Un interessante problema di geometria elementare che recentemente è stato proposto sui social network è quello di determinare tutti i triangoli aventi lati interi e la cui area è uguale al perimetro.
Innanzitutto, notiamo che senza la condizione che il triangolo sia
eroniano (abbia, cioè, area e perimetro interi) vi sono infinite soluzioni. Infatti, indicando come d'abitudine l'area con
s e il semiperimetro con
p, se
r è il raggio della circonferenza inscritta si ha
rp=s, quindi la richiesta che l'area sia uguale al perimetro è equivalente a
r=2, e vi sono evidentemente infiniti triangoli non congruenti circoscritti ad una circonferenza di raggio
2.
La condizione che il triangolo sia eroniano è invece molto restrittiva e non è difficile mostrare che, sotto questa ipotesi, vi sono solo cinque soluzioni distinte.
Infatti, chiamiamo
a, \, b, \, c le lunghezze dei lati del triangolo, e poniamo
\begin{equation} \label{eq} a=x+y, \quad b=x+z, \quad c=y+z \end{equation}Allora il semiperimetro è x+y+z e quindi, per l'ipotesi s=2p, l'area al quadrato è 4(x+y+z)^2. La formula di Erone ora fornisce 4(x+y+z)^2 =(x+y+z)xyz ossia 4=xyz/(x+y+z).
Siccome x, \, y, \, z hanno somma a due a due positiva, al più uno di essi può essere negativo. Ma x+y+z è il semiperimetro, che è positivo, dunque 4(x+y+z)=xyz implica che xyz deve essere positivo. Segue che x, \, y, \,z sono tutti positivi.
Inoltre,
x, \, y, \,z devono essere interi. Infatti, la matrice del sistema lineare che esprime
a, \, b, \, c in termini di
x, \, y, \, z ha determinante
-2 e quindi, per la
regola di Cramer,
x, \, y, \, z sono interi o semi-interi. D'altra parte, siccome
a, \, b, \, c sono interi, le condizioni
\eqref{eq} implicano che sono tutti e tre interi o tutti e tre semi-interi. Ora
xyz=4(x+y+z) mostra che
xyz è intero, dato che è uguale al semiperimetro
x+y+z moltiplicato per
4, e quindi l'unica possibilità è che
x, \, y, \,z siano tutti e tre interi.
Senza ledere la generalità, possiamo supporre x \leq y \leq z. Allora 4=\frac{xyz}{(x+y+z)} \geq \frac{1}{3}xy cioè xy \leq 12. Inoltre, siccome z=\frac{4(x+y)}{xy-4} abbiamo l’ulteriore condizione xy \geq 5.
Riassumendo, dobbiamo determinare le coppie di interi positivi x, \, y tali che 5 ≤ xy ≤ 12 e xy-4 divida 4(x+y). Una semplice analisi dei casi mostra che le possibilità per (x, \, y, \, z) sono tutte e sole le seguenti: (1, \,5, \, 24), \; \; (1, \, 6, \, 14), \; \; (1, \, 8, \, 9), \; \; (2, \, 3, \, 10), \; \; (2,\, 4, \, 6) che corrispondono, rispettivamente, ai seguenti valori per (a, \, b, \, c): (6, \, 25, \, 29), \; \; (7, \, 15, \, 20), \; \; (9, \, 10, \, 17), \; \; (5, \, 12, \, 13), \; \; (6, \, 8, \, 10).
È interessante notare che esattamente due fra questi sono triangoli rettangoli, ossia quelli di lati (5, \, 12, \, 13) e (6, \, 8, \, 10).