey, in  Number Theory for the Millennium. III. Natick, MA: A. K. Peters. pp. 301–340. ISBN 978-1-56881-152-9.

Il Problema delle Otto Regine

È tempo di Natale, le famiglie si riuniscono e dai cassetti vengono tirate fuori le scatole con i giochi. Giochi elettronici, di ruolo, di carte e, ovviamente, giochi da scacchiera. Fra questi ultimi, gli scacchi sono sicuramente fra quelli che hanno dato vita al maggior numero di rompicapo matematici. Uno dei più celebri è il

Problema delle Regine. Data una scacchiera $n \times n$, qual è il massimo numero di regine che possono essere poste su di essa, in modo tale che nessuna attacchi le rimanenti?

Siccome ogni regina può muoversi in orizzontale, verticale e diagonale, il problema è equivalente a quello di disporre il massimo numero di pedine sulla scacchiera, in maniera tale che non ve ne siano due sulla stessa riga, colonna o diagonale. Da ciò segue che il massimo numero di regine non può superare $n$, e non è difficile dimostrare che su ogni scacchiera di ordine almeno $4$ esiste almeno una soluzione con esattamente $n$ regine.

Molto più difficile è il problema di descrivere tutte le soluzioni o, almeno, un insieme completo di soluzioni a meno di rotazioni e riflessioni (le cosiddette "soluzioni fondamentali"). Per la scacchiera $4 \times 4$ vi è una sola soluzione fondamentale, per quella $5 \times 5$ ve ne sono due, e di nuovo solo una per quella $6 \times 6$. Il numero di soluzioni fondamentali per la scacchiera $7 \times 7$ è sei, quella classica $8 \times 8$ ne possiede dodici, quella $9 \times 9$ quarantasei e quella $10 \times 10$ novantadue.

Il numero totale di soluzioni al variare di $n$ è tabulato nella sequenza OEIS A000170, mentre quello di soluzioni fondamentali è tabulato nella sequenza OEIS A002562. Al momento, non esiste una formula chiusa per il numero di soluzioni in funzione di $n$, tuttavia sono stati pubblicati algoritmi di tipo "bit vector encoding" per produrre tutte le soluzioni [3].

Il problema originale, per la scacchiera 8x8, fu formulato da M. Bezzel nella rivista berlinese Schachzeitung nel 1848, e le $12$ soluzioni fondamentali vennero pubblicate per la prima volta da F. Nauck nella rivista di Lipsia Illustrierte Zeitung (1850). La prima dimostrazione che esse esauriscono tutte le possibilità, basata sulla teoria dei determinanti, fu data da J. W. Glaisher nel 1874. Vi è esattamente una soluzione fondamentale in cui non esistono tre regine allineate, quella indicata col numero (10) in [1].

Le 12 soluzioni fondamentali sulla scacchiera $8 \times 8$ (fonte: Wolfram MathWorld)

Per maggiori notizie sul Problema delle Otto Regine, e sui problemi correlati in cui le regine sono sostituite con altri pezzi degli scacchi, il lettore può consultare [2].

Nota computazionale. Nella pagina Wikipedia [1] si può trovare il seguente script in Pascal per determinare una soluzione al Problema delle Otto Regine:

program eightqueen1(output);
 
var i : integer; q : boolean;
    a : array[ 1 .. 8] of boolean;
    b : array[ 2 .. 16] of boolean;
    c : array[ -7 .. 7] of boolean;
    x : array[ 1 .. 8] of integer;
 
procedure try( i : integer; var q : boolean);
    var j : integer;
    begin 
    j := 0;
    repeat 
        j := j + 1; 
        q := false;
        if a[ j] and b[ i + j] and c[ i - j] then
            begin 
            x[ i    ] := j;
            a[ j    ] := false; 
            b[ i + j] := false; 
            c[ i - j] := false;
            if i < 8 then
                begin
                try( i + 1, q);
                if not q then
                    begin 
                    a[ j] := true; 
                    b[ i + j] := true; 
                    c[ i - j] := true;
                    end
                end 
            else 
                q := true
            end
    until q or (j = 8);
    end;
 
begin
for i :=  1 to  8 do a[ i] := true;
for i :=  2 to 16 do b[ i] := true;
for i := -7 to  7 do c[ i] := true;
try( 1, q);
if q then
    for i := 1 to 8 do write( x[ i]:4);
writeln
end.

Riferimenti.

[1] https://en.wikipedia.org/wiki/Eight_queens_puzzlehttps://en.wikipedia.org/wiki/Eight_queens_puzzle
[2] M. Gardner: Enigmi e giochi matematici, Vol. 4.
[3] Z. Qiu: Bit-vector encoding of $n$-queen problem. ACM SIGPLAN Notices. 37 (2) (2002), 68-70. 

Il porisma di Steiner

In geometria, il termine porisma viene spesso utilizzato per indicare una configurazione di oggetti che in generale non esiste e che tuttavia, non appena esiste, esiste in un’infinità di casi.  Uno dei porismi più famosi è quello che prende il nome dal matematico svizzero  J. Steiner (1796-1863), e che riguarda catene di circonferenze tangenti fra loro e a due circonferenze date. L’enunciato preciso è il seguente:

Porisma di Steiner. Siano $A$ e $B$ due circonferenze disgiunte nel piano, con $A$ interna a $B$. Supponiamo  che esista una catena di circonferenze $C_1, \ldots, C_n$, aventi le seguenti proprietà:

1. Ogni circonferenza $C_i$ è tangente alla precedente e alla successiva, e inoltre $C_n$ è tangente a $C_1$ (in altre parole, la catena è chiusa); 
2. Ogni $C_i$ è tangente sia ad $A$ che a $B$. 

Allora esistono infinite catene siffatte, tutte ottenibili da una fissata per mezzo di rotazioni. Inoltre, ogni circonferenza $C$, tangente sia ad $A$ che a $B$, è membro di una tale catena.

Una catena di circonferenza che verifica i punti (1) e (2) sopra è detta catena (chiusa) di Steiner. Dunque il Porisma di Steiner può essere anche enunciato dicendo che, se $A$ e $B$ ammettono una catena di Steiner formata da $n$ elementi, allora ne ammettono infinite.

Catene di Steiner (fonte Wikipedia)

Una bella dimostrazioni di questo sorprendente risultato è contenuta nel Capitolo 6 del libro di H. S. M. Coxeter [C89]. L’idea è quella di considerare una particolare inversione del piano, che trasformi le due circonferenze $A$ e $B$ in due circonferenze concentriche $A’$, $B’$. Siccome una tale inversione manda circonferenze tangenti in circonferenze tangenti, è ora sufficiente dimostrare l’enunciato per  $A’$, $B’$, nel qual caso è ovvio.

Si noti che questo argomento permette anche di dedurre che i punti di tangenza delle circonferenze della catena giacciono a loro volta su una circonferenza. Inoltre, un semplice calcolo mostra che i centri delle circonferenze della catena giacciono su un’ellisse, avente per fuochi i centri di $A$ e $B$.

Nel caso degenere in cui le circonferenze $A$, $B$ sono tangenti internamente in un punto $p$, è possibile considerare una particolare inversione che manda $p$ all’infinito, trasformando $A$ e $B$ in due rette parallele. La stessa dimostrazione di prima mostra che in tal caso esistono infinite catene di Steiner per $A$ e $B$, ciascuna delle quali formata a sua volta da un numero infinito di circonferenze (il cui raggio tende a zero man mano che esse si avvicinano a $p$). Questa situazione è trattata in dettaglio nel Capitolo 3 di [N97].

Riferimenti.

[C89] H. S. M. Coxeter: Introduction to Geometry, 2nd edition, Wiley and Sons 1989
[N97]  T. Needham: Visual Complex Analysis, Clarendon Press 1997.

Il teorema di Sylvester-Gallai

Nel 1944, il matematico ungherese T. Gallai pubblicò una dimostrazione del seguente
risultato, rispondendo in tal modo ad un quesito posto nel 1883 da J. J. Sylvester:

Teorema. Consideriamo un insieme finito di punti di $\mathbb{R}^2$ tali che una retta passante per due qualsiasi di essi ne contenga un terzo. Allora tutti i punti sono allineati.

In altre parole, dato un insieme di punti non tutti allineati nel piano reale, esiste almeno una retta che contiene esattamente due di essi. Osserviamo che il teorema sussiste anche nel piano proiettivo $\mathbb{RP}^2$, dato che una configurazione finita di punti in tale piano può essere trasformata in una configurazione nel piano euclideo senza cambiare l'insieme delle rette che li congiungono, semplicemente scegliendo come retta all'infinito una retta che non contenga nessuno dei punti.

Oggi sono note molte dimostrazioni differenti del Teorema di Sylvester-Gallai. Una discussione di quella originale di Gallai può trovarsi in [BM90], mentre nella corrispondente pagina Wikipedia ne sono riportate altre due.

La prima, dovuta a L. M. Kelly, è di carattere geometrico elementare, e utilizza un argomento per assurdo basato sull'esistenza di una coppia (retta congiungente due punti, terzo punto) tale che gli elementi della coppia abbiano distanza minima fra tutte le possibili coppie di tale tipo.

La seconda, dovuta a E. Melchior, utilizza la teoria delle dualità, considerando la configurazione di rette in $(\mathbb{RP}^2)^*$, duale della data configurazione di punti in $\mathbb{RP}^2$, e mostrando  con un delicato argomento topologico che, se tali rette non passano tutte per un punto, allora esiste almeno un punto di $(\mathbb{RP}^2)^*$ per il quale passano esattamente due di esse.

È importante notare che il teorema di Silvester-Gallai non può essere generalizzato al piano

complesso $\mathbb{C}^2$ o, equivalentemente, al piano proiettivo $\mathbb{CP}^2$. Infatti, per un ben noto risultato di geometria algebrica elementare, i 9 punti di flesso di una cubica piana liscia $C_3$ in $\mathbb{CP}^2$ (ossia, di una curva definita da un'equazione omogenea di terzo grado $F(x, \, y, \, z)=0$) hanno la proprietà che la retta passante per due qualsiasi di essi ne contiene anche un terzo. Ciò è un'immediata conseguenza del fatto che i 9 punti di flesso di $C_3$ corrispondono esattamente ai punti di 3-torsione nella legge di gruppo sulla curva (definita da "tre punti hanno somma nulla se e solo se essi sono allineati").

Tali 9 punti di flesso, insieme alle 12 rette che li congiungono,  formano la cosiddetta configurazione di Hesse, indicata anche con il simbolo $9_4 12_3$, dato che vi sono 3 punti su ogni retta e 4 rette per ogni punto. Dal teorema di Sylvester-Gallai segue che la configurazione di Hesse non può essere realizzata su $\mathbb{R}$, cioè che i 9 flessi di una cubica liscia non possono avere tutti coordinate reali.

La configurazione di Hesse (fonte Wikipedia)

Riferimenti.

[BM90] P. Borwein, W. O. J. Moser: A survey of Sylvester's problem and its  generalizations, Aequationes mathematicae 40 (1), 111-135 (1990)

L'equazione funzionale di Cauchy

Problema. Supponiamo di avere una funzione $f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tale che $f(x+y)=f(x)+f(y)$ per ogni $x, \, y \in \mathbb{R}$. È vero che  $f$ è una funzione lineare, ossia della forma $f(x)= kx$ per un fissato $k \in \mathbb{R}$?

L’equazione funzionale

\begin{equation} \label{eq:Cauchy}
f(x+y)=f(x)+f(y)\tag{$*$}
\end{equation} è detta equazione funzionale di Cauchy. È facile rendersi conto che, se $f \colon \mathbb{Z}  \to  \mathbb{Z}$ verifica $(*)$, allora $f$ è lineare sugli interi. Infatti si ha

\begin{equation*}
f(2)=f(1+1)=f(1)+f(1)=f(1) \cdot 2,
\end{equation*} da cui, iterando, si ottiene $f(n)=f(1) \cdot n$, cioè $f(n)=kn$ con $k=f(1)$. Una semplice variante di questo argomento mostra che, se $f \colon \mathbb{Q}  \to \mathbb{Q}$ soddisfa l'equazione funzionale di Cauchy, allora $f$ è lineare sui razionali.

Quando invece si considerano funzioni $f  \colon \mathbb{R}  \to \mathbb{R}$, la natura delle soluzioni cambia radicalmente. Nel 1821, A. L. Cauchy dimostrò, nel suo seminale Cours d’Analyse, che ogni funzione reale che soddisfi $(*)$ e che sia anche continua è necessariamente lineare. Successivamente, nel 1875, G. Darboux provò che, per garantire la linearità, è sufficiente la continuità di $f$ in un solo punto [D75], e cinque anni dopo fece vedere che basta supporre che esista un intervallo nel quale $f$ sia monotona [D80].

La questione venne completamente risolta nel 1905 da G. Hamel [H05], dal cui lavoro risultò che la generica soluzione dell’equazione funzionale di Cauchy su $\mathbb{R}$ è una funzione patologica, cioè non lineare. Il procedimento di Hamel per ricavare le sue soluzioni patologiche era non costruttivo, e faceva uso di quella che oggi viene chiamata una base di Hamel di $\mathbb{R}$ come $\mathbb{Q}$-spazio vettoriale, la cui esistenza è equivalente all’assioma di scelta.

G. Hamel (fonte: Berliner Mathematische Gesellschaft)

Per quanto detto sopra, ogni soluzione patologica dell’equazione funzionale di Cauchy è necessariamente discontinua in ogni punto e non-monotona in ogni intervallo. Si può anche far vedere che ogni tale funzione è non-misurabile secondo Lebesgue. Per maggiori particolari sull’equazione funzionale di Cauchy e sulle proprietà delle sue soluzioni patologiche, il lettore può consultare [MSE423492].


Riferimenti.

[D75] G. Darboux: Sur la composition des forces en statique, Bulletin des Sciences Mathématiques et Astronomiques 9 (1875), 281-299.
[D80] G. Darboux: Sur le théorème fondamental de la Géométrie projective, Mathematische Annalen 17 (1880), 55-61.
[H05] G. Hamel: Eine Basis aller Zahlen und die unstetigen Lösungen der Funktionalgleichung $f(x+y)=f(x)+f(y)$, Mathematische Annalen 60 (1905), 459-462.
[MSE423492] https://math.stackexchange.com/questions/423492/overview-of-basic-facts-about-cauchy-functional-equation

Il progetto Polymath

La visione usuale che il profano ha del matematico è quella di un genio solitario che lavora duramente, e possibilmente nell’isolamento più totale, per trovare la soluzione a qualche problema enormemente difficile.

Sebbene ciò sia ancora vero in alcuni casi (si pensi alla storia della soluzione dell’Ultimo Problema di Fermat da parte di A. Wiles), in realtà i matematici moderni tendono sempre più spesso a collaborare fra loro, in modo da beneficiare ciascuno delle competenze e abilità degli altri. Tuttavia, il numero di persone che lavorano insieme ad un singolo progetto è in genere piuttosto basso, tre-quattro al massimo, nulla in confronto alle decine o addirittura centinaia di persone che possono firmare un lavoro di Medicina o di Fisica delle particelle.

Un’eccezione a questa regola è fornita dal Progetto Polymath, lanciato nel 2009 (quasi come esperimento sociale) dal matematico britannico T. Gowers, Medaglia Fields nel 1998, in un famoso post sul suo blog, dal titolo “Is massively collaborative mathematics possible?"

T. Gowers (fonte: Wikipedia)

Gowers si domandava se fosse possibile attaccare problemi matematici irrisolti per mezzo di uno sforzo collaborativo da attuare su una piattaforma virtuale, ed arrivare in tal modo ad una soluzione che fosse la sintesi del lavoro di un grande numero di persone.

Le 225 risposte al post segnarono la nascita di Polymath, che fino ad oggi ha dato vita a 16 progetti. Fra questi, i seguenti si sono rivelati particolarmente fruttuosi:

• Polymath 1, avente lo scopo di trovare una formula combinatoria per la densità nel teorema di Hales-Jewett. Il progetto ha visto la collaborazione di 40 persone, che hanno pubblicato due lavori sotto lo pseudonimo collettivo D.H.J. Polymath. 
• Polymath 5, avente lo scopo di risolvere il problema della discrepanza di Erdős. Il progetto non raggiunse il suo scopo; tuttavia, poco tempo dopo, T. Tao trovò una soluzione, basandosi anche su alcuni risultati parziali di Polymath 5. 
• Polymath 8, avente lo scopo di migliorare il bound di Y. Zhang sui primi a distanza limitata. Il progetto fu un successo, riuscendo ad abbassare il valore iniziale di circa 6 milioni ottenuto da Zhang fino a 4680. Successivamente, una ramificazione del progetto (Polymath8b) utilizzò delle nuove tecniche introdotte da J. Maynard per arrivare fino a 246. Questi risultati sono stati pubblicati in due articoli, il primo in Algebra e Number Theory e il secondo in  Research in Matematical Sciences, ancora una volta sotto lo pseudonimo D.H.J. Polymath. 

Nel 2016 è anche nato uno spin-off di Polymath chiamato Crowdmath, rivolto agli studenti delle scuole superiori e dei primi anni di università.

Curve che riempiono il quadrato

Alla fine dell'800, il sorprendente risultato di G. Cantor, secondo cui l'intervallo unitario $I=[0, \, 1]$
può essere messo in corrispondenza biunivoca con il quadrato $Q=I \times I$, aveva spinto i matematici a domandarsi se fosse possibile realizzare una corrispondenza biettiva e continua fra $I$ e $Q$.

La risposta risultò essere negativa: in termini moderni, siccome $I$ è uno spazio compatto e $Q$ è uno spazio di Hausdorff, per risultati standard di topologia generale una tale mappa dovrebbe essere
un omeomorfismo, il che è assurdo dato che $I$ può essere disconnesso togliendo un punto, mentre $Q$ non ha questa proprietà. 

Tuttavia, nel 1890, il matematico italiano G. Peano dimostrò il seguente sorprendente 

risultato [Pe890]:

Teorema. Esiste un'applicazione suriettiva e continua $\alpha \colon  I \to Q$.

In altre parole, Peano aveva scoperto l'esistenza di una curva continua che riempie tutto il quadrato, e che oggi viene appunto detta curva di Peano. Si tratta di un oggetto inaspettato, data l'idea intuitiva che in genere si possiede di "curva". Si noti che, per quanto osservato prima, la curva di Peano deve necessariamente auto-intersecarsi, dato che se $\alpha$ fosse iniettiva allora sarebbe un omeomorfismo. 

G. Peano (fonte Wikipedia)

La costruzione di Peano è basata su un procedimento di espansione ternaria dei numeri reali; leggendo l'articolo originale, però, ci si rende conto che l'autore aveva ben presente la costruzione della sua curva come limite uniforme di curve lineari a tratti. Questa idea venne esplicitata l'anno dopo da D. Hilbert, il cui lavoro [Hilb891] contiene il disegno delle successive iterazioni che convergono ad una curva che riempie il quadrato, una variante della curva di Peano oggi nota come curva di Hilbert.

Le prime sei iterazioni nella costruzione della curva di Hilbert (fonte Wikipedia).

Lievi modifiche delle costruzioni di Peano e Hilbert permettono di costruire curve continue che riempiono tutto l'ipercubo $n$-dimensionale $I^n$, ed anche curve (senza estremi) che riempiono lo spazio euclideo $n$-dimensionale $\mathbb{R}^n$. Per tali motivi si parla talvolta di  space-filling curves.

Oggi sono noti molti esempi di curve siffatte (curva di Sierpinski, curva di Moore, curva di Lebesgue). Sono tutti esempi di curve frattali, quindi non regolari. Infatti, dal lemma di Sard segue  che non può esistere una space-filling curve ovunque differenziabile. Si noti tuttavia che, mentre le curve di Peano e Hilbert non sono differenziabili in alcun punto, nell'esempio di Lebesgue si ha differenziabilità quasi ovunque.

L'esistenza di curve che riempiono il quadrato fa sorgere in modo naturale la seguente domanda:
è possibile caratterizzare gli spazi topologici che sono immagine continua dell'intervallo unitario $I$?
La risposta è affermativa, ed è fornita dal celebre

Teorema di Hahn–Mazurkiewicz. Uno spazio topologico $X$ è immagine continua di $I$ se e solo se $X$ compatto, connesso, localmente connesso e $2$-numerabile.

Infine, è anche possibile costruire curve continue e iniettive (ma non suriettive) $\alpha \colon I \to  Q$ la cui immagine ha area positiva: sono le cosiddette curve di Osgood.

Per maggiori dettagli sull'argomento di questo post, il lettore può consultare la monografia dedicata [Sa94].

Riferimenti:

[Pe890] G. Peano: Sur une courbe, qui remplit toute une aire plane,
Mathematische Annalen 36 (1) (1890), 157–160, doi:10.1007/BF01199438
[Hilb891] D. Hilbert: Ueber die stetige Abbildung einer Line auf ein Flächenstück,
Mathematische Annalen 38 (3) (1891): 459–460, doi:10.1007/BF01199431
[Sa94] H. Sagan: Space-Filling Curves, Universitext, Springer-Verlag (1994).

Formule che calcolano i numeri primi

Da qualche giorno circola sui social network la notizia che un tredicenne di Reggio Calabria avrebbe addirittura "scoperto una formula che potrebbe risolvere il grattacapo che impegna i matematici da più o meno tremila anni", ovvero "una formula in grado di calcolare tutti i numeri primi in successione". Non c'è bisogno di dirlo, tale scoperta "potrebbe essere usata per rinforzare le password dei nostri account virtuali, quelle bancarie per esempio". O anche per decrittarle, si intende.

L'articolo sul giovane prodigio non è stato postato su una rivista specializzata, ma sul sito del noto programma televisivo "Le Iene", non proprio il massimo in fatto di autorevolezza quando si parla di scienza (emblematico il caso del servizio che creò allarmismi ingiustificati sull'esperimento SOX nel Gran Sasso). Per quanto riguardo la "formula", essa "non può essere divulgata" in quanto il giovanotto teme che "qualcuno possa appropriarsene e prendersi i meriti di quella che potrebbe essere una scoperta grandiosa. Ed è infatti questo il motivo che ha spinto la mamma di Rubens a contattare la redazione de le Iene". E ti pareva.

Come qualcuno possa appropriarsi di qualcosa che viene divulgato pubblicamente dal suo scopritore non è in effetti molto chiaro. Nell'attesa che il mistero venga svelato, e volendo magari parlare realmente di Matematica invece di fare solo sensazionalismo, vale la pena ricordare che "formule che calcolano i primi" ne esistono già parecchie, vedi [2] e [3]. Il (grosso) problema è che non sono molto efficienti, per cui nella pratica è più conveniente utilizzare metodi classici, come il crivello di Eratostene o qualche sua variante.

Non è in realtà difficile dimostrare che non esiste nessun polinomio $P(n)$ non costante a coefficienti interi in una variabile $n$ che assuma valori primi per ogni intero positivo $n$ (o per tutti gli $n$ meno un numero finito di essi). Infatti, se $P(1)=p$ con $p$ primo, allora $P(1)$ è congruo a zero (mod $p$). Da qui segue facilmente che  $P(1+kp)$ è congruo a zero (mod $p$) per ogni $k \in \mathbb{Z}$. Dunque $P(1+kp)$ è primo se e solo se è uguale a $p$, e un polinomio che assume infinite volte il valore $p$ è necessariamente costante.

Un esempio famoso (legato in modo non banale alle spirali di Ulam e ai numeri di Heegner) è il polinomio $n^2+n+41$, che produce numeri primi per ogni $n \leq 39$. Per $n=40$ il valore assunto è invece $1681=41 \times 41$.

Siccome l'insieme dei primi è computazionalmente numerabile, segue dal Teorema di Matiyasevich che esso può essere descritto per mezzo di un sistema di equazioni diofantee. Jones e i suoi collaboratori hanno determinato nel 1976 un sistema esplicito di tali equazioni, il che ha permesso di scrivere un polinomio in 26 variabili, a coefficienti interi, tale che l'insieme dei suoi valori interi positivi coincida con l'insieme dei numeri primi [3]. Per risultati generali della teoria è possibile trovare un polinomio di questo tipo con solo $10$ variabili, ma in tal caso il grado è enorme (dell'ordine di $10^{45}$).

Un altro esempio di formula che produce solo valori primi è $$f(n) = \lfloor A^{3^n} \rfloor,$$ dove $A=1.3063778838630806904686144926 \ldots$  è la cosiddetta costante di Mills (il valore di A è calcolato supponendo vera l'ipotesi di Riemann). Non si sa al momento se $A$ sia o meno irrazionale. I numeri prodotti dalla formula sopra sono detti "primi di Mills", e sono tabulati nella successione OEIS A051254: $$2, 11, 1361, 2521008887, 16022236204009818131831320183, \ldots$$ La formula di Mills, come altre "formule che calcolano i primi", per quanto interessante dal punto di vista teorico ha scarso valore pratico, dato che non vi è modo di calcolare esplicitamente la costante $A$ senza già conoscere a priori la successione dei primi.

Riferimenti:

[1] https://en.wikipedia.org/wiki/Formula_for_primes
[2] http://mathworld.wolfram.com/PrimeFormulas.html
[3] Jones, James P.; Sato, Daihachiro; Wada, Hideo; Wiens, Douglas: Diophantine representation of the set of prime numbers, American Mathematical Monthly 83 (6), 449–464.

La classificazione dei gruppi semplici finiti

Es wäre von dem grössten Interesse, wenn eine Uebersicht des sämmtlichen einfachen Gruppen von einer endlichen Zahl von Operationen gegeben werden könnte. 
(Sarebbe del massimo interesse, se fosse possibile dare una classificazione di tutti i gruppi semplici di ordine finito). [4, p. 1]


Un gruppo è detto semplice se non possiede sottogruppi normali non banali. Per il teorema di Jordan–Hölder sulle serie di composizione, i gruppi semplici finiti possono essere visti come "blocchi elementari" che permettono di costruire per estensioni successive tutti i gruppi finiti, pertanto la loro classificazione costituisce un problema centrale nella teoria.

Un esempio banale di gruppo semplice finito è dato dai gruppi ciclici $\mathbb{Z}_p$ di ordine primo. Un esempio più sofisticato è fornito dai gruppi alterni $A_n$, con $n \geq 5$; di fatto, la semplicità di $A_n$ è alla base della moderna dimostrazione del teorema di Abel-Ruffini sulla non-risolubilità per radicali della generica equazione algebrica di grado almeno $5$.

Il problema (enormemente difficile) della classificazione dei gruppi semplici finiti è anche noto come Programma di Gorenstein, per via dei due fondamentali lavori scritti da D. Gorenstein negli anni 1982-83 che risolvevano quasi completamente la questione, lasciando aperti alcuni casi (i cosiddetti "quasithin groups") che vennero trattati successivamente da Aschbacher e Smith (2004, 2011). Il risultato finale è il seguente, vedi [1]:

Teorema. Se $G$ è un gruppo semplice finito, allora siamo in uno dei seguenti casi:

(1) $G$ è isomorfo a $\mathbb{Z}_p$ per un dato primo $p$;
(2) $G$ è isomorfo ad $A_n$ per un dato $n \geq 5$;
(3) $G$ è un gruppo finito di tipo Lie;
(4) $G$ è isomorfo ad uno dei cosiddetti $27$ gruppi sporadici.

Nei casi (1), (2), (3) si hanno famiglie infinite di gruppi; invece, ogni gruppo sporadico in (4) è unico a meno di isomorfismi.

Il più piccolo gruppo sporadico, di ordine 7920, venne scoperto da E. L. Mathieu nel 1861, ed in suo onore è oggi indicato con M11. Il gruppo sporadico più grande è invece il cosiddetto "Fischer-Griess monster" M, costruito (a mano!) nel R. Griess nel 1982 e il cui ordine è pari a $$ 808017424794512875886459904961710757005754368000000000.$$ Come stimolante lettura divulgativa sulla storia dei gruppi sporadici e dei loro scopritori il lettore può consultare [2].

La dimostrazione completa del Teorema di Classificazione dei gruppi semplici finiti richiede diverse migliaia di pagine, ed è basata sui numerosi articoli scritti nel corso di circa 100 anni da matematici come Mathieu, Janko, Conway, Fisher, Higma, Suzuki, Feit, Thompson, Griess, Aschbacher, Gorenstein, etc.

A partire dal 1985, gli sforzi dei teorici dei gruppi sono concentrati sulla cosiddetta "Dimostrazione di seconda generazione", che si propone di semplificare gli argomenti, eliminando ogni ridondanza ed usando tecniche più moderne e generali che permettano di trattare vari casi contemporaneamente.

Alcune parti della dimostrazione sono state anche verificate al computer tramite il linguaggio Coq; un esempio è il fondamentale e difficile teorema di Feit-Thompson ("Ogni gruppo finito di ordine dispari è risolubile"), verificato da G. Gonthier e i suoi collaboratori nel 2013, vedi [3].

Riferimenti:

[1] https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_finite_simple_groups
[2] M. Ronan: Il mostro e la simmetria, Cortina Editore 2007.
[3] G. Gonthier et al.: A Machine-Checked Proof of the Odd Order Theorem, Lecture Notes in Computer Sciences 7998 (2013), https://doi.org/10.1007/978-3-642-39634-2_14.
[4] O Holder: Die einfachen Gruppen in ersten und Zweiten Hundert der Ordnungszahlen, Mathematische Annalen 40 (1892), 55-88.

"A Doubter's Almanac" di Ethan Canin

Per una curiosa coincidenza, nei torridi giorni di agosto in cui tutte le reti sociali celebravano la meritata medaglia Fields di Alessio Figalli, ero intento a leggere questo lo strano romanzo "A doubter's almanac'' di Ethan Canin, scoperto grazie ad una recensione sui Notices AMS.

Il protagonista è Milo Andret, un giovane scontroso ed introverso che trascorre una solitaria infanzia nei boschi del Michigan settentrionale, e che è dotato di un singolare talento matematico che lo porta ad essere ammesso al prestigioso programma dottorale dell'Università di Berkley.

Nella sua tesi di dottorato Andret risolve l'immaginaria Congettura di Malosz, un difficilissimo problema topologico che eludeva gli sforzi dei matematici da decenni, e grazie a questo exploit ottiene una cattedra a Princeton, la medaglia Fields e la fama mondiale.

Spinto da un'ambizione e un egoismo pari solo al suo talento, Andret si rimette subito all'opera attaccando la (anch'essa immaginaria) Congettura di Abendroth, un problema di Topologia Algebrica ritenuto difficile quanto l'Ipotesi di Riemann. Lavorando senza sosta giorno e notte, e sostenuto solo da forti dosi di bourbon e sesso, Milo arriva vicinissimo alla meta, ma viene battuto in extremis da un giovane matematico di Palo Alto, che pubblica una soluzione prima di lui.

Questa débâcle segna di fatto la fine della carriera di Andret, che non sarà mai più matematicamente produttivo, e finirà per essere consumato dalle sue ossessioni, circondato da una famiglia disfunzionale i cui membri hanno ereditato sia il suo genio che la sua instabilità mentale.

L'autore del romanzo non è un matematico, ma ha ricevuto un dottorato in medicina ad Harvard, e la cosa si vede da alcune piccole imprecisioni tecniche che tuttavia non guastano la godibilità e l'eleganza della scrittura.

Più che la matematica in sè, comunque, il tema del libro è il rapporto fra genio e auto-distruzione, ambizione e ossessione, amore e tormento. Nulla di veramente originale, in verità, ma forse a qualcuno sarà capitato almeno una volta di pensare "Sarei disposto a distruggere la mia vita e quella di chi mi ama, in cambio della medaglia Fields?"

Il problema di Didone

Devenere locos ubi nunc cernis
ingentia moenia arcemque novae Karthaginis surgentem,
mercatique solum Byrsam, de nomine facti,
quantum possent circumdare taurino tergo.

(Virgilio, Eneide, Libro I)

La leggenda riportata da Virgilio narra di Didone, la regina dei Fenici che, fuggita in Africa dopo l'assassinio del marito ad opera del fratello, chiese al re locale Yarba di concederle una quantità di terra che potesse essere circondata dalla pelle di un toro. Il re accettò, parendogli una richiesta molto modesta, al che Didone fece tagliare la pelle in striscioline sottili, che unì insieme per formare una lunga corda con la quale circondò ciò che sarebbe diventato il futuro insediamento di Cartagine.

Nell'attuare il suo piano, Didone si trovò davanti a ciò che può essere considerato il primo problema isoperimetrico della storia, che per questo motivo è anche noto come

Problema di Didone. Determinare la figura geometrica piana che massimizza l'area, a parità di perimetro.

I geometri antichi intuirono che la risposta corretta è "il cerchio", ma le prime dimostrazioni rigorose vennero trovate solo nella seconda metà dell'800.

I primi tentativi di approcciare il problema risalgono al tempo dei greci. Zenodoro (150 a.C.) dimostrò che, a parità di perimetro, se esiste un $n$-agono che massimizza l'area questo deve essere regolare, e che dati due poligoni regolari con lo stesso perimetro quello con più lati ha l'area maggiore. Inoltre, metodi di esaustione simili a quelli di Archimede facevano vedere che il cerchio ha un area maggiore di ogni poligono regolare con lo stesso perimetro.

Questi risultati non risolvono il problema di Didone, in quanto non è affatto chiaro a priori che una figura di area massima esista, anche se per lungo tempo questo sottile aspetto della questione non venne considerato.

Per oltre 1900 anni non vi furono ulteriori progressi, finché verso il 1750 Eulero (e poi Lagrange) approcciarono analiticamente il problema per mezzo di quelle che oggi chiamiamo "equazioni di Eulero-Lagrange", che costituiscono la base del moderno Calcolo delle Variazioni.

Il metodo analitico forniva (correttamente) l'equazione di una circonferenza come bordo della figura massimizzante l'area; tuttavia, come rilevato da Weierstrass, esso lasciava ancora aperta la questione dell'esistenza della soluzione.

Il passo finale venne compiuto da J. Steiner: grazie ad un ingegnoso metodo geometrico che oggi è chiamato in suo onore simmetrizzazione di Steiner, egli dimostrò che è possibile trasformare una regione chiusa $D$ di $\mathbb{R}^2$, con bordo regolare a tratti, in modo che la sua area rimanga invariata e il perimetro decresca.

Simmetrizzazione di Steiner

Si può far vedere che, applicando una successione di simmetrizzazioni rispetto ad opportune rette, la successione di figure che si ottiene converge ad un cerchio, avente la stessa area di $D$, rispetto alla metrica di Hausdorff. Come osservato da Edler e Steiner, questo è sufficiente a dimostrare che ogni dominio del piano con lo stesso perimetro del cerchio ha area minore di esso, completando la soluzione del problema di Didone nel piano.

L'analogo problema in dimensione superiore ("determinare il dominio di $\mathbb{R}^n$ di massimo volume a parità di area della superficie") ha ancora per soluzione la palla $n$-dimensionale; tuttavia, la dimostrazione è molto più delicata che nel piano, e si basa su alcune fondamentali diseguaglianze scoperte da Brunn, Minkowski e Lyusternik.

Lo studio del problema isoperimetrico in dimensione superiore ha motivato le ricerche della scuola italiana riguardo la definizione di "area" nel caso di domini non lisci, e in particolare i lavori (oggi considerati classici) di Caccioppoli e De Giorgi sull'argomento.

Per maggiori dettagli sull'argomento di questo post, il lettore può consultare [Ban17].

Riferimenti:

[Ban17] C. Bandle: Dido's problem and its impact in modern mathematics, Notices AMS 64 (Volume 9), Ottobre 2017.

Varietà lineari a tratti: Hauptvermutung

Una varietà topologica $M$ si dice lineare a tratti (o PL = "piecewise-linear") se esiste su di essa un atlante tale che le funzioni di transizione siano funzioni lineari a tratti. Si tratta di una proprietà lievemente più forte dell'esistenza di una triangolazione.

La categoria PL delle varietà lineari a tratti sta quindi in mezzo fra quella TOP delle varietà topologiche e quella DIFF delle varietà differenziabili. È importante notare che le funzioni lineari a tratti sono di classe $C^0$ ma non $C^1$, dato che è ben noto che la categoria delle varietà $C^1$ è equivalente a DIFF (cioè, che ogni atlante di classe $C^1$ è equivalente ad uno liscio).

Inoltre, le inclusioni DIFF $\subset$ PL $\subset$ TOP sono entrambe strette.

Infatti, ricordiamo innanzitutto che ogni varietà differenziabile ammette una struttura PL (per via di un teorema di Whitehead [W40], che afferma che ogni varietà liscia è triangolabile), ma non vale il viceversa. In altre parole, vi sono varietà PL che non ammettono nessun atlante di classe $C^{\infty}$ (cioè, che non sono "allisciabili"). Il primo esempio di questo tipo venne costruito da M. Kervaire in [K60]: si tratta di una varietà PL di dimensione 10, ottenuta con una tecnica di topologia differenziale detta "plumbing" a partire dai fibrati tangenti di due 5-sfere; in suo onore, varietà di questo tipo vengono oggi chiamate varietà di Kervaire.

Inoltre, esistono varietà topologiche che non possiedono nessuna strutture PL, ed altre che ne possiedono infinite.

Storicamente, il problema della triangolabilità delle varietà topologiche è noto come "Hauptvermutung". La triangolabilità delle varietà di dimensione 2 è stata dimostrata da T. Radó nel 1920, e quella delle varietà di dimensione 3 da E. Moise nel 1950. Quindi i primi controesempi possono presentarsi solo da dimensione 4 in poi.

Oggi si sa che, per una varietà topologica $M$, l'ostruzione a possedere una struttura PL è data dalla  classe di Kirby-Siebermann $$k(M) \in H^4(M,  \, \mathbb{Z}_2).$$ Se $\dim(M) \geq 5$ e $M$ è compatta, allora esiste una struttura PL su $M$ se e solo se $k(M)=0,$ e in questo caso il numero di strutture PL differenti è parametrizzato da $H^3(M,  \, \mathbb{Z}_2)$, in particolare esse sono in numero al più finito.

In dimensione $4$ le cose sono radicalmente differenti: in tal caso la categoria PL coincide con la categoria DIFF, ed esistono $4$-varietà topologiche compatte e semplicemente connesse che possiedono infinite strutture PL distinte (S. Donaldson).

Inoltre, M. Friedman trovò nel 1982 l'esempio noto come varietà E8, una 4-varietà topologica compatta e semplicemente connessa che non solo non ammette nessuna struttura PL, ma addirittura non è neanche omeomorfa ad un complesso simpliciale. Esempi con la stessa proprietà, in ogni dimensione maggiore o uguale a $5$, sono stati costruiti più recentemente da C. Manolescu  in [Ma16].


Riferimenti:

[K60] M. Kervaire: A manifold which does not admit any differentiable structure, Comm. Math. Helv. 34 (1960), 257–270.

[Ma16 ] C. Manolescu: $\mathrm{Pin}(2)$-equivariant Seiberg–Witten Floer homology and the Triangulation Conjecture, Journal of the American Mathematical Society 29 (2016), 147 -176.

[W40] J. H. C. Whitehead: On $C^1$-Complexes,  Annals of Mathematics. Second Series. 41 (4) (1940), 809–824.

Apologia di un matematico

A mathematician, like a painter or a poet, is a maker of patterns. If his patterns are more permanent than theirs, it is because they are made with ideas
(G. H. Hardy)

G. H. Hardy (1877-1947) fu uno dei più importanti matematici inglesi del '900, attivo soprattutto nel campo della Teoria Analitica dei Numeri. Le sue collaborazioni con J. Littlewood (1885-1977) e S. Ramanujan (1887-1920) portarono a numerosi fondamentali risultati, fra cui il celebre Metodo del Cerchio, che permise di utilizzare gli strumenti dell'Analisi Complessa e dell'Analisi Armonica allo studio del comportamento asintotico della funzione di partizione degli interi.

Hardy è considerato colui che "portò il rigore nella matematica britannica", ed il suo sodalizio scientifico con Littlewood era talmente famoso che H. Bohr arrivò ad affermare "oggi vi sono solo tre grandi matematici in Inghilterra: Hardy, Littlewood e Hardy-Littlewood".

Nel 1940, in quella che doveva essere l'ultima parte della sua vita, Hardy pubblicò A Mathematician's Apology, un breve saggio che oggi è considerato un classico dell'autobiografia scientifica.

"Apologia" qui va inteso non come "richiesta di perdono", ma piuttosto nel senso che Platone dà all'Apologia di Socrate: una spiegazione delle proprie azioni, e del perché si sia agito secondo coscienza. Al contrario di Socrate, tuttavia, Hardy era un ateo convinto, dunque le sue giustificazioni non sono rivolte a Dio, ma solo agli uomini.

Vi furono almeno due elementi che spinsero il matematico inglese a scrivere l'Apologia. In primo luogo, all'età di 62 anni e dopo un attacco di cuore, Hardy sentiva di avere perso la propria vena creativa (nel corso di tutta la vita affermò che la ricerca matematica era un'attività per gente giovane) e infatti, nella prefazione alla ristampa del 1967, C. P. Snow definisce l'opera come "a passionate lament for creative powers that used to be and that will never come again". In secondo luogo, lo scoppio della Seconda Guerra Mondiale, e gli orrori che ne derivarono, spinsero Hardy (che fu sempre un pacifista convinto) a ribadire che lo scopo dei matematici deve essere quello di ricercare la conoscenza come fine a se stessa, e non di applicarla agli strumenti di morte dell'industria bellica.

Tutta l'Apologia è pervasa dal senso del Bello, dato che Hardy considerava la matematica una forma d'arte al pari della musica, della pittura o della scultura: addirittura, per convincere il lettore di questo fatto, ad un certo punto include la dimostrazione data da Euclide dell'infinità dei numeri primi, e quella dell'irrazionalità di $\sqrt{2}$. Due esempi "old but gold", definiti "un banco di prova: se il lettore è incapace di apprezzarli, è improbabile che sappia apprezzare qualcosa della Matematica".

Un capitolo importante dell'Apologia è la descrizione del rapporto dell'autore con il genio autodidatta Ramanujan (che meriterebbe un post a parte): Hardy, persona fredda e distaccata, definito da Littlewood "un omosessuale non praticante", lo chiama "l'unico incidente romantico della mia vita".

Alcune delle affermazioni fatte da Hardy possono apparire ingenue col senno di poi: ad esempio, quella che non ci possano essere contributi importanti dati alla Matematica da gente oltre i 50 anni (adesso che la materia non è più un'occupazione d'élite, non è raro trovare importanti teoremi dimostrati da matematici sessantenni o anche più anziani) e soprattutto quella che la Teoria dei Numeri, la regina della Matematica secondo Gauss, non abbia applicazioni pratiche: per ironia della sorte, oggi la Teoria dei Numeri è fondamentale per l'industria militare e la cybersecurity, a causa dei suoi profondi legami con la Teoria dei Codici e la Crittografia.

Idiosincrasie e affermazioni datate a parte, l'Apologia di un Matematico è comunque un documento sincero e commovente, che rivela il grande amore dell'autore per il suo lavoro, e anche la sua umiltà di fondo, che traspare in una delle frasi conclusive dell'opera:

"Ancor oggi nei momenti di depressione, quando mi trovo a dover ascoltare gente pedante e presuntuosa, mi dico: Beh, io ho fatto qualcosa che voi non sareste mai stati capaci di fare: ho collaborato con Littlewood e Ramanujan, su un piano quasi di parità".

G. H. Hardy (fonte Wikipedia)