Il teorema della curva di Jordan

Una curva di Jordan è l'immagine di un'applicazione continua ed iniettiva della circonferenza $S^1$ in $\mathbb{R}^2$. Si può essere tentati di pensare una tale curva come un laccio chiuso, continuo e senza autointersezioni nel piano. Tuttavia, bisogna tenere presente che la definizione data sopra richiede solo la continuità della curva, non la differenziabilità, quindi in essa sono compresi anche oggetti frattali complicati come la curva di Koch (o "curva del fiocco di neve") che non ammettono derivata in nessun punto.

Il teorema della curva di Jordan afferma che

ogni curva di Jordan $C$ divide il piano in due regioni connesse, una delle quali è limitata (l'"interno" della curva) e l'altra è illimitata (l'"esterno"), tali che $C$ sia frontiera per entrambe le componenti.

Si tratta di un enunciato intuitivo ma la cui dimostrazione si è rivelata difficoltosa, anche per via dell'esistenza di curve "patologiche" come quella di Koch. Infatti, la dimostrazione data dallo stesso C. Jordan nel 1887 all'interno del suo famoso Course d'Analyse venne ritenuta insoddisfacente, e la prima dimostrazione che rispetta i moderni canoni di rigore è considerata quella fornita da O. Veblen nel 1905.

I trattamenti forniti nei libri di testo moderni utilizzano in genere i metodi della Topologia Algebrica, in particolare quelli omologici, che permettono di dimostrare anche l'analogo del teorema di Jordan in ogni dimensione, ovvero quello che si chiama il Teorema di Separazione dello Spazio.

Esso afferma che ogni immersione topologica della sfera $n$-dimensionale $S^n$ in $R^{n+1}$ identifica due componenti connesse, una limitata (l'"interno") e l'altra illimitata (l'"esterno"), tali che l'immagine di S^n costituisca la loro frontiera comune.

Un'altra generalizzazione del teorema della Curva di Jordan, detto Teorema di di Jordan–Schönflies, afferma che ogni curva di Jordan in $\mathbb{R}^2$ è equivalente all'immersione standard di $S^1$, cioè alla curva $x^2+y^2=1$, per mezzo di un omeomorfismo del piano.

Abbastanza sorprendentemente, e al contrario del teorema della Curva di Jordan, questo enunciato non ammette estensioni in dimensione superiore. Infatti esiste un'immersione patologica di $S^2$ in $\mathbb{R}^3$ (la cosiddetta "Alexander horned sphere", 1924) tale che il suo complementare non è una regione semplicemente connessa. Ciò implica che la costruzione di Alexander non può essere equivalente all'immersione standard di $S^2$ per mezzo di un omeomorfismo dello spazio, in quanto il complementare di $S^2$ in $\mathbb{R}^3$ è semplicemente connesso.

E' importante notare che l'immersione che fornisce la sfera di Alexander è solo continua, ma non differenziabile. Lo stesso Alexander dimostrò che il Teorema di di Jordan–Schönflies continua a valere in dimensione 3 se si considerano solo immersioni lisce (o lineari a tratti). Storicamente, questa fu una delle prime circostanze in cui venne notata la profonda differenza che intercorre fra il concetto di varietà topologica e quello di varietà differenziabile.

Squaring the square

È possibile suddividere un quadrato di lato intero in un numero finito $n >1$ di quadrati di lati interi fra loro tutti differenti?

Se si, diremo che si è ottenuto un "quadrato perfetto di ordine $n$". Nonostante la definizione ingannevolmente semplice, stabilire l'esistenza di quadrati pefetti si è rivelato un problema difficile e solo in tempi relativamente recenti è stato possibile darne una soluzione. Questo viene in genere chiamato "squaring the square problem", con evidente riferimento scherzoso al problema della quadratura del cerchio ("squaring the circle").

I primi a studiare sistematicamente la questione, fra il 1938 e il 1940, furono R. L. Brooks, C. A. B. Smith, A. H. Stone and W. T. Tutte, ricercatori dell'Università di Cambridge. In modo ingegnoso e sorprendente essi riuscirono a trasformare il problema originale in un problema equivalente di reti elettriche, che poi risolsero applicando le leggi di Kirchhoff.

Il primo quadrato perfetto ottenuto in tal modo aveva ordine $69$; successivamente, un perfezionamento della tecnica permise di ottenere quadrati di ordine $39$.
Più o meno nello stesso periodo, altri ricercatori (R. Sprague, T. H. Willcocks) lavorarono sul problema utilizzando, invece del "metodo teorico" delle reti elettriche, un "metodo empirico" consistente nel combinare fra loro in modo ingegnoso rettangoli perfetti di vario ordine. In particolare, Willcocks costruì in tal modo (1946) un quadrato perfetto di ordine $24$. Occorrerà attendere fino al 1982 per la dimostrazione, ottenuta da J. W. Duijvestijn, P. J. Federico and P. Leeuw, che il minimo ordine possibile per un quadrato perfetto è $21$. Per maggiori dettagli, il lettore può consultare i riferimenti bibliografici citati in fondo al post.

Un affascinante e divertente resoconto di come Brooks, Smith, Stone e Tutte arrivarono al loro metodo delle reti elettriche, scritto dallo stesso Tutte, si può trovare nel Volume 2 di "Enigmi e Giochi Matematici" di M. Gardner.
Nell'appendice all'articolo di Gardner è contenuta anche la dimostrazione (un argomento per assurdo sorprendentemente semplice) che l'analogo problema in dimensione superiore non ha soluzione. In altre parole, non è possibile suddividere un cubo in un numero finito di cubi i cui spigoli abbiano tutti lunghezza differente. La stessa dimostrazione si applica a tutti gli ipercubi di dimensione maggiore di $2$.

Un quadrato perfetto di lato $4205$ e ordine $55$

Riferimenti:

[1] https://en.wikipedia.org/wiki/Squaring_the_square

[2] http://mathworld.wolfram.com/PerfectSquareDissection.html
[3] Brooks, R. L.; Smith, C. A. B.; Stone, A. H.; Tutte, W. T.: "The dissection of rectangles into squares". Duke Math. J. 7 (1940), 312–340.

La bottiglia di Klein

Three jolly sailors from Blaydon-on-Tyne
They went to sea in a bottle by Klein.
Since the sea was entirely inside the hull
The scenery seen was exceedingly dull.

Se si identificano a due a due e nella stessa direzione i lati opposti di un quadrato si ottiene un toro. Se una delle due coppie di lati viene identificata in senso opposto, si ottiene invece una superficie compatta e senza bordo che indichiamo con $K$ ed è nota come Bottiglia di Klein ("Kleinsche Flasche", in tedesco), dal nome del matematico Felix Klein che per primo la descrisse nel 1882.
Esplicitamente, la bottiglia di Klein è quindi lo spazio di identificazione ottenuto dal quadrato $[-1, 1] \times  [-1, 1]$ tramite la relazione d'equivalenza $(-1,  \, y) \simeq (1, y)$ e $(x, \, -1) \simeq (-x, \, 1)$.

La bottiglia di Klein costruita come spazio di identificazione

Al contrario del toro e come il nastro di Moebius, la bottiglia di Klein è una superficie non orientabile. Tuttavia, contrariamente al nastro di Moebius, non è possibile immergere la bottiglia di Klein in $\mathbb{R}^3$ (ma è possibile immergerla in $\mathbb{R}^4$). Infatti, ogni realizzazione della bottiglia di Klein in $\mathbb{R}^3$ ha autointersezioni: la superficie è senza bordo ma ad una sola faccia, di modo che non ha senso parlare di "interno" ed "esterno" per essa.
Quindi una nave a forma di bottiglia di Klein non sarebbe molto utile per attraversare il mare, in quanto esso sarebbe contemporaneamente "fuori e dentro" lo scafo (come sperimentato dai tre allegri marinai di Blaydon-on-Tyne del celebre limerick citato sopra).

Una applicazione standard del Teorema di Seifert-Van Kampen mostra che il gruppo fondamentale $\pi_1(K)$ ha due generatori $a, \, b$ soggetti all'unica relazione $aba^{-1}b=1$, dunque si tratta del prodotto semidiretto di due copie di $\mathbb{Z}$ (scritte in notazione moltiplicativa) associato all'automorfismo $b \mapsto b^{-1}$. In particolare esso è infinito e non abeliano.

Quozientando per il sottogruppo dei commutatori si ottiene il gruppo generato da $a,\, b$ con l'unica relazione $b^2 = 1$, e ciò implica che $H_1(K, \, \mathbb{Z})$ è isomorfo al prodotto diretto $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}_2$. Quindi $K$ fornisce un semplice esempio di spazio topologico con gruppo fondamentale non abeliano e avente torsione nel primo gruppo di omologia.

Il sottogruppo $G$ generato da $b, \,a^2$ ha indice $2$ in $\pi_1(K)$, dunque esso corrisponde ad un rivestimento topologico di grado $2$ della bottiglia di Klein. Osserviamo che $ab=(b^{-1})a$ implica $a(b^{-1})=ba$, pertanto
$$a^2b = a(ab) = a(b^{-1})a = baa= ba^2.$$ Ciò vuol dire che $G$ è un gruppo libero abeliano con due generatori, dunque isomorfo a $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$, che è il gruppo fondamentale del toro $T = S^1 \times S^1$.

Il rivestimento doppio $T \to  K$ determinato algebricamente come sopra si può interpretare geometricamente osservando che affiancando due domini fondamentali speculari di una bottiglia di Klein si ottiene il dominio fondamentale di un toro. Questa costruzione mostra anche che il rivestimento universale di $K$ coincide con quello di $T$, cioè è omeomorfo al piano $\mathbb{R}^2$.

Anche se la bottiglia di Klein non ha né interno né esterno, è in realtà possibile bere da essa (o meglio da un suo modello con auto-intersezione in $\mathbb{R}^3$). Modelli di tazze costruite a partire da bottiglie di Klein si trovano ad esempio qui.

Modello di bottiglia di Klein realizzata in vetro soffiato (fonte: ACME Klein bottle)

Inversi destri e sinistri

Quando si segue (o si tiene) un corso di Algebra Lineare, si arriva ad un certo punto all'importante concetto di matrice invertibile. La definizione data in genere è che una matrice quadrata $A$ è invertibile se esiste una matrice $B$ tale che $AB = BA =I$. Dopodiché, si dice che è sufficiente in realtà testare una sola delle due condizioni, dato che l'altra è conseguenza di essa, ma la giustificazione di quest'ultimo fatto viene omessa in molti libri di testo.

Il motivo è che in effetti non è possibile dedurre formalmente dall'eguaglianza $AB=I$  l'eguaglianza $BA=I$, dato che esistono controesempi in opportune algebre di dimensione infinita (vedi sotto). Dunque occorre utilizzare qualcosa di specifico della teoria delle matrici (come, ad esempio, il determinante).

In generale, questa situazione mostra che ha senso chiedersi in un contesto più astratto quando esistano inverso destro e sinistro di un elemento in un anello, e se essi coincidono.
Supponiamo dunque di essere in un anello con unità $R$, e sia $x$ un suo elemento non nullo. Diciamo che $a$ è un inverso sinistro di $x$ se $ax =1$, e che $b$ è un inverso destro di $x$ se $xb=1$. Un inverso bilatero (o semplicemente inverso) di $x$ è un elemento tale che è sia inverso destro che sinistro, ossia tale che $ax=xa=1$. Il seguente semplice fatto è ben noto.

Proposizione 1. (1) Sia $R$ un dominio d'integrità. Allora inverso destro e sinistro di $x$, se esistono, sono unici.
(2) In qualsiasi anello unitario $R$, se inverso destro e sinistro esistono entrambi allora essi coincidono e pertanto esiste un inverso di $x$, che è necessariamente unico.

Dimostrazione. (1) Se $a$ e $a'$ sono entrambi inversi sinistri di $x$, allora $ax=a'x=1$, quindi $(a-a')x=0$, e siccome $x$ è non nullo e $R$ è un dominio segue $a=a'$. La dimostrazione per l'inverso destro è analoga.
(2) Supponiamo che $ax = xb=1$. Allora

$$a= a \cdot 1 = a(xb) = (ax)b = 1 \cdot b = b. $$

$\square$

Come conseguenza immediata, abbiamo il seguente

Corollario. Ogni dominio d'integrità finito $R$ è un corpo (e quindi un campo, per il Teorema di Wedderburn).

Dimostrazione. Scegliamo un qualsiasi elemento non nullo $x \in R$, e consideriamo la moltiplicazione a destra $a \mapsto ax$. Essa è un endomorfismo di $R$  iniettivo (dato che $R$ è un dominio), dunque anche suriettivo poiché R è finito. Segue che $1$ è nell'immagine della moltiplicazione a destra per $x$, in altre parole l'elemento $x$ possiede un inverso sinistro. Usando la moltiplicazione a sinistra, si mostra allo stesso modo che a ha un inverso destro. Allora dalla Proposizione 1 segue che  $x$ è invertibile, dunque $R$  è un corpo.

$\square$

Nel caso di algebre finito-dimensionali su un campo (o, più in generale, di anelli left o right-artinian, non necessariamente commutativi), l'esistenza dell'inverso destro implica quella dell'inverso sinistro e viceversa. Ciò include ovviamente come caso particolare quello delle matrici su un campo.

Proposizione 2. Sia $R$ una $\mathbb{K}$-algebra finito-dimensionale, e sia $x$ un elemento non nullo di $R$. Se $x$ possiede un inverso sinistro, allora esso è anche inverso destro (e dunque $x$ è invertibile).

Dimostrazione. Supponiamo $ax=1$, e consideriamo i sottospazi $(x^k)R$. Essi formano una catena discendente $$R \supseteq xR \supseteq \ldots \supseteq (x^{k-1})R \supseteq (x^k)R \supseteq (x^{k+1})R \supseteq \ldots,$$ quindi, siccome $R$ è finito dimensionale, tale catena diventa stazionaria. Allora esiste $k$ tale che $(x^k)R = (x^{k+1})R$, da cui in particolare esiste b tale che $x^k = x^{k+1}b$. Moltiplicando a sinistra per $a^k$ otteniamo $1 = xb$, dunque $x$ ha un inverso destro, che coincide con quello sinistro per la Proposizione 1.

$\square$

Concludiamo con un esempio di anello contenente un elemento che ha inverso sinistro ma non inverso destro. Si consideri l'algebra infinito-dimensionale delle successioni reali $(a_0,  \,a_1, \,a_2, \ldots)$ e consideriamo l'operatore di shift
$$X \colon  (a_0, \, a_1, \,a_2, \ldots) \mapsto (0,\, a_0, a_1, a_2, \ldots).$$ Allora l'operatore lineare $A$ dato da $A(a_0, \, a_1, \, a_2, \ldots) = (a_1,  \, a_2, \,  a_3, \ldots)$ verifica $AX = \mathrm{Id}$. Tuttavia $XA$ è diverso dall'identità, infatti
\begin{equation*}
\begin{split}
(AX)(a_0,  \,a_1, \,a_2, \ldots) & = A(0, \,a_0,  \,a_1, \,a_2, \ldots)= (a_0,  \,a_1, \,a_2, \ldots) \\
(XA)(a_0,  \, a_1, \,a_2, \ldots) & = X(a_1, \,a_2, \, a_3, \, \ldots) = (0,\, a_1,\, a_2, \,a_3, \ldots).
\end{split}
\end{equation*} Ciò mostra che $X$ non ha nessun inverso destro, dato che se esso esistesse dovrebbe coincidere con l'inverso sinistro $A$ per quanto visto sopra.

Il lettore che volesse approfondire l'argomento di questo post può guardare l'interessante post su MathStackExchange "If $AB=I$ then $BA=I$".

Impacchettamenti di sfere

Un classico problema è quello di determinare il modo di disporre un insieme di (iper)sfere congruenti nello spazio euclideo $n$-dimensionale in modo che "resti vuoto meno spazio possibile". In termini tecnici, si richiede che sia raggiunta la massima densità possibile, dove la "densità" è opportunamente definita in modo che il massimo esista. Si tratta quindi di trovare in ogni dimensione un impacchettamento di sfere ("sphere packing", in inglese) ottimale.

A parte l'interesse teorico del problema, vi sono importanti applicazioni degli impacchettamenti di sfere nelle scienze applicate. Ad esempio, nello studio dei materiali granulari (in cui i centri delle sfere rappresentano atomi o molecole) e, in modo più sorprendente, in quello delle telecomunicazioni. Infatti, i canali di comunicazione radio possono essere modellati utilizzando spazi vettoriali reali di dimensione alta, e gli impacchettamenti ottimali forniscono in modo automatico codici di correzione di errori in tali spazi, permettendo di minimizzare dispersione del segnale e rumore di fondo. Per tali motivi, non sorprende che lo studio degli impacchettamenti ottimali sia un attivo campo di ricerca. Nonostante ciò, la nostra conoscenza in questo ambito è ancora molto limitata.

In dimensione $2$, Thue ha dimostrato che vi è un unico impacchettamento di cerchi ottimale, in cui i centri sono ai vertici di esagoni regolari. La densità è $\pi/\sqrt{12}$
In dimensione $3$, il problema è noto come "cannonball problem". Un impacchettamento ottimale è dato dalla tipica disposizione delle arance sul bancone del fruttivendolo, con una densità di $\pi/\sqrt{18}$. Il fatto che tale disposizione sia ottimale era noto come Congettura di Keplero, ed è stato dimostrato da Hales nel 2005, in un difficile lavoro su Annals of Mathematics che ha richiesto anche l'uso del calcolatore.

Da dimensione $4$ in poi, il problema diventa enormemente difficile, per vari motivi. Innanzitutto, per quanto ne sappiamo, sembra che l'eventuale conoscenza di una soluzione in dimensione $n$ dica poco riguardo ad una soluzione in dimensione $n-1$ o $n+1$. Inoltre, non è affatto chiaro che una soluzione ottimale debba essere necessariamente periodica (come accade nel caso di dimensione $2$ e $3$), ossia invariante per traslazione rispetto all'azione di un opportuno reticolo in $\mathbb{R}^n$.

Per tale motivo, ha destato grande scalpore nei mesi passati la soluzione del problema di impacchettamento in dimensione $8$ (ottenuta da M. Viazovska) e in dimensione $24$ (ottenuta dalla stessa Viazovska assieme a H. Cohn, A. Kumar, S.D. Miller e D. Radchenko). In entrambi i casi esiste una soluzione periodica, invariante tramite l'azione del reticolo $E_8$ (nel caso $\mathbb{R}^8$) e del reticolo di Leech (nel caso $\mathbb{R}^{24}$). Le densità sono, rispettivamente, $\pi^4/384$ e $\pi^{12}/(12)!$.

Le dimostrazioni di Viazovska e i suoi collaboratori utilizzano un risultato di Cohn ed Elkies, che riduce il problema alla determinazione di un'opportuna funzione modulare. Essa permette a sua volta di costruire una funzione radialmente simmetrica f con particolari proprietà di annullamento sul reticolo, e la formula di Poisson applicata ad f permette infine di stimare la densità dell'impacchettamento associato al reticolo, dimostrandone l'ottimalità.

Per quanto sorprendente ed importante, questo tipo di dimostrazione non può essere adattata ad altre dimensioni, dato che sia il reticolo $E_8$ che quello di Leech sono eccezionali, ossia esistono solo in dimensione $8$ e $24$. Infatti, si pensa che al di là dei casi noti (dimensione $2, \, 3, \, 8,\, 24$) la soluzione al problema di impacchettamento in dimensione $n$ debba essere ottenuta tramite una configurazione non periodica. Tuttavia, la questione è al momento completamente aperta.

Les Mathématiques Modernes

All'inizio degli anni '60 del secolo scorso, il panorama della Matematica era stato profondamente rivoluzionato dall'opera del gruppo Bourbaki. Il nuovo approccio alla disciplina, basato su rigore, astrazione e formalismo, aveva mietuto successi spettacolari, soprattutto per quanto riguarda l'Algebra Commutativa e Omologica, la Geometria Algebrica, la Teoria di Lie. Molti difficili problemi, la cui soluzione (o addirittura la cui corretta formulazione) era prima avvolta nell'oscurità, vennero risolti, e molti altri venivano affrontati in un fiorire di idee e concetti che sembrava inesauribile.

L'influenza del gruppo Bourbaki sulla matematica francese (e non solo) fu tale che a metà degli anni '60 si decise di sperimentare l'introduzione di una didattica di stampo bourbakista nelle scuole primarie e nei licei. Fu quella che venne chiamata "La nuova matematica" ("Les Mathématiques Modernes", in francese). Una commissione, presieduta da A. Lichnerowicz e comprendente molti membri di Bourbaki, preparò i nuovi programmi, che prevedevano una esposizione precoce (già alle elementari) ai concetti di insieme, relazione e struttura algebrica. L'insegnamento della geometria venne completamente svincolato dall'intuizione, senza più riferimento a figure e diagrammi, e basata solo sullo studio assiomatico degli spazi vettoriali e affini. Tutto ciò può essere riassunto dalla famosa frase provocatoria di J. Dieudonné "A bas Euclide!" ("abbasso Euclide!").

Successi di Bourbaki a parte, il contesto storico rilevante era quello della Guerra Fredda. Il lancio degli Sputnik da parte dell'URSS aveva traumatizzato il Blocco Occidentale, e si sperava che una completa rivoluzione nei programmi di insegnamento delle scienze (e della matematica in particolare) avrebbe potuto arginare quello che alcuni giornali avevano chiamato una "Pearl-Harbour tecnologica".

Le cose, come è noto, non andarono come si sperava. Le Mathématiques Modernes vennero accolte con scetticismo e ostilità sia dagli insegnanti, impreparati a spiegare argomenti che spesso non comprendevano pienamente, che dai genitori, che improvvisamente si ritrovarono incapaci di aiutare i figli (anche molto piccoli!) nei compiti a casa. Gli allievi, da parte loro, non riuscirono mai a digerire il rigido sistema burbakista "definizione-teorema-corollario", che poteva funzionare per i (pochi) studenti molto dotati in matematica, ma risultava ostico e incomprensibile per gli altri.
La mancanza nei libri di testo di figure che potessero aiutare nei ragionamenti e lo scarso peso dato alle applicazioni della matematica nella vita reale fecero il resto. Alcuni ridicolizzarono i nuovi programmi, facendo notare come molti studenti "sapevano enunciare la proprietà commutativa nei gruppi astratti, ma poi non conoscevano le tabelline".

Anche M. Kline, nel suo saggio critico "Why Johnny Can't Add: the Failure of the New Math.", affermò che l'astrazione dovrebbe essere l'ultimo stadio nello sviluppo matematico, non certo il primo, e che la sua introduzione troppo precoce è controproducente, almeno per la grande maggioranza degli alunni.
Come se ciò non bastasse, nel turbolento contesto sociale del '68 e della contestazione i nuovi metodi vennero bollati immediatamente come "borghesi" ed "élitisti", e quindi osteggiati da una larga fetta degli intellettuali di sinistra.

La Commissione Lichnerowicz lavorò fino al 1973, anno in cui il presidente diede le dimissioni. Fu sostanzialmente la fine per le Mathématiques Modernes. A partire dagli anni '80, la geometria euclidea tornò ad avere il suo posto nei programmi di insegnamento dei Licei francesi, ma l'acceso dibattito nato con questa sperimentazione didattica continua ancora oggi.

Il paradosso di Banach-Tarski

Qual è un anagramma di Banach-Tarski?
Banach-Tarski Banach-Tarski.

Nel 1924, S. Banach and A. Tarski, ispirandosi a precedenti lavori di Vitali ed Hausdorff, dimostrarono il seguente sorprendente risultato:

Data la palla unitaria $\mathbb{B}^2 \subset \mathbb{R}^3$, è possibile suddividerla in un numero finito di sottoinsiemi che, ricomposti, danno luogo a due copie di $\mathbb{B}^2$.

In altre parole, la palla è equiscomponibile con due copie di se stessa. Il fatto è paradossale, in quanto la nostra intuizione geometrica suggerisce che due solidi equiscomponibili debbano avere lo stesso volume. Ciò è tuttavia vero solo se, per i sottoinsiemi che danno la scomposizione, il concetto di volume è ben definito. Infatti, i sottoinsiemi che compaiono nella dimostrazione di Banach-Tarski sono non misurabili (nel senso di Lebesgue), quindi non sono "solidi" nel senso usuale del termine, ma "aggregati di punti" per l'esistenza dei quali si può dare solo una dimostrazione non costruttiva (in particolare, non si può sperare di diventare miliardari duplicando matematicamente pepite d'oro). Il numero minimo di pezzi richiesti per la costruzione è cinque.

Esistono anche forme differenti del paradosso che mostrano che una palla di raggio $r_1$ e una di raggio $r_2$ sono sempre equiscomponibili; in particolare un pisello e il Sole sono equiscomponibili (per cui questa versione del paradosso è chiamata talvolta "the pea and the Sun paradox").
Non vi è nulla di particolare nella palla che gioca un ruolo in questo risultato. Si dimostra infatti che "paradoxical decompositions" esistono per ogni sottoinsieme limitato $B \subset \mathbb{R}^n$, con $n \geq 3$ 3, avente interno non vuoto.

Il paradosso di Banach-Tarki, invece, non sussiste in dimensione $1$ e $2$. Ciò dipende dal fatto che il gruppo delle isometrie euclidee in dimensione $1$ e $2$ è risolubile, mentre in dimensione maggiore o uguale a $3$ esso contiene una copia del gruppo libero su due generatori. Fu proprio l'analisi dei gruppi di isometrie che ammettono paradoxical decompositions che portò J. von Neumann a formulare nel 1929 la sua teoria dei gruppi amenabili.

Siccome la costruzione à la Vitali di sottoinsiemi non misurabili secondo Lebesgue richiede l'Assioma di Scelta, si può pensare che ciò sia vero anche per Banach-Tarski. Tuttavia, nel 1991 è stato dimostrato che il paradosso, seppur più forte di ZF, non richiede ZFC nella sua forma forte. Infatti, affinché esso sussista è sufficiente una versione debole dell'assioma di scelta, nota come ultrafilter lemma.

"Mathematical cranks" di Underwood Dudley

Molti matematici professionisti (compreso il sottoscritto) si imbattono prima o poi nella figura del "mathematical crank". Si tratta di un individuo più o meno autodidatta, ma in ogni caso con un modesto background matematico, che ricade in una delle seguenti tipologie:

• crede di aver dimostrato qualcosa di impossibile (come trisecare l'angolo, quadrare il cerchio, duplicare il cubo, ricavare il V postulato di Euclide dai primi quattro);
• crede di aver dimostrato qualcosa che non ha dimostrato (l'Ultimo Teorema di Fermat con metodi elementari, il Teorema dei Quattro Colori senza computer, l'Ipotesi di Riemann);
• ha una visione della matematica "eccentrica" o "spiritualista" (crede ad esempio in una numerologia di stampo pitagorico o cabalistico, un po' come il protagonista del film "Pi: il teorema del delirio" di D. Aronofski, oppure applica i risultati di incompletezza di Gödel alla religione, e così via). 

In ogni caso, il mathematical crank si distingue dal semplice amateur per la sua pervicacia nel non ammettere i propri errori, spesso dovuta anche alla sua incapacità di comprenderli. Il professionista che prova a confrontarsi con questa tipologia di persone si trova davanti ad un muro frustrante di difficoltà comunicativa, acuito dal fatto che molte di loro soffrono di una distorsione percettiva della realtà che li porta a sopravvalutare le proprie (limitate) abilità e a ritenersi, a torto, degli esperti. Come corollario, essi uniscono una marcata incompetenza ad una notevole supponenza (è il ben noto effetto Dunning-Kruger).

Il libro "Mathematical Cranks" (1992) di Underwood Dudley offre una gustosa, e a volte inquietante, panoramica di mathematical cranks di vario tipo. Si passa da trisettori, quadratori e duplicatori assortiti fino ad arrivare a gente che crede che nella distribuzione dei numeri primi si nasconda il segreto dell'Universo, o che vi sia una cospirazione mondiale per nascondere fantomatici algoritmi lineari in grado di risolvere ogni problema.

Una lettura interessante (ed utile per chi voglia evitare di impelagarsi in inutili discussioni), che spiega anche perché nel 1897 lo Stato dell'Indiana discusse una legge che autorizzava ad utilizzare come valore per Pi greco il numero intero $3$ (!).

Il teorema dei quattro quadrati di Lagrange

Il teorema dei due quadrati di Fermat (discusso in un precedente post) afferma che un numero primo è somma di due quadrati se e solo se è della forma $4k+1$. Viene dunque naturale chiedersi quale sia (se esiste) il minimo numero naturale $N_2$ tale che ogni $n \in \mathbb{N}$ possa scriversi come somma di al più $N_2$ quadrati (questo è il primo caso del cosiddetto problema di Waring).

Nel 1770, J. L. Lagrange dimostrò il seguente sorprendente risultato, che implica $N_2 \leq 4$.

Teorema. Ogni numero naturale $n$ è somma di (al più) quattro quadrati.

Grazie all'identità dei quattro quadrati di Eulero, è sufficiente dimostrare l'enunciato per $n$ numero primo. La dimostrazione originaria di Lagrange è nello spirito della classica discesa infinita di Fermat; le dimostrazioni moderne che si trovano nei libri di testo utilizzano invece algoritmi di divisione generalizzati, nello spirito dell'algoritmo di divisione euclidea in $\mathbb{Z}[i]$ utlizzato da Dedekind per dimostrare il teorema dei due quadrati di Fermat.

J. L. Lagrange (fonte: Wikipedia)

Più precisamente, fu A. Hurwitz che a fine '800 si rese conto che un algoritmo di divisione euclidea nell'anello dei quaternioni interi
\begin{equation*}
\begin{split}
\mathbb{Z}[i, \, j, \, k]&= \{a+bi+cj+dk \, \, | \, \, a, \, b, \, c, \, d \in \mathbb{Z} \} \\
i^2 &= j^2 = k^2 = ijk = -1
\end{split}
\end{equation*} portava ad una dimostrazione del teorema di Lagrange. L'approccio è tecnicamente più complicato che nel caso di $\mathbb{Z}[i]$, perchè $\mathbb{Z}[i, \, j, \, k]$ è un anello non commutativo. Per questo motivo, l'algoritmo di divisione viene implementato non in $\mathbb{Z}[i, \, j, \, k]$, dove non è possibile ottenere una stima efficiente del resto, ma in quello che è oggi chiamato l'anello degli interi di Hurwitz $\mathbb{Z}[i, \, j, \, k, \, w]$, ossia il sottoanello generato da $\mathbb{Z}[i, \, j, \, k]$ e dall'elemento semi-intero $w=\frac{1}{2}(1+i+j+k)$.

Il punto cruciale della dimostrazione di Hurwitz è far vedere che ogni primo reale si fattorizza in modo non banale in $\mathbb{Z}[i, \, j, \, k, \, w]$, esattamente come il punto cruciale della dimostrazione di Dedekind era far vedere che ogni primo congruo a $1$ (mod $4$) si fattorizza non banalmente in $\mathbb{Z}[i]$.

A. Hurwitz (fonte: Wikipedia)

Un'interessante domanda è se tutti gli interi si possano scrivere come somma di tre quadrati. La risposta è negativa, come è facile convincersi osservando che un quadrato può essere congruo solo a $0$, $1$, $4$ (mod 8). Da ciò segue, ad esempio, che nessun numero congruo a $7$ (mod $8$) è somma di tre quadrati. Quindi si ha effettivamente $N_2=4$.

Più precisamente, nel $1798$ Legendre dimostrò che un numero è esprimibile come somma di tre quadrati se e solo se non è della forma $4^k(8m + 7)$. Non si conosce, al momento, nessuna dimostrazione veramente elementare di questo risultato.

Il Teorema di Feit-Thompson

Un gruppo finito si dice risolubile se possiede una serie di composizione in cui tutti i fattori sono ciclici di ordine primo. Per il teorema di Jordan-Hölder, se esiste una serie di composizione avente questa proprietà allora tutte le serie di composizione ce l'hanno. Il nome risolubile deriva dal fatto che un polinomio su $\mathbb{Q}$ è risolubile per radicali se e solo se il corrispondente gruppo di Galois è risolubile nel senso detto sopra.

Esempi di gruppi finiti risolubili sono i gruppi abeliani, i $p$-gruppi e più in generale i gruppi nilpotenti. Il gruppo simmetrico $S_n$ è non risolubile per $n\geq 5$, da cui l'impossibilità di risolvere per radicali l'equazione generale di grado $n \geq 5$ (teorema di Abel-Ruffini).

Un fondamentale risultato dimostrato nel 1963 da W. Feit e J. Thompson asserisce che

Ogni gruppo finito di ordine dispari è risolubile.

Nonostante la semplicità dell'enunciato, la dimostrazione di Feit e Thompson richiede un argomento per assurdo estremamente complesso che occupa un intero fascicolo (circa 250 pagine) del Pacific Journal of Mathematics.

Il teorema di Feit-Thompson è un risultato cruciale nell'ambito della classificazione dei gruppi semplici finiti, e la sua rilevanza è mostrata dal fatto che, anche grazie ad esso, a Thompson nel 1970 venne assegnata la medaglia Fields. Non è dunque sorprendente che molti teorici dei gruppi abbiano tentato di semplificarne la dimostrazione originale, finora senza grande successo.

È di oggi la notizia (riportata dal Corriere della Sera nel solito modo in cui si riportano in genere argomenti di matematica, cioè senza fare capire nulla) che Sir Micheal Atiyah asserisce di possedere una dimostrazione di Feit-Thompson in sole 12 pagine. Atiyah ha 88 anni, non è uno specialista di teoria dei gruppi ma è comunque uno dei matematici più famosi al mondo, avendo vinto la medaglia Fields nel 1966 per i suoi fondamentali contributi in K-teoria, come il celebre Teorema dell'Indice di Atiyah-Singer.

Ovviamente la correttezza della dimostrazione di Atiyah dovrà essere confermata (o smentita) attraverso l'usuale processo di peer-review, che data l'importanza del risultato sarà sicuramente molto scrupoloso. Staremo a vedere.

Il bacio preciso

Siano dato tre distinte circonferenze $C_1, \, C_2, \, C_3$ nel piano, fra di loro mutualmente tangenti. Allora esistono esattamente due circonferenze $A$, $B$ che sono contemporaneamente tangenti alle $C_i$.

I raggi di $A$ e $B$ (o meglio, le loro curvature) sono legate a quelli

delle $C_i$ da un'equazione quadratica, che è nota come Teorema di Descartes. In questo caso il problema di Apollonio per le $C_i$ ha esattamente cinque soluzioni distinte (invece di $8$ come nel caso generale): le tre circonferenze $C_i$, contate ciascuna con molteplicità $2$, e le due circonferenze $A, \, B$.

Le circonferenze A e B sono anche dette circonferenze di Soddy. Ciò è dovuto al fatto che il risultato di Descartes fu riscoperto nel 1936 da Frederick Soddy, che lo pubblicò nella prestigiosa rivista Nature sotto forma di una poesia intitolata "The Kiss Precise":

For pairs of lips to kiss maybe
Involves no trigonometry.
'Tis not so when four circles kiss
Each one the other three.
To bring this off the four must be
As three in one or one in three.
If one in three, beyond a doubt
Each gets three kisses from without.
If three in one, then is that one
Thrice kissed internally.
Four circles to the kissing come.
The smaller are the benter.
The bend is just the inverse of
The distance from the center.
Though their intrigue left Euclid dumb
There's now no need for rule of thumb.
Since zero bend's a dead straight line
And concave bends have minus sign,
The sum of the squares of all four bends
Is half the square of their sum.

La prima strofa descrive le tre circonferenze $C_i$, mentre la seconda descrive le due circonferenze $A$, $B$ e la formula di Descartes per determinarne i raggi: date quattro circonferenze fra loro mutualmente tangenti, la somma dei quadrati delle curvature è metà del quadrato della loro somma.

Il Teorema di Morley

Nel 1899 F. Morley dimostrò il seguente sorprendente

Teorema. I tre punti di intersezione delle tre coppie di trisettrici adiacenti di un triangolo qualsiasi formano sempre un triangolo equilatero.

Si tratta di un enunciato di grande bellezza e semplicità, di cui si conoscono varie dimostrazioni, alcune delle quali piuttosto intricate. Una dimostrazione elementare è stata data da J. Conway (1967), e una puramente algebrica più di recente da A. Connes (1998). Per una panoramica sull'argomento si può leggere la corrispondente pagina Wikipedia e i riferimenti bibliografici in essa contenuti.

Il fatto che tale risultato fosse (per quanto ne sappiamo) ignoto ai geometri dell'antichità, che conoscevano invece molti risultati sulle bisettrici dei triangoli,  è dovuto probabilmente alla loro reticenza a trattare problemi che non fossero in grado di risolvere con riga e compasso. 

Di fatto, è oggi ben noto che la trisezione di un angolo generico $\theta$ è equivalente alla costruzione di una radice $x=\cos(\theta/3)$ del polinomio di terzo grado
\begin{equation*}
4x^3-3x- \cos \theta,
\end{equation*} che risulta irriducibile sull'estensione di campi $\mathbb{Q}(\cos \theta)$. Da ciò segue l'impossibilità della trisezione di un angolo generico con gli strumenti classici, dato che il grado del polinomio minimo di un numero costruibile è necessariamente una potenza di $2$.

Numeri primi come somma di quadrati

Un classico risultato enunciato da Fermat e dimostrato per la prima volta da Eulero intorno al 1750 afferma che un numero primo dispari si può esprimere (in modo essenzialmente unico) come somma di quadrati se e solo se esso è congruo a 1 (mod 4), cioè se e solo se è della forma $4k+1$. Ad esempio $5$, $13$, $17$ si esprimono come somma di quadrati, mentre $3$, $7$, $11$ no.

La dimostrazione originale di Eulero usa la discesa infinita, che è una tecnica per assurdo che usa l'induzione discendente insieme al principio del buon ordinamento per i numeri naturali. Le dimostrazioni moderne riportate sui libri di testo usano invece l'idea di Dedekind di fattorizzare i primi nell'anello euclideo degli interi di Gauss $\mathbb{Z}[i]$, vedi ad esempio la corrispondente pagina Wikipedia.

Infatti, utilizzando il fatto che ogni anello euclideo è un PID, si mostra che un primo p si fattorizza non-banalmente in $\mathbb{Z}[i]$ se e solo se è della forma $4k+1$. Siccome $N(p)=p^2$ e la norma è moltiplicativa, si vede che questa fattorizzazione è necessariamente della forma
\begin{equation*}
p=(a+bi)(a-bi),
\end{equation*}
da cui dunque $p=a^2+b^2$.

Si può anche dimostrare che sia i primi della forma $4k+3$ che quelli della forma $4k+1$ sono infiniti, pertanto esistono infiniti primi non esprimibili come somma di quadrati ed infiniti che lo sono.

L'infinità dei primi del tipo $4k+3$ segue facilmente da considerazioni elementari à la Euclide; per quella dei primi del tipo $4k+1$ occorre invece usare tecniche più sofisticate, come la teoria dei polinomi ciclotomici.

P. de Fermat (fonte: Wikipedia)